Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 1 Cours : Le produit vectoriel PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF Avec Exercices avec solutions
Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
II) DEFINITION DU PRODUIT VECTORIEL Soient u et v deux vecteurs dans ????3 Le produit vectoriel des deux vecteurs et est le vecteur w u v tel que Si et sont colinéaires alors : uv 0 Si u et v sont non colinéaires Le vecteur : wu et wv et la base u v w;; est directe Et w u v sin ou uv;
TD 2 : vecteurs; produits scalaire, vectoriel et mixte
Plus direct, et plus simple : le vecteur~u∧~v est automatiquement une solution : en effet, le produit vectoriel de deux vecteurs est toujours orthogonal à ceux-ci On calcule~u∧~v =(14,−14,14) Les vecteurs calculés par ces deux méthodes sont colinéaires, et aucun n’est un "meilleur" choix tout dépend du contexte, de l’exercice
Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
Le produit scalaire nous permet donc de déduire la perendicularité géometrique lorsqu’il est de valeur nulle Expression analytique : I 3 3 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le vecteur représenté par le bipoint OC avec : - Un module égale à OA OB sin(θ)
Cours et exercices corrigés - Unithequecom
3 5 Produit scalaire 93 3 6 Matrices et déterminants en petite dimension 96 3 7 Produit vectoriel 108 3 8 Aires 112 3 9 Volumes 114 Exercices 114 Corrigés 116 Chapitre 4 Introduction aux matrices 125 4 1 Définitions 126 4 2 Opérationssurlesmatrices 128 4 3 Base canonique de M m;n ( ) 130 4 4 Matrices remarquables 131
Exercices sur les vecteurs - LMRL
(7) 2AW = −WB JJJJG JJJG (8) XA+=XB 2AB JJJGJJJJG (9) 1 23AY −BY = 2 AB JJJG JJJG JJJG JJG (10) −22AZ +=BZ BA JJJGJJJJG JJG 0 G JJGJ Exercice 14 A et B étant deux points distincts donnés, construire les points M et P tels
VECTEURS DE L’ESPACE - Les cours et exercices corrigés de
Propriété :Le produit d’un vecteur par un réel a les propriétés suivantes : ∀ ∈ et ∀ v ∈ et ∀ D ∀ E 1) D D D u v u v 2) uE 3) 1uu 4) D E DEuu Puisque ( , +) est un groupe commutatif et le produit d’un réel par un vecteur vérifie les quatre propriétés précédente on dit que : (V 3, +, ) est un espace vectoriel réel
PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES - Meabilis
PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n° 1 Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question 1 Soient A, B et C trois points distincts du plan a) A, B et C sont alignés si et seulement si : AB AC AB AC⋅ = × b) (AB) et (AC) sont orthogonales si et seulement si AB AC⋅ =0 c) A est le milieu de [BC] si et seulement si : AB AC AB⋅ =−2
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Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1 1 Enonc´es Exercice 1 On rappelle que (E,+,·) est un K-espace vectoriel si (I) (E,+) est un groupe commutatif;
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• 11 - Produit scalaire – L’équation ax+by+cz+d= 0 (avec a,b,cnon tous nuls) caractérise les points d’un plan • 11 - Produit scalaire – Une droite est orthogonale à toute droite d’un plan ssi elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan
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david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page i #1
Cours et exercices corrigés
Calcul vectoriel
david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page iii #3Claire David
Cours et exercices corrigés
Calcul vectoriel
david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page iv #4 Illustration de couverture : © Sirylok - Fotolia.com©Dunod, Paris, 2012
ISBN 978-2-10-058264-8
david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page v #5AVANT-PROPOS
Destiné aux étudiants de première année du cycle de licence scientifique, ou des classes préparatoires aux grandes écoles, ce livre est une introduction au Calcul Vectoriel, et, par là-même, à l"algèbre linéaire. Il est issu des notes de mon cours donné à l"Université Pierre et Marie Curie, en L1. Le programme initial de l"U.E. avait été établi par Hervé Le Dret [1], Gilles Christol, Jacques Fejoz [2] et Laurent Koelblen, afin de faciliter l"accès ultérieur des étudiants aux notions algébriques plus abstraites, dont la théorie des espaces vectoriels, qui n"est pas abordée ici. C"est à partir de ce programme que j"ai construit mon propre cours. Je tiens à remercier, tout d"abord, Arnaud Pocheville pour sa relecture et ses ques- tions judicieuses, mes collègues Florent Benaych-Georges, Sophie Morier-Genoud, Adnène Benabdesselem, Pierre-Vincent Kosele, Ramona Anton, Andreas Höring, Pierre Jarraud, Sami Mustapha, ainsi que Christelle Lusso, Alexis Vigot, Patricia Conde Céspedes, Florent Martin, Cyril Labbé, Sylvain Arguillère, Grégory Arbia, Annabelle Collin, Christophe Fizska, Gaël Ladreyt, Matthieu Solnon, François Lê, Daniel Hoehener, Karam Fayad, pour leurs remarques. C"est grâce à Antoine Rauzy, avec qui j"ai eu une discussion très intéressante, que j"ai pensé à ajouter le chapitre sur les courbes paramétrées planes. Enfin, les questions posées par mes étudiants m"ont aussi permis d"enrichir la version initiale! Je remercie très vivement Sandrine et Frédéric Gachet, pour leur relecture extrê- mement minutieuse de la version finale du manuscrit, et leurs remarques très perti- nentes; Chloé Mullaert, qui a accepté de faire l"ultime relecture, ainsi que Laurent Kaczmarek, qui a relu les épreuves après moi. Un grand merci également à Jean-Pierre Escofier, qui a pris le temps de donner son avis de spécialiste sur cet ouvrage. Malgré tout le soin apporté à la rédaction, je demande l"indulgence des lecteurs pour les éventuelles imperfections qui pourraient subsister; qu"ils n"hésitent pas à me les signaler. ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. V david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page vi #6 david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page vii #7TABLE DES MATIÈRES
Avant-proposV
Avertissement aux lecteurs IX
Chapitre 1. Le plan complexe - Les nombres complexes 11.1 Le corps des nombres complexes
31.2 Propriétés fondamentales10
1.3 Rappels de trigonométrie12
1.4 Racinesn
`emes de l"unité151.5 Racinesn
`emes complexes181.6 Factorisation des polynômes dans le corpsC20
1.7 Transformations du plan26
Exercices40
Corrigés44
Chapitre 2. Courbes paramétrées planes 67
2.1 Paramétrage cartésien
672.2 Courbes en polaires75
Chapitre 3. L'espace réel à 3 dimensions 85
3.1 Vecteurs
853.2 Repères89
3.3 Droites89
3.4 Plans91
3.5 Produit scalaire93
3.6 Matrices et déterminants en petite dimension96
3.7 Produit vectoriel108
3.8 Aires112
3.9 Volumes114
Exercices114
Corrigés116
Chapitre 4. Introduction aux matrices 125
4.1 Définitions
1264.2 Opérationssurlesmatrices128
4.3 Base canonique deM
m;n(?)1304.4 Matrices remarquables131
4.5 Introduction aux déterminants de matrices de taillen×n135
4.6 Inversion des matrices carrées137
4.7 Rang d"une matrice142
©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. VII david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page viii #8Calcul vectoriel
4.8 Application aux systèmes linéaires
142Exercices151
Corrigés157
Chapitre 5. Transformations linéaires du plan 1735.1 Bases
1735.2 Transformations linéaires174
5.3 Changement de base176
5.4 Conjugaison - Matrices semblables178
5.5 Opérateurs orthogonaux180
5.6 Rotations183
Chapitre 6. Transformations linéaires de l'espace 1876.1 Bases
1876.2 Transformations linéaires188
6.3 Changement de base191
6.4 Conjugaison - Matrices semblables192
6.5 Opérateurs orthogonaux194
6.6 Rotations196
Exercices200
Corrigés201
Bibliographie205
Index207
VIII david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page ix #9AVERTISSEMENT
AUX LECTEURS
Dans cet ouvrage, qui constitue, également, une introduction à l"algèbre linéaire et au calcul matriciel, certains résultats, dont la démonstration n"est pas considérée comme indispensable à l"apprentissage des techniques de base, sont admis. ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. IX david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page x #10 david_58264" (Col. : Science Sup 17x24) 2012/7/18 14:38 page 2 #12Chapitre 1
Le plan complexe - Les nombres complexes
Ainsi :
32-11⎷1+
32+11⎷1=4??(1.6)
qui a un sens, et est bien solution de l"équation de départ : 4 3 -15×4-4=0 (1.7) Le fait que-1 puisse être le carré d"un nombre, même " imaginaire », a ainsi commencé à faire son chemin. Leonhard Euler (1707-1783), s"intéressa également aux nombres complexes. On lui doit, notamment, la formule portant son nom. Jean le Rond D"Alembert (1717-1783), mit en évidence la propriété de clôture algébrique du corps des nombres com-
plexes. En 1799, Caspar Wessel (1745-1818), mathématicien danois et norvégien, publie un mémoire où il utilise les nombres complexes pour représenter des lignes géomé- triques, caractérisées par leur longueur et leur direction. Les interprétations géométriques, et les applications qui en résultent, se déve- loppent, essentiellement, à partir du XIX e siècle, avec, tout d"abord, le chanoineBuée
1 , puis Jean-Robert Argand (1768-1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) et Augustin Cauchy (1789-1857). Depuis, la recherche sur les nombres complexes connaît un essor considérable : les nombres complexes sont au coeur de la géomé- trie algébrique et analytique moderne (avec, notamment, les travaux de Jean-Pierre Serre 2 , Alexandre Grothendieck 3 , et Hans Grauert 4 ), puis ceux d"Adrien Douady (1935-2006), professeur à l"Université d"Orsay, qui s"intéressa à l"application aux systèmes dynamiques des nombres complexes, les ensembles de Julia 5 , les fractales et ensembles de Mandelbrot 6 Et c"est ainsi que sont nés lesnombres complexes. Il faut les considérer comme des outils, extrêmement pratiques pour résoudre des problèmes qui, sinon, n"auraient pas de solution.1. Adrien-Quentin Buée, chanoine honoraire de Notre-Dame, mort en 1825 à 80 ans; versé dans les
sciences, il publia des écrits mathématiques; il est souvent qualifié " d"abbé » par confusion avec son
frère l"Abbé Buée, chanoine titulaire de Notre-Dame [3].