I Eléments de cours à connaître
Fiche n°2 sur la projection de vecteurs I Eléments de cours à connaître I 1 Définition du produit scalaire I 2 Conséquences / propriétés I 3 Application : formule d’Al Kashi I 4 Projection d’un vecteur I 5 Expression analytique I 6 Une propriété utile pour les exercices II Exercices d’applications III Corrections des exercices
Projection de vecteurs sur un système daxes
2 Projection des vecteurs 2 1 Un peu de mathématiques (Rappels) Projeter les vecteurs sur les axes revient à trouver les coordonnées des vecteurs Vous savez (normalement) déjà le faire 2 2 Exemple On voit en évidence deux triangles rectangles dont les trois cotés sont Vx, Vy et la norme du vecteur On peut donc
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Soient E1 et E2 deux sous espaces supplémentaires d’un K-espace vectoriel E On appelle projection sur E 1 parallèlement à E 2 l’application p qui à tout vecteur x E ∈ s’écrivant de manière unique sous la forme x x x = + 1 2 où x E 1 1 ∈ et x E 2 2 ∈ associe le vecteur
Projection d’un vecteur sur une base orthonormée
Projection d’un vecteur quelconque sur un vecteur de la BON Soit~vunvecteurquelconquedeE Ilpeuts’exprimersouslaforme: ~v= x~u x +y~u y +z~u z
Chapitre 1 Rappel sur les vecteurs
`a faire concerne la projection d’un vecteur sur un autre (diagramme de forces) Bien que la signification g´eom´etrique de cette op´eration soit claire, l’aspect calculatoire l’est moins, surtout en dimension 3 Consid´erons deux vecteurs ~v et w~ et supposons, par exemple, que ~v repr´esente une force
Projectionorthogonale
On peut définir de même l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F en dimension in-finie Cependant les propriétés énoncées dans ce paragraphe ne sont alors plus vraies : on n’a pas nécessairementE= F⊕F⊥ouencoreF= F⊥ ⊥ lorsqueEestdedimensioninfinie 4
CHAPITRE 6 : VECTEURS GAUSSIENS
1) Rappel : projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n, muni d’un produit scalaire (on parle d’espace Eu-clidien) On peut par exemple prendre E = Rn et le produit scalaire d´efini au d´ebut du paragraphe II
CALCUL VECTORIEL 3 Calcul vectoriel
En termes simples, un vecteur est une grandeur qui a une intensité, une direction et un sens Il est commode de le représenter par une flèche Les trois vecteurs ci-contre sont les représentants d'un même vecteur car ils ont même sens, même direction et même norme On peut donc désigner ce vecteur par un nom unique, par exemple :
Algèbre Linéaire - univ-rennes2fr
Proposition 1 3 (Dimension d’un sous-espace) 1 Un sous-espace F d’un espace vecto-riel E de dimension finie est de dimension finie 2 On a alors dim(F) ≤ dim(E) 3 Si dim(F) = dim(E), on a F = E On peut construire une infinité de bases d’un même espace vectoriel E Suivant le problème
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Chapitre 1Rappel sur les vecteursDans ce bref chapitre nous voulons faire quelques rappels sur la notion de vecteur qui consti-
tue la pierre angulaire de ce cours. Cette notion peut-ˆetreintroduite d"un point de vuepurement alg´ebrique mais cette approche oblit`ere les aspects physiques et g´eom´etriques, ce
qui est dommage. Dans ce cours, l"aspect physique ne jouera pas un grand rˆole. Par contre,l"aspect g´eom´etrique servira constamment de support `a l"intuition et de source de motivation
pour l"introduction de nouveaux outils.La notion de vecteur vient de la physique o`u elle a ´et´e introduite pour mod´eliser des quantit´es
caract´eris´ees non seulement par une mesure num´erique (i.e. la longueurdu vecteur) mais aussi par une orientation, c"est `a dire une direction(une demi-droite qui porte le vecteur). Les exemples de vecteurs sont nombreux et vari´es : champs deforce, moments, gradients, champs ´electromagn´etiques etc...1.1 Quelques d´efinitions et exemples
Un vecteur g´eom´etrique?vposs´ede deux caract´eristiques : une longueur et une direction. La longueur d"un vecteur, not´ee??v?est un nombre r´eel positif ou nul. La direction d"un vecteur est d´etermin´ee par une demi-droite, appel´ee supportdu vecteur dont le sens estcelui allant de l"origine de la demi-droite vers l"infini. Sile ph´enom`ene qu"ils mod´elisent est
bidimensionnel, les vecteurs vivent dansR2, s"il est tridimensionnel, ils vivent dansR3. C"est le contexte de la physique classique. Il y a beaucoup d"autres contextes o`u on manipule desvecteurs dans des espaces de dimension sup´erieure `a 3, d"o`u la n´ecessit´e d"introduire un point
de vue plus alg´ebrique. On note par?0, le vecteur de longueur nulle. Par convention ce vecteur neposs`ede aucune direction. Un vecteur est dit unitaires"il est de longueur 1.On repr´esente graphiquement un vecteur par une fl`eche caract´eris´ee par deux points : son
origineet et sonextr´emit´e. Par extension, on parlera de l"origine d"un vecteur et de sonextr´emit´e. Un vecteur est enti`erement d´etermin´e par la donn´ee de son origine et de son
extr´emit´e. La longueur et la direction indiqu´es par la fl`eche sont ceux du vecteur associ´e.
1CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS2
Un vecteur est dit
librelorsque son origine n"est pas sp´ecifi´ee. Il est ditglissantlorsque seule la position de son support est fix´ee. Finalement, il est dit fixelorsque son origine estd´etermin´ee. Dans ce cours, les vecteurs seront, a priori,attach´es `a l"origine, mais quand ¸ca
nous conviendra, nous les attacherons ailleurs, sans autreforme de proc`es. Le contexte sera toujours clair et cette impr´ecision ne cr´eera pas d"ambigu¨ıt´e. v support origineextrémité D´efinition1.1.1Leproduitd"un vecteur?vpar un scalaire(nombre r´eel)k, not´ek?v, est un nouveau vecteur dont la direction est parall`ele `a celle de?v. De plus,?k?v?=|k|??v?. k?va la mˆeme direction que?vsik >0 et la direction contraire sik <0. v v v vv -1.5-0.52 D´efinition1.1.2Lasomme de deux vecteurs?vet?w, not´ee?v+?w, est un nouveau vecteurdont l"origine est celle de?vet dont l"extr´emit´e est celle de?wlorsque ce dernier a son origine
`a l"extr´emit´e de?v. Alternativement, on attache?vet?wau mˆeme point et on repr´esente la
somme par la diagonale, ´emanant du mˆeme point, du parall´elogramme qu"ils engendrent. vw vw+ Ce choix de d´efinition du produit d"un vecteur par un scalaire et de la somme de deuxvecteurs n"est pas arbitraire. Il est dict´e par la physiqueet plus particuli`erement par la fa¸con
dont les forces s"additionnent.CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS3
Puisque la somme de deux vecteurs et le produit d"un vecteur par un nombre sont bien d´efinis en tant que vecteur, une expression de la forme k1?v1+···+kn?vn.
o`u?v1, ?v2,..., ?vnsontnvecteurs etki,i= 1,...,n nnombres (scalaires) l"est encore et sera appel´ee combinaison lin´eairedesnvecteurs. D´efinition1.1.3Un ensemble denvecteurs{?v1, ?v2,..., ?vn}est ditlin´eairement ind´epen- dant si aucun de cesnvecteurs ne peut s"exprimer comme une combinaison lin´eaire desn-1 autres. D´efinition1.1.4Un ensemble denvecteurs{?v1, ?v2,..., ?vn}est unebasedeR2(R3) si cesnvecteurs sont lin´eairement ind´ependants et si tous les vecteurs deR2(R3) peuvent s"exprimer comme une combinaison lin´eaire des?v1, ?v2,..., ?vn. Une base deR2est toujours form´ee d"un ensemble de 2 vecteurs lin´eairement ind´ependants. Une base deR3est toujours form´ee d"un ensemble de 3 vecteurs lin´eairement ind´ependants. Ces affirmations seront d´emontr´ees plus tard, dans un contexte beaucoup plus g´en´eral. Lorsqu"une base est donn´ee, on peut utiliser deux notations pour repr´esenter les vecteurs de l"espace ambiant. Supposons, par exemple, queB={?e1, ?e2, ?e3}soit une base deR3et que?v soit un vecteur deR3. Par d´efinition, il existe des scalairesv1,v2,v3tels que (?)?v=v1?e1+v2?e2+v3?e3 Dans cette repr´esentation, les vecteurs de la base apparaissent explicitement. Les coefficients v1,v2,v3sont appel´escomposantesde?vdans la baseBet on ´ecrira
?v= (v1,v2,v3)B.CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS4
v e1 e2 e13 e22 e13e22v=+= (3,2) Il existe une fa¸concanoniquede construire une base : donn´ees trois demi-droites de l"espace mutuellement orthogonales, on d´efinit?0 comme ´etant leur point de rencontre et ?k, les vecteurs issus de l"origine, de longueur 1 et dont la direction est donn´ees par les demi- droites. i j i j k xy 1 1 11 1 xyzSi on note
B c={?ı,??,?k}(1.1) on a alors ?ı= (1,0,0)Bc??= (0,1,0)Bc?k= (0,0,1)Bc(1.2)CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS5
Pour la base canonique, il est coutumier d"oublier l"identificateur de la base. En plus, lesupport de?ıest appel´e l"axe desx, celui de??l"axe desyet celui de?kl"axe desz. L"introduction
de cette base nous permet d"alg´ebriser les op´erations ´el´ementaires sur les vecteurs comme
suit. ?v=?w??v1=w1, v2=w2etv3=w3,(1.3) α?v=α(v1,v2,v3) = (αv1,αv2,αv3) (1.4) ?v+?w= (v1,v2,v3) + (w1,w2,w3) = (v1+w1,v2+w2,v3+w3) (1.5)Deux vecteurs?vet?wsont
parall`elessi et seulement si il existe un scalaire non nulktel que ?v=k?wc"est `a dire si v 1 w1=v2w2=v3w3=k. L" angle entre deux vecteursest l"angle entre leurs supports. Une base est diteorthonorm´ee si chaque vecteur de la base est de longueur 1 et si l"angle entre chaque paire de vecteurs de la base est droit. Par construction, la base canonique est orthonorm´ee. Lorsqu"on connait les composantes d"un vecteur dans la basecanonique, il est facile de voir, en utilisant le th´eor`eme de Pythagore, que sa longueur estdonn´ee par la formule suivante. ?v= (v1,v2,v3)Bc? ??v?=? v21+v22+v23.(1.6)La d´efinition 1.1.3 n"est pas tr`es op´erationnelle. Avec l"introduction des bases et la proposi-
tion suivante, nous obtenons un crit`ere un peu plus manipulatoire. Proposition1.1.1Un ensemble denvecteurs{?v1, ?v2,..., ?vn}est lin´eairement ind´epen- dant si et seulement si une combinaison lin´eaire de cesnvecteurs ne peut ˆetre ´egale au vecteur0que si les coefficients sont tous nuls. k1?v1+···+kn?vn=?0 =?k1=k2=...=kn= 0.
Exemple1.1.1
a) Les vecteurs (1,2) et (-1,2) sont lin´eairement ind´ependants. En effet on ne peut avoir k1(1,2) +k2(-1,2) = (k1-k2,2k1+ 2k2) = (0,0)
que si k1=k2etk1=-k2
c"est `a direk1=k2= 0.CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS6
b) Les vecteurs (1,2,3),(-1,2,3),(15,-2,-3) sont-ils lin´eairement ind´ependants? Pour r´epondre `a cette question, supposons que k1(1,2,3) +k2(-1,2,3) +k3(15,-2,-3) = (0,0,0).
Ceci n"est possible que si
k1-k2+ 15k3= 0
2k1+ 2k2-2k3= 0
3k1+ 3k2-3k3= 0
Pour que les vecteurs soient l.i., il faut que la solution de ce syst`eme soit le vecteur nul. Demandons `aMaple.
>sys:={k_1-k_2+15*k_3=0, 2*k_1+2*k_2-2*k_3 = 0, 3*k_1+3*k_2-3*k_3=0}; sys:={2k1+ 2k2-2k3= 0,k1-k2+ 15k3= 0,3k1+ 3k2-3k3= 0}
solve(sys,{k_1,k_2,k_3}); {k3=k3,k2= 8k3,k1=-7k3}
Il ressort de ce calcul qu"il y a une infinit´e de triplets de coefficients non tous nuls pour lesquels la combinaison lin´eaire est nulle,k1= 7,k2=-8,k3=-1 par exemple. Les trois vecteurs ne sont donc pas lin´eairement ind´ependants.1.2 Produit scalaire
En physique ´el´ementaire, une des premi`eres op´erationssur les vecteurs que l"on apprend `a faire concerne la projection d"un vecteur sur un autre (diagramme de forces). Bien quela signification g´eom´etrique de cette op´eration soit claire, l"aspect calculatoire l"est moins,
surtout en dimension 3. Consid´erons deux vecteurs?vet?wet supposons, par exemple, que?vrepr´esente une force qui agit sur une particule qui se d´eplace le long de la droitequi contient le support de?w. Pour calculer le travail exerc´e par cette force, il nous faut d´eterminer la composante de?v selon?w i.e. la projection orthogonale de?vsur?wque nous noterons proj?w?v. Une triangulation ´el´ementaire, nous montre que cette composante a pour longueur??v?|cosθ|. Comme le support de cette composante est celui de?w, on a () proj?w?v=α?w,CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS7
o`uαest positif si l"angle entre?vet?west inf´erieur `a un droit et n´egatif sinon. En prenant
ceci en compte et en calculant la longueur des deux membres de() on obtient que |α|=??v?|cosθ| v wvwvwprojwquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2