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Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009
Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 6
EXERCICE 1
Matrices diagonales, triangulaires
1.1 Matrices diagonales
SoitD= (dii)i=1,...,nune matrice diagonale d"ordren >0. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour queDsoit inversible. On peut repr´esenterDsous forme du tableau suivant : (d 11 ...0 d ii0 d nn))))))))Commedet D=n?
i=1d ii, on aDinversible??det D?= 0??dii?= 0,?i= 1,...,n.
1.2 Matrices triangulaires inf´erieures
SoitL= (lij)i,j=1,...,nune matrice triangulaire inf´erieure d"ordren >0. a. Sous quelle condition n´ecessaire et suffisanteLest-elle inversible?La matriceLpeut se mettre sous la forme suivant :
(l 11 l21l22......
l1ilijlii0
.ln-1n-1 l n1lnj···lnn-1lnn)))))))))))))) d"o`u la matrice triangulaire inf´erieureLpeut ˆetre caract´eris´ee par : 1 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 lij= 0 sii < j,?i,j= 1,...,n.Puisquedet L=n?
i=1l ii, on aLinversible??det L?= 0??lii?= 0,?i= 1,...,n.
b. On suppose que la matrice triangulaire inf´erieureLest inversible. Soitb un vecteur colonne ayantncomposantes. Donner un algorithme qui permet de r´esoudre l"´equation d"inconnuey:Ly=b.(1.1)
Commelii?= 0,?i= 1,...,n, la r´esolution du syst`eme (1.1) s"´ecrit y1=b1l11, y i=1 lii? b i-i-1? j=1l ijyj? ,?i= 2,...,n. (1.2) Quel est le coˆut de cet algorithme en termes d"op´erations ´el´ementaires (addi- tions, multiplications, divisions) ? Le calcul dey1demande 1 division (div) dans l"algorithme (1.2). Pourifix´e dans{1,...,n}, le calcul deyipar l"algorithme (1.2) requiert 1 division (div), i-1 additions (add) eti-1 multiplications (mult).Au total le coˆutCLde l"algorithme (1.2) est
CL= 1 div +n?
i=2? (i-1) add + (i-1) mult + 1 div? = 1 div + n? i=21 div +n-1? k=1kadd +n-1? k=1kmult (n-1)n2add +(n-1)n2mult +ndiv.
Le nombre d"op´erations ´el´ementairesCLest de l"ordre den2,i.e.CL=O(n2). 2 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/20091.3 Matrices triangulaires sup´erieures
On consid`ere une matrice triangulaire sup´erieureUd"ordren >0 . a. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour queUsoit inversible.La matriceUpeut se mettre sous la forme suivant :
(u11u12···u1ju1n-1u1n
u22u2n-1u2n......
u iiuijuin 0 u n-1n-1un-1n u nn)))))))))))))) d"o`u la matrice triangulaire inf´erieureUpeut ˆetre caract´eris´ee par : u ij= 0 sii > j,?i,j= 1,...,n.Commedet U=n?
i=1u ii, on aUinversible??det U?= 0??uii?= 0,?i= 1,...,n.
b. On suppose que la matrice triangulaire sup´erieureUest inversible. Soity un vecteur colonne donn´e ayantncomposantes. Ecrire un algorithme qui permet de r´esoudre l"´equation d"inconnuex:U x=y .(1.3)
Lesuii´etant non nuls, l"inconnuexsolution du syst`eme lin´eaire (1.3) est donn´ee par xn=ynunn, x i=1 uii? y i-n? j=i+1u ijyj? ,?i= 1,...,n-1. (1.4)Donner la complexit´e de cet algorithme.
Le calcul dexnrequiert 1 multiplication (mult) dans l"algorithme (1.4). Pourifix´e dans{1,...,n}, le calcul dexipar l"algorithme (1.4) demande 1 division (div), n-iadditions (add) etn-imultiplications. 3 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Par suite le coˆutCUde l"algorithme (1.4) est
CU= 1 div +n-1?
i=1? (n-i) add + (n-i) mult + 1 div? n-1? k=1kadd +n-1? k=1kmult + 1 div +n-1? i=11 div (n-1)n2add +(n-1)n2mult +ndiv.
Le nombre d"op´erations ´el´ementairesCUest de l"ordre den2,i.e.CU=O(n2)..Vocabulaire
L"algorithme (1.2) pour inverser les syst`emes triangulaires inf´erieurs est ditdescente ousubstitution directe. L"algorithme (1.4) pour r´esoudre les syst`emes triangulaires sup´erieurs est ditremont´eeousubstitution r´etrograde.EXERCICE 2
M´ethode d"´elimination de Gauss
2.1 Des exemples
Effectuer une ´elimination de Gauss sur les syst`eme lin´eaires suivants (2 4 41 3 11 5 6)) (x 1 x 2 x 3)) =((21 -6)) (1 0 6 28 0-2-22 9 1 3
2 1-3 10))))
(x 1 x 2 x 3 x 4)))) =((((6 -2 -8 -4))))Premier exemple
Nous ´ecrivons le premier syst`eme sous la forme du tableau (2 4 4 21 3 1 11 5 6-6)) L 1 L 2 L 3 On effectue l"´elimination de Gauss. On a successivement (2 4 4 20 1-1 00 3 4-7))
L2←L2-0.5L1
L3←L3-0.5L1(2.1)
4 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 (2 4 4 20 1-1 00 0 7-7))
L3←L3-3L2
On obtient alors le syst`eme triangulaire suivant
?2x1+ 4x2+ 4x3= 2 x2-x3= 0
7x3=-7
En utilisant l"algorithme de remont´ee (1.2) on a successivement x3=-1,x2=-1,x1= 5.
L"´elimination de Gauss ci-dessus est ditesans permutation. On peut par exemple `a l"´etape (2.1) ci-dessus, remplacer le pivot 1 par le coefficient 3 dex2de la derni`ere ligne, parce que 3>1 donne plus de stabilit´e num´erique. Dans ce cas on dit que l"on fait une ´elimination de Gauss avecpivot partiel. Dans ce contexte on obtient (2 4 4 20 3 4-70 1-1 0))
L3←→L2
(2 4 4 20 3 4-7 0 0-7373)))
L3←L3-13×L2
D"o`u on obtient le syst`eme triangulaire sup´erieur suivant ?2x1+ 4x2+ 4x3= 23x2+ 4x3=-7
73x3=73
En appliquant l"algorithme de remont´ee `a ce syst`eme on obtient x3=-1,x2=-1,x1= 5.
On peut enfin par exemple `a l"´etape (2.1) ci-dessus, remplacer le pivot 1 par le coefficient
le plus grand en module dans la sous-matrice 1-1 3 4 Ceci rend la m´ethode plus stable num´eriquement. Ici on trouve 4 comme nouveau pivot. Dans ce cas on dit que l"on fait une ´elimination de Gauss avecpivot partiel. Dans ce 5 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 contexte on obtient((2 4 4 20 3 4-70 1-1 0))
L2←→L3
(2 4 4 20 4 3-70-1 1 0))
c2←→c3 (2 4 4 20 4 3-7 0 0 74-74)))
L3←-L3+14L2
Cette derni`ere transformation donne le syst`eme lin´eaire suivant ?2x1+ 4x3+ 4x2= 2 + 4x3+ 3x2=-7 74x2=-74
Par application de l"algorithme de remont´ee au syst`eme triangulaire ci-dessus on obtient : x2=-1,x3=-1,x1= 5.
Deuxi`eme exemple
On met le deuxi`eme exemple sous forme du tableau suivant (1 0 6 2 68 0-2-2-22 9 1 3-8
2 1-3 10-4))))
L 1 L 2 L 3 L 4 puis on effectue (1 0 6 2 60 0-50-18-500 9-11-1-20
0 1-15 6-16))))
L2←L2-8L1
L3←L3-2L1
L4←L4-2L1(2.2)
La matrice obtenue apr`es la 1
i`ere´etape d"´elimination (2.2) a pour pivot 0. Pour continuerla m´ethode de Gauss, on peut soit utiliser la strat´egie de pivot partiel ou soit celle de pivot
total. Pivot partiel: on prend comme pivot le plus grand ´el´ement de la colonne (091)) 6 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 Cela revient `a ´echanger la 2i`emeet la 3i`emelignes. On obtient (1 0 6 2 60 9-11-1-200 0-50-18-50
0 1-15 6-16))))
L2←→L3
On continue l"´elimination :
(1 0 6 2 60 9-11-1-200 0-50-18-50
0 0-124
9559-1249)))))
L4←L4-19L2
(1 0 6 2 60 9-11-1-200 0-50-18-50
0 0 0 24912250)))))
L4←L4-1501249L3
On d´eduit le syst`eme triangulaire sup´erieur suivant ?x1+ 6x3+ 2x4= 6
9x2-11x3-x4=-20
-50x3-18x4=-50 2491225x4= 0
D"o`u par la formule de remont´ee on trouve
x4= 0,x3= 1,x2=-1,x1= 0.
Pivot total: On part de l"´etape (2.2) de l"´elimination de Gauss. Le plus grand ´el´ement
en module de la sous-matrice0-50-18
9-11-1
1-15 6
est-50, qui se trouve `a la 2i`emeligne et `a la 3i`emecolonne de la matrice de d´epart. On positionne-50 en pivot, en ´echangeant la 2i`emecolonne et la 3i`emecolonne : (1 6 0 2 60-50 0-18-500-11 9-1-20
0-15 1 6-16))))
c2←→c3
7 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009On continue l"´elimination :
(1 6 0 2 60-50 0-18-50 0 0 9 7425-9
0 0 1 285
25-1)))))))
L3←→L3-11
50L2L
4←→L4-15
50L2(1 6 0 2 60-50 0-18-50 0 0 9 74
25-9
0 0 0 2491