[PDF] Application du produit scalaire: Géométrie analytique

Chapitre 12 : Produit scalaire et équations de droites

Déterminer une équation de droite à partir d’un vecteur directeur : 1 et 2 Tracer une droite dans un repère Vidéo 1 III Produit scalaire et droite A Rappel produit scalaire Soit Ñu et Ñv deux vecteurs non nuls du plan Le produit scalaire de deux vecteurs Ñu et ÝÑv, noté Ñu Ñv, est le nombre réel défini par : Ñu Ñv “ 1 2 `

I- Vecteur normal et équation de droite

Applications du produit scalaire : Calculs d’angles et de longueurs ; Formules d’addition et de duplication des sinus et cosinus Démontrer cos (a – b) I- Vecteur normal et équation de droite Définition: Dire qu’un vecteur non nul n est normal à un droite (d), signifie que n est orthogonal à un vecteur directeur de la droite (d)

Application du produit scalaire: Géométrie analytique

Application du produit scalaire: Géométrie analytique I) Vecteur normal et équation de droite 1) Vecteur normal à une droite Dire que , & est un vecteur non nul normal à une droite (d) de vecteur directeur , & signifie que , & est orthogonal à , & Conséquence : Caractérisation d’une droite par un point donné et un vecteur

Chap 3 - Produit Scalaire dans le plan - Académie de Versailles

2) outeT relation de la forme ax+by+c= 0 (où a, bet csont des réels tels que a6= 0 ou b6= 0 ) est une équation de droite Dé nition : Une équation de la forme ax+ by+ c= 0 (où a, bet csont des réels tels que a6= 0 ou b6= 0 ) est une équation cartésienne de droite Propriétés : Le vecteur de coordonnées ( b;a) est un vecteur

Produit scalaire (partie 2)

PRODUIT SCALAIRE (PARTIE 2) 12 2 Droite et produit scalaire En seconde, vous avez étudié la notion de parallélisme à l’aide de vecteurs directeurs Plus tôt dans l’année, nous avons rencontré la notion de produit scalaire qui permet d’aborder la notion d’angles droit Nous allons maintenant voir comment relier produit scalaire et

Le produit scalaire

Déterminer une équation de la droite ∆ qui passe par A(1 ; 2)et qui est perpen-diculaire à d On proposera deux solutions • Si ∆ est perpendiculaire à d, un vecteur normal ~n(3 ;−1)à d est un vecteur directeur de la droite ∆ On a alors : ∆ : −x −3y+c =0 Comme A ∈ ∆, ses coordonnées vérifient l’équation de ∆ donc :

Etude Analytique du Produit scalaire - Dyrassa

1-Déterminer l’équation cartésienne de cette droite 2-Soit C le cercle de centre A(1 ; 1) et de rayon 3 Déterminer l’équation cartésienne de ce cercle 3-Dans cette question, on s’intéresse au point d’intersection de (d) et de C a Justifier que si M(x ; y) est un point d’intersection de la droite et du cercle alors

Produit scalaire (partie 2)

PRODUIT SCALAIRE (PARTIE 2) 12 2 Droite et produit scalaire En seconde, vous avez étudié la notion de parallélisme à l’aide de vecteurs directeurs Plus tôt dans l’année, nous avons rencontré la notion de produit scalaire qui permet d’aborder la notion d’angles droit Nous allons maintenant voir comment relier produit scalaire et

Applications du produit scalaire - Meilleur en Maths

Applications du produit scalaire Compléments de trigonométrie 1 3 Propriété Le plan est muni d'un repère orthonormal 1) Une droite de vecteur normal n a b a une équation de la forme ax by c=0 où c ℝ Une telle équation est appelée équation cartésienne de la droite

PRODUIT SCALAIRE de lespace

PRODUIT SCALAIRE de l'espace coordonnées du point A vérifient l'équation de Étudier la position relative de la sphère et la droite

[PDF] produit scalaire et ensemble de points exercices corrigés

[PDF] produit scalaire et géométrie

[PDF] Produit scalaire et norme des vecteurs

[PDF] Produit scalaire et orthogonalité

[PDF] produit scalaire et probleme

[PDF] Produit scalaire et vecteur

[PDF] produit scalaire exemple

[PDF] produit scalaire exercice

[PDF] produit scalaire exercices corrigés

[PDF] produit scalaire exercices corrigés pdf

[PDF] produit scalaire exercices corrigés terminale s

[PDF] produit scalaire formule

[PDF] produit scalaire in english

[PDF] Produit Scalaire Maths

[PDF] produit scalaire nul

Application du produit scalaire:

Géométrie analytique

I) Vecteur normal et équation de droite

1) Vecteur normal à une droite

Dire que ࢔,,& est un vecteur non nul normal à une droite (d) de vecteur directeur ࢛,,& signifie que ࢔,,& est orthogonal à ࢛,,& . Conséquence : Caractérisation d'une droite par un point donné et un vecteur normal Dire qu'un point M appartient à la droite (d) passant par le point A et de vecteur normal ࢔ & si et seulement si ࡭ࡹ et ࢔,,& sont orthogonaux, c'est-à-dire : si et seulement si La droite (d) est l'ensemble des points M tels que

2) Vecteur normal d'une droite d'équation ࢇ࢞ ൅ ࢈࢟ ൅ ࢉ ൌ ૙

a) Propriétés : • Une droite (d) de vecteur normal ࢔,,& (a ; b) a une équation cartésienne de la forme ࢇ࢞ ൅ ࢈࢟ ൅ ࢉ ൌ ૙ où c est un nombre réel.

• La droite (d) d'équation cartésienne ࢇ࢞ ൅ ࢈࢟ ൅ ࢉ ൌ ૙ avec

(a ; b) ് (0 ; 0) a pour vecteur normal ࢔,,& (a ; b) b) Démonstration :

A(ݔ

appartient à (d) si et seulement si ܯܣ si et seulement si ܽ ) = 0 qui est équivalent à : = 0 qui est équivalent à : ܽݔ + ܾݕ ൅ ܿ= 0 avec ܿ= െܽ & (-b ; a). & le vecteur de coordonnées (a ; b). & est un vecteur normal à (d). c) Exemples: ȳ (3 ; 4 ) passant par les points A(4 ; 8) B(2 ; 0 ) et C(-1 ; 5 ) Déterminer une équation cartésienne des droites suivantes : a) La médiatrice du segment [BC] b) La hauteur du triangle ABC issue de B c) La tangente en A au cercle C

Réponse :

a) La médiatrice du segment [BC] est la droite (d 1 ) passant par le milieu I du segment [BC] et perpendiculaire à (BC), donc la droite (d 1 ) passe par le point I et a pour vecteur

Une équation cartésienne de la droite (d

1 ) est donc de la forme : -3ݔ + 5ݕ + c = 0

I le milieu de [BC] a pour coordonnées : I (

I appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l'équation de (d 1 -3ൈ ଵ + 5ൈ ହ

On obtient : c = െʹʹ

= -11 Une équation cartésienne de la médiatrice (d 1 ) du segment [BC] est donc : -3࢞ + 5࢟ - 11 = 0 b) La hauteur issue de B est la droite (d 2 ) passant par le point B, perpendiculaire au côté [AC], donc la droite (d 2) passe par le point B et a pour vecteur normal ܥܣ @Fw FuA

Une équation cartésienne de la droite (d

2 ) est donc de la forme : -5ݔ - 3ݕ + c = 0 B (2 ; 0) appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l'équation de (d 2 -5ൈ 2 - 3ൈ 0 + c = 0

On obtient : c = 10

Une équation cartésienne de la hauteur (d

2 ) issue de B est donc : -5࢞ - 3࢟ + 10 = 0 c) La tangente (d 3 ) en A au cercle (C ) de centre ȳ est la droite passant par A perpendiculaire au rayon [ȳ A]. (d 3 ) est donc la droite passant par le point A de vecteur normalܣߗ

Une équation cartésienne de la droite (d

3 ) est donc de la forme :

ݔ + 4ݕ + c = 0

A (4 ; 8) appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l'équation de (d 3

4 + 4ൈ 8 + c = 0

On obtient : c = -36

Une équation cartésienne de la tangente (d

3 ) en A au cercle (C ) est donc : ࢞ + 4࢟ - 36 = 0

II) Equation cartésienne d'un cercle:

1) Cercle défini par son centre et son rayon

a) Propriétés:

C est le cercle de centre ષ (࢞

) et de rayon R.

Une équation cartésienne de

)² = R² b) Démonstration : Un point M(ݔ ; ݕ) appartient au cercle C de centre ȳ (ݔ ) et de rayon R si et seulement si ȳ; = R² ce qui est équivalent à : )² = R² c) Exemple : Le cercle de centre ȳ (3 ; 5) et de rayon 8 cm a pour équation :

2) Cercle défini par un diamètre

a) Propriété: Le cercle C de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que : b) Démonstration: Le point M appartient au cercle C de diamètre [AB] si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs ܯܣ sont orthogonaux ce qui est équivalent à dire que ܯܣ Lr, On obtient donc une équation de ce cercle en écrivant Lr, c) Exemple : Donner l'équation du cercle C de diamètre [AB] où A(3 ; -2) et B(-3 ; 4) M(ݔ ; ݕ) appartient au cercle C si et seulement si ܯܣ Lr, :TEuquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48