Alain TROESCH 26 septembre 2012

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Cours d"algèbre, ECS deuxième année

Alain TROESCH

26 septembre 2012

Table des matières1 Rappels et compléments d"algèbre linéaire3

1.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3

1.1.1 Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3

1.1.2 Somme, somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.1.3 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

1.2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

1.2.1 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6

1.2.2 Dimension, liberté et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7

1.2.3 Dimension de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7

1.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 8

1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

1.3.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.3.3 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

1.3.4 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9

1.4 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Rang d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 10

1.4.2 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10

1.5 Écriture d"une AL dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11

1.5.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

1.5.2 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12

1.5.3 Cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

1.5.4 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13

1.6 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13

2 Réduction des endomorphismes : rappels et compléments 15

2.1 Diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 15

2.1.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.1.2 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 16

2.1.3 Etude des sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17

2.1.4 Critères de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 18

2.1.5 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 18

2.1.6 Méthode de diagonalisation (Bilan) . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18

2.2 Diagonalisation des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

2.2.2 Principes et critères de diagonalisation . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Cas des matrices22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2Table des matières

2.2.4 Une application : suites définies par une récurrence linéaire . . . . . . . . . 20

3 Produits scalaires21

3.1 Formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 21

3.1.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21

3.1.2 Représentation matricielle d"une forme bilinéaire .. . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 23

3.1.4 Formes bilinéaires symétriques, définies, positives. . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24

3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.2.2 Normes euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 24

4 Orthogonalité27

4.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 27

4.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 28

4.3 Projetés orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29

4.4 Orthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 30

5 Espaces euclidiens33

5.1 Familles orthogonales dans un espace euclidien . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 33

5.1.1 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 33

5.1.2 Coordonnées dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34

5.1.3 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34

5.2 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 35

5.2.1 Rappels sur les projections orthogonales . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 35

5.2.2 Distance d"un point à un sous-espace vectoriel . . . . . .. . . . . . . . . . 36

5.2.3 Problème des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 36

5.3 Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 37

6 Formes quadratiques39

6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 39

6.2 Forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique . . . . . . . . . . . . 40

6.3 CNS pour les caractères définis et positifs . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 41

Algèbre - Chapitre 1Rappels et compléments d"algèbrelinéaireL"algèbre linéaire doit son essor aux travaux de Grassmann,développés initialement dans le but

d"étudier les marées vers 1840. Ces travaux, dans lesquels il introduit les premières ébauches de la

notion d"espace vectoriel, et des outils calculatoires associés (produit scalaire, produit vectoriel...)

ne seront reconnus par les mathématiciens que très tardivement. Ce n"est que vers 1870 qu"on se

rend compte de l"importance de ces notions.

1.1 Espace vectoriel

1.1.1 Définitions et propriétés élémentaires

Dans tout ce qui suit,K=RouC.

Définition 1.1.1(Espace vectoriel)

Soitun ensemble. On dit queest un espace vectoriel surKsiest muni de deux lois : une loi interne+ :?qui à()associe+; une loi externe:K?qui à()associe; telles que pour tous12dansK, tous123dans: (i)(1+2) +3=1+ (2+3)(associativité de+); (ii) il existe un élément neutre0 = 0pour+, vérifiant :0 +=+ 0 =; (iii) il existe un opposé?de, vérifiant :+ (?) = (?) += 0; (iv)1+2=2+1(commutativité de+); (v)()=()(associativité de); (vi)1=(compatibilité du neutre multiplicatif deK); (vii)(1+2) =1+2(distributivité desur la loi interne); (viii)(+)=+(distributivité desur la somme deK).

Propriétés 1.1.2SoitunK-ev. Pour tout:

1.0= 0, c"est-à-dire0K= 0;

4 Algèbre - Chapitre 1. Rappels et compléments d"algèbre linéaire

2.0= 0

3.(?1)=?.

Terminologie 1.1.3Les éléments desont appelésvecteurs

Les éléments deKsont appelésscalaires

Deux élémentsetdesont colinéaires s"il existe()K2tels que()= (00)et += 0. Proposition 1.1.4Soitun espace vectoriel surKetun ensemble quelconque. Alors l"en- semble de fonctionsest un espace vectoriel surK.

Exemples 1.1.51.K∅=0;

2.K[[1]]=K;

3.KNl"ensemble des suites à valeurs dansK;

4.C=R2est unR-ev;

Définition 1.1.6(Sous-espace vectoriel)

Soitun espace vectoriel surK. Un sous-ensembledeest un sous-espace vectoriel de si les lois+etdelaissentstables, et induisent une structure d"espace vectoriel sur. Théorème 1.1.7Un sous-ensembledeest un sev desi et seulement siest non vide et : 2K + (F stable par combinaison linéaire).

Exemples 1.1.81.R[]espace des polynômes

2.(RR)ensemble des fonctions continues;

3.(RR)ensemble des fonctions de classe.

Proposition 1.1.9(Intersection de sev)

Soitetdeux sev d"unK-ev. Alorsest un sev de.

En revanche, l"union de deux sev n"est en général pas un sev.

Proposition 1.1.10(produit cartésien de sev)

Soit1des espaces vectoriels sur le corpsK. Alors le produit cartésien1 est un espace vectoriel surK, muni des lois définies par :

K(1)1 (1) = (1);

(1)(1)1(1)+(1) = (1+1+).

1.1.2 Somme, somme directe

Définition 1.1.11SoitunK-ev, etetdeux sev de. Alors la somme de+est le plus petit sous-espace vectoriel de(au sens de l"inclusion), contenant à la foiset

1.1 Espace vectoriel5

Proposition 1.1.12(Peut être pris comme définition) SoitunK-ev, etetdeux sev de . Alors :

Plus généralement, la somme desev1est :

=1 =1++=1++11 Définition 1.1.13Soitetdeux sev de. On dit que la somme+estdirecte, et on note, si=0. Plus généralement,1++est directe si12, puis(1+2)3, etc. On note =1 Proposition 1.1.14La somme1++est directe si et seulement si pour tout[[2]], =0 Proposition 1.1.15La sommede sous-espaces vectoriels deest directe si et seulement si l"application ci-dessous est injective : :1 ? (1)1++ Définition 1.1.16Soitun espace vectoriel, etetdeux sev de. On dit queetsont supplémentaires danssi=. Théorème 1.1.17(admis) Soitun espace vectoriel quelconque, etun sev de. Alors admet au moins un supplémentaire.

1.1.3 Familles de vecteurs

Soitun ensemble fini.

Définition 1.1.18Soitun espace vectoriel, et()une famille de vecteurs de. L"espace vectoriel engendré par la famille()est l"ensemble des combinaisons linéaires des,. Il s"agit de manière évidente d"un sev de. Il est notéVect(())

Remarque 1.1.19Si= [[1]],Vect(1) =R1++R.

Proposition 1.1.20Soit()et()deux familles (pas nécessairement disjointes). Alors :

Vect(()) = Vect(()) + Vect(())

Définition 1.1.21Soit()une famille de vecteurs de. La famille()est dite :

1.libre

ssi une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée : (i) Pour toute famille()de scalaires presque tous nuls : = 0 = = 0;

6 Algèbre - Chapitre 1. Rappels et compléments d"algèbre linéaire

(ii) Pour toutVect(()), il existe uneuniquefamille()de scalaires presque tous nuls tels que= (iii) (cas où= [[1]]) la sommeR1 Rest directe.

2.génératrice

dessi une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée : (i) toutest une combinaison linéaire des,; (ii)Vect(()) =; (iii) (cas où= [[1]])= =1R=.

3. unebase

desi et seulement si elle est libre et génératrice. Proposition 1.1.22Soit1des sev de, non réduits à0. Alors la somme1 est directe si et seulement si tout-uplet(1)d"éléments tous non nuls de1 est une famille libre dans. Proposition 1.1.23Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. La famille()est une base de;

2. La famille()est une famille génératrice minimale de;

3. La famille()est une famille libre maximale de.

1.2 Espaces vectoriels de dimension finie

Dans tout ce paragrapheKdésigne le corpsRouC.

1.2.1 Notion de dimension

Définition 1.2.1Un espace vectorielsurKest ditde dimension finies"il existe une famille

génératrice de cardinal fini()de. Une famille génératrice finie est souvent appelésystème

de générateurs. Proposition 1.2.2Soitun espace vectoriel de dimension finie. Alors de toute famille généra- trice de, on peut extraire une famille génératrice finie. Théorème 1.2.3(Complétion d"une famille libre en une base par ajout de vecteurs d"une famille génératrice donnée) Soitun espace vectoriel de dimension finie. Soitune famille libre de, etune famille génératrice de. Alors on peut compléteren une base depar ajout de vecteurs de. Corollaire 1.2.4Soitun espace vectoriel de dimension finie. Toute famille libre deest de cardinal fini. En particulier, toute base est de cardinal fini. Corollaire 1.2.5Soitun espace vectoriel de dimension finie.

1. De toute partie génératrice deon peut extraire une base de.

2.admet au moins une base.

1.2 Espaces vectoriels de dimension finie7

Corollaire 1.2.6(Théorème de la base incomplète) Toute famille libre d"un espace de dimension finipeut être complétée en une base de. Théorème 1.2.7(Théorème de la dimension) Soitun espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases desont finies et de même cardinal. Définition 1.2.8Le cardinal commun de toutes les bases deest appelédimension de, et est notédim. Sin"est pas de dimension finie, on dira quedim= +.

1.2.2 Dimension, liberté et rang

Définition 1.2.9Soitun espace vectoriel,N, et(1)une famille de vecteurs de. Lerangde la famille(1)est la dimension deVect(1)(cet espace est de dimension finie, puisque engendré par une famille finie). On note : rg(1) = dimVect(1) Proposition 1.2.10rg(1)?, avec égalité si et seulement si la famille(1)est libre. Proposition 1.2.11Soitun espace vectoriel de dimension. Alors :

1. toute famille libre deest de cardinal au plus;

2. toute famille génératrice deest de cardinal au moins.

Corollaire 1.2.12Soitun espace vectoriel de dimension. Alors :

1. toute famille libre dede cardinalest une base de;

2. toute famille génératrice dede cardinalest une base de.

Corollaire 1.2.13Soitun espace vectoriel de dimension finie. Soitun sous-espace vectoriel de. Alorsest de dimension finie, etdim?dim. On a égalité si et seulement si

1.2.3 Dimension de sommes

Théorème 1.2.14Soitun espace vectoriel, etetdes sous-espaces vectoriels de dimension finie de, en somme directe. Alorsest de dimension finie, et : dim= dim+ dim Corollaire 1.2.15Soitun espace vectoriel, et(1)une famille de sous-espaces vec- toriels de dimension finie de, en somme directe. Alors =1 est de dimension finie, et : dim =1 =1dim

8 Algèbre - Chapitre 1. Rappels et compléments d"algèbre linéaire

Proposition 1.2.16(Formule de Grassmann)Soitun espace vectoriel, etetdeux sous-espaces de dimension finie de. Alors : dim(+) = dim+ dim?dim

1.3 Applications linéaires

1.3.1 Généralités

Définition 1.3.1Une application:entre deuxK-ev est appeléeapplicationK-linéaire, ou plus simplementapplication linéaire(en abrégé : AL), ssi :

K () =()et()2 (+) =() +()

ou, de manière équivalente, ssi :

K()2 (+) =() +()

Définition 1.3.2On note()l"ensemble des applications linéaires devers. Si=, on note()l"ensemble des applications linéaires dedans lui-même. Une telle application linéaire dedans lui-même est appeléeendomorphismede.

Proposition 1.3.3()est un espace vectoriel surK.

Proposition 1.3.4Soit ()et (). Alorsest une application linaire de vers. Définition 1.3.5Uneforme linéairesur un espace vectorielest une application linéaire de dansK. L"ensemble(K)des formes linéaires surKest souvent noté, et appelédual de.

1.3.2 Image et noyau

Dans ce paragraphe,etsont deux espaces vectoriels, et (). Définition 1.3.61. L"image deestIm() = () ==();

2. Le noyau deestKer() =() = 0=1(0)

Lemme 1.3.71. Soitun sev de. Alors()est un sev de.

2. Soitun sev de. Alors1()est un sev de.

Proposition 1.3.8Im()est un sev de.Ker()est un sev de. Théorème 1.3.9Soit (). Alorsest injective ssiKer() =0.

1.3.3 Isomorphismes

Définition 1.3.101. Une application linéaire bijective deversest appelée unisomor- phisme.

1.3 Applications linéaires9

2. On dit que deux espaces vectorielsetsont isomorphes s"il existe un isomorphisme

3. Un isomorphisme dedans lui-même est appeléautomorphisme de. L"ensemble des

automorphismes deest notéAut(). Théorème 1.3.11Soitun isomorphisme entreet. Alors1est une application linéaire, et donc un isomorphisme devers. Proposition 1.3.121. L"image d"une famille libre par une application linéaireinjective est une famille libre

2. L"image d"une famille génératrice par une application linéaire surjective est une famille gé-

nératrice

3. L"image d"une base par un isomorphisme est une base

Proposition 1.3.13Soitune application linéaire dedans. Alors, les propositions suivantes sont équivalentes : (i)est un isomorphisme; (ii) L"image parde toute base deest une base de; (iii) Il existe une base dedont l"image parest une base de. En particulier, sietsont deux espaces isomorphes, et si l"un des deux est de dimension finie, alors ils sont tous deux de dimension finie, etdim= dim.

1.3.4 Projecteurs et symétries

Définition 1.3.141. Soit (). On dit queest un projecteur dessi=.

2. Soit (). On dit queest une symétrie ssi= id.

Lemme 1.3.15Soitun projecteur de. Alors :Im() =.

Théorème 1.3.161. Soit (). Alorsest un projecteur si et seulement s"il existe deux sevetdetels que=(ils sont supplémentaires), et :

De plus, on a alors :

= Im= Ker?idet= Ker Ainsi,est la projection sur= Imparallèlement à= Ker)

2. Soit (). Alorsest un projecteur si et seulement s"il existe deux sevetdetels

que=, et :

De plus, on a alors :

= Ker(?id)et= Ker(+ id) Ainsiest la symétrie par rapport à= Ker(?id)parallèlement à= Ker(+ id))

10 Algèbre - Chapitre 1. Rappels et compléments d"algèbre linéaire

1.4 Applications linéaires en dimension finie

1.4.1 Rang d"une application linéaire

Remarque 1.4.1Soitetdeux espaces vectoriels, et (). Si()est une famille génératrice de, alors(())est une famille génératrice deIm. En particulier, siest de dimension finie, alorsImest de dimension finie. Définition 1.4.2Soitetdeux espaces vectoriels,étant de dimension finie. Soit (). Le rang de, notérg, est la dimension deIm: rg= dimIm Lemme 1.4.3Soitetdeux espaces vectoriels quelconques, et (). Les propositions suivantes sont équivalentes : (i)est injective; (ii)envoie toute famille libre sur une famille libre; (iii) il existe une base deenvoyée parsur une famille libre de. Proposition 1.4.4Soitetdeux espaces vectoriels,étant de dimension finie. Soit

1.rg?dim, avec égalité si et seulement siest injective.

2. Siest de dimension finie,rg?dim, avec égalité si et seulement siest surjective.

Théorème 1.4.5(Caractérisation des isomorphismes entre espaces de même dimen- sion)Soitetdeux espaces vectoriels de même dimension finie, et soit (). Alors les propositions suivantes sont équivalentes : (i)est un isomorphisme; (ii)rg() =; (iii)est injective; (iv)est surjective. En particulier, siest de dimension finie, un endomorphisme ()est un automorphisme si et seulement siest injective si et seulement siest surjective. Théorème 1.4.6(Théorème du rang) Soitun espace vectoriel de dimension finie, etun espace vectoriel quelconque. Soit (). Alors : dimKer+ rg= dim

1.4.2 Formes linéaires

Définition 1.4.7Une forme linéaire sur unK-espace vectorielest une application linéaire de versK. Proposition 1.4.8Soitun espace vectoriel de dimension finie. Soit (K)une forme

linéaire. AlorsKerest soit égal à(dans l"unique cas où= 0), soit égal à un hyperplan de.

1.5 Écriture d"une AL dans une base11

Proposition 1.4.9Réciproquement, tout hyperplan d"un espace vectoriel de dimension finie est le noyau d"une forme linéaire non nulle. Proposition 1.4.10Plus généralement, soitun espace vectoriel de dimension finie, etun sous-espace vectoriel dede dimension. Alors il existe une application linéaire (K) telle que= Ker.

1.5 Écriture d"une AL dans une base

1.5.1 Définitions et notations

Soitetdeux espaces vectoriels de dimensions finies Définition 1.5.1Soit= (1)une base de, et. Alors il existe d"uniques scalaires

1tels que=11++. La matrice colonne dedans la baseest alors la

matrice colonne constituée de ces scalaires : 1... (notation personnelle) Définition 1.5.2Sous les mêmes hypothèses, soit(1)une famille de vecteurs de. Alors la matrice de cette famille dans la baseest : [1]= ( [1] []) Ainsi, il s"agit de la matrice dont la-ème colonne comporte les coordonnées dans la basedu vecteur. Définition 1.5.3Soit (), et soit= (1)une base de deet= (1) une base de. Alors la matrice derelativement aux basesetest la matrice[]de la famille((1)())dans la base: []= [(1)()]= ( [(1)] [()]) Ainsi, il s"agit de la matrice de type()dont la-ème colonne donne les coordonnées du vecteur ()dans la base. On trouve souvent la notationMat(). Remarque 1.5.4Si on prend=R,=R, et pouretles bases canoniques de ces espaces, on note simplement[], et on dit qu"il s"agit de la matrice canoniquement associéeà . Inversement,étant une matrice de(R), il existe une unique application linéairede R dansRdontest la matrice canoniquement associée. On dit queest l"endomorphisme canoniquement associé à la matrice. Proposition 1.5.5Sous les hypothèses de la définition :

12 Algèbre - Chapitre 1. Rappels et compléments d"algèbre linéaire

Proposition 1.5.6(Matrice d"une composition : la formule magique)Soit,ettrois espaces vectoriels de dimension finie, munis respectivementdes bases,et. Soit () et (). Alors :

1.5.2 Changements de base

Définition 1.5.7Soitun espace vectoriel, et1et2deux bases de. Alors la matrice de passage de la base1à la base2est la matrice : [1 2] = Mat(12) = [id]21

Ainsi, la-ème colonne de cette matrice est constituée des coordonnées du-ème vecteur de la base

2dans la base1.

Proposition 1.5.8Toute matrice de passage[1 2]est inversible. Son inverse est la matrice de passage[2 1] Puisque[]1= [id]21[]2, on obtient l"expression de l"effet d"un changement de base sur les coordonnées d"un vecteur :

Proposition 1.5.9Soit. Alors[]1= [1 2][]2.

Théorème 1.5.10(Formule de changement de base) Soitun espace vectoriel de dimension finie, muni de deux bases1et2, etun espace vectoriel de dimension finie, muni de deux bases1et2. Soit (). Alors : []22= [2 1][]11[1 2]

1.5.3 Cas des endomorphismes

Dans le cas d"un endomorphisme, on exprime souvent sa matrice dans la même base au départ et à l"arrivée. On note alors[]au lieu de[]. On obtient alors la formule de changement de base suivante : Théorème 1.5.11Soit (),étant un espace vectoriel de dimension finie, muni de deux bases1et2. Soit= [1 2]la matrice de passage de la base1à la base2. Alors : []2=1[]1 Définition 1.5.12On dit que deux matrices (K)sont semblables s"il existe une matrice inversibleGL(K)telle que=1. Ainsi, les matrices d"un endormorphisme dans différentes bases desont semblables.quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] Alain TROESCH 26 septembre 2012

Cours d"algèbre, ECS deuxième année

Alain TROESCH

26 septembre 2012

1.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3

1.1.1 Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3

1.1.2 Somme, somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.1.3 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

1.2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

1.2.1 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6

1.2.2 Dimension, liberté et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7

1.2.3 Dimension de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7

1.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 8

1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

1.3.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.3.3 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

1.3.4 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9

1.4 Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Rang d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 10

1.4.2 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10

1.5 Écriture d"une AL dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11

1.5.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

1.5.2 Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12

1.5.3 Cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

1.5.4 Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13

1.6 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13

2 Réduction des endomorphismes : rappels et compléments 15

2.1 Diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 15

2.1.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.1.2 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 16

2.1.3 Etude des sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17

2.1.4 Critères de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 18

2.1.5 Polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 18

2.1.6 Méthode de diagonalisation (Bilan) . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18

2.2 Diagonalisation des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

2.2.2 Principes et critères de diagonalisation . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Cas des matrices22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2Table des matières

2.2.4 Une application : suites définies par une récurrence linéaire . . . . . . . . . 20

3 Produits scalaires21

3.1 Formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 21

3.1.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21

3.1.2 Représentation matricielle d"une forme bilinéaire .. . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 23

3.1.4 Formes bilinéaires symétriques, définies, positives. . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24

3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.2.2 Normes euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 24

4 Orthogonalité27

4.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 27

4.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 28

4.3 Projetés orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29

4.4 Orthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 30

5 Espaces euclidiens33

5.1 Familles orthogonales dans un espace euclidien . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 33

5.1.1 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 33

5.1.2 Coordonnées dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34

5.1.3 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34

5.2 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 35

5.2.1 Rappels sur les projections orthogonales . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 35

5.2.2 Distance d"un point à un sous-espace vectoriel . . . . . .. . . . . . . . . . 36

5.2.3 Problème des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 36

5.3 Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 37

6 Formes quadratiques39

6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 39

6.2 Forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique . . . . . . . . . . . . 40

6.3 CNS pour les caractères définis et positifs . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 41

1.1 Espace vectoriel

1.1.1 Définitions et propriétés élémentaires

Dans tout ce qui suit,K=RouC.

Définition 1.1.1(Espace vectoriel)

Propriétés 1.1.2SoitunK-ev. Pour tout:

1.0= 0, c"est-à-dire0K= 0;

4 Algèbre - Chapitre 1. Rappels et compléments d"algèbre linéaire

2.0= 0

3.(?1)=?.

Les éléments deKsont appelésscalaires

Exemples 1.1.51.K∅=0;

2.K[[1]]=K;