Projection de vecteurs sur un système daxes
Projection de vecteurs sur un système d'axes 4 Exercice résolu : Schuss 4 1 Énoncé Un skieur, dont la valeur du poids est P=600N , descend une piste enneigée rectiligne faisant un angle =20,0° avec l'horizontale Le skieur, assimilable à un solide, descend la piste à vitesse constante On néglige les frottements de la
I Eléments de cours à connaître
On considère un anneau assimilé à un point matériel M de masse m se déplaçant sur un cerceau de rayon a de centre C On repère la position du point par langle orienté et la base (ur,u ) est orthonormée directe Le point M est soumis en particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P Le vecteur uy
Projection de forces sur des axes orthonormés
Projection de forces sur des axes orthonormés Force perpendiculaire à un axe La projection de ces forces sur un axe perpendiculaire est nulle Ex : Px = 0 Px est la coordonnée du vecteur force P selon x Ty = 0 Ty est la coordonnée du vecteur force T selon y Force parallèle à un axe La valeur de la projection d'une force est égale à la
Introduction à la Mécanique quantique PARTIE 2 LC-3C001
Projection du vecteur sur un axe propre: Ex: Projection du vecteur V sur un des axes du repère orthonormé (i,j,k) V i=x i i+y j i+z k i ⇒ V i=x * Conjugué de la coordonnée U 2 = U carré de la norme du vecteur U=x*x+y*y+z*z 13
D:My FilesCoursA - SyllabusSyllabus Méca ECAMMecaChap1(Vecteurs)
Expressions analytiques d’un vecteur 1 3 1 Mesure d’un vecteur sur un axe Soit à mesurer le vecteur sur l’axe Ox On choisit un vecteur unitaire (par exemple : V 1x) 11x = cm Mesurer le vecteur , c’est le comparer à On a, par exemple : V 1x ,et V vecteur =−41x V projection sens x =−4cm module V norme = 4cm
UNE FORCE MATHÉMATIQUE - Académie de Versailles
1°) Projection d’un vecteur force a) Cas d’un vecteur ayant des coordonnées positives Considérons, dans un repère (O ; i, j), une force F inclinée d’un angle par rapport à l’horizontale : La coordonnée F x correspond à la projection du vecteur force F sur l’axe des abscisses : cosα= F x F soit F
ÉLECTRICITÉ : Compensateurs de phase pour Moteurs asynchrones
La projection de ce vecteur sur un axe fixe YZ est la f e m instantanée entre I et II Si ces points sont fixes sur l'anneau, la pulsation de cette projection est Q' ; mai s'il avancenss t à vitesse co", la pulsation de cette projection sera —o>", c'est-à-dire —Q En résumé, la f e m créée dans le circuit rotorique par l'an
Niveaux: SM PC SVT Matière: Physique PROF :Zakaryae Chriki
6 Projeter chacune de ces forces sur les axes du référentiel (Se rappeler de la définition de la projection d’un vecteur sur un axe d’un référentiel) NB : La relation entre vecteur est bien identique à la relation entre composantes sur les axes 6 1 Sur l’axe Ox : ∑釧景 =型 軍景 6 2 Sur l’axe Oy : ∑釧桂 =型 軍桂 7
LES COURANTS ALTERNATIFS
un angle avec l’axe Ox (figure VI 6 a) A l’instant t, il fait un angle ( t + ) avec l’axe Ox La projection OA de ce vecteur sur Ox est : x A t cos Ainsi, lorsque le vecteur OM tourne autour de O, sa projection x sur l’axe effectue un mouvement vibratoire sinusoïdal d’élongation x A t cos Figure VI 6 a 1A 2
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Introduction à la Mécanique quantiquePARTIE 2LC-3C0011
Outils de la Mécanique QuantiqueBonjour madame !C'est le mécanicien Hein !! Comment !!le musicien ?Je n'ai que du cantique à la maison...2
Principe de décomposition spectral•A une observableA est associé un opérateur!dont les vecteurs propres forment une base de Hilbert •L'action de cet opérateur sur un état propre délivre une valeur propreun état quelconque du système est décomposé sur cette base de vecteurs propres appelées "états propres» du système
Imaginons un déquantique (microscopique), non pipé, poséàla surface d'un cristal. Supposons qu'une des mesures possibles sur ce système consiste àlire le numéro inscrit sur la face supérieure du dé. Soit Âl'observable liée àcette mesure. Il y a 6 valeurs propres et 6 fonctions propres possibles : On mesure "1»et le système est dans l'état normalisé"Face1» On mesure "2»et le système est dans l'état normalisé"Face2» On mesure "3»et le système est dans l'état normalisé"Face3» On mesure "4»et le système est dans l'état normalisé"Face4» On mesure "5»et le système est dans l'état normalisé"Face5 » On mesure "6»et le système est dans l'état normalisé"Face6» Tant que la mesure n'a pas étéfaite, il FAUTconsidérer tous les résultats possibles. Si chaque face a une proba 1/6 d'être mesurée , l'état du système est alors :Exemple 1Principe de décomposition spectrale4
La mesure donne un résultat et un seul. Après la mesure, le système se trouve dans un des états propres associés àcette mesure, avec un coefficient 1 (car on a déterminéle résultat de la mesure) et toute mesure ultérieure de la face supérieure donnera toujours le même résultat. Les états propres d'un opérateur Âsont des états stationnaires vis-à-vis d'une mesure la grandeur associée àÂ.Si on a vu la face 5 alors
C'est ce que l'on appelle "laréduction du paquet d'ondes» En mécanique quantique toute mesure a un effet potentiel sur le système mesuré car elle modifie la forme mathématique de la fonction d'onde.Mesure
6656Tirage du LotoAvant tirage: "Equiprobabilité de sortir un numéroparmi 49 »Après tirage: Numéros sortis = "Résultat de la mesure»
Lasubstanceradioactiveaunechancesurdeuxdesedésintégrerenuneheure,doncunechancesurdeuxd'enclencherlemécanismequibriselafioledeproduittoxiqueettuelechat!Maissij'ouvrelaboîtejepeuxsavoirsilechatestvivantoumort.Maisadieulasuperpositiond'états.L'ouverture(mesure)aperturbélesystèmeEtat du Chat
L'étatdu système en mécanique quantique est décrit par une FONCTION d'ONDECelle-ci est communément notée:
Ψ(x1,y1,z1,.....zN,t)Formalisme, Outils MathématiquesSi l'on connait en tout point et à chaque instant l'expression de la fonction d'onde, il est possible de déterminer en tout point et à chaque instant la probabilité de présenced'une particule (module au carré de la ftd'onde), cette probabilité indiquant la possibilité de trouver la particule, pas qu'elle y soit forcément...8Dans l'espace des positions
OPERATEURDans le formalisme de la mécanique quantique, la mesure (information sur un Système physique) est représentée par ce qu'il convenu d'appeler une :OBSERVABLE *Apartird'unétatquelconquedusystème(superpositiond'étatspropres),onnepeutconnaîtreàprioriqueLAPROBABILITEde"trouver»lecouplevaleurpropre/étatproprelorsdelamesure(NB:àchaquemesure,lerésultatdelamesuredeAdonneunevaleurparticulière"a»duspectredevaleursproprescorrespondantà(un)étatpropre(sinondégénérescence)*Uneobservable est formalisée mathématiquement par un OPERATEUR"A»associé.Cet opérateur va permettre de déterminer l'ensemble des mesures possibles associées àcette observable (Energie->H, moment cinétique->L, spin->S, etc..)*Le sens de cette relation opérateur-observable est de donner la possibilité de décomposer un état quantique quelconque (donc un vecteur quelconque de l'espace de Hilbert) en unecombinaison linéaire d'états propres, chacun de ces états représentant un état possible résultant de l'opération de mesure.=> principe de superpositon spectrale9
la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel.Relation vecteur-fonction d'onde En mécanique quantique, les fonctions d'onde vont jouer un rôle équivalent
i,j,k{}forment une base L'état quelconqued'un système peut s'écrire comme une combinaison linéaire d'états appelés états propres: Cesétatsui>définissentcequel'onappelleunebasedevecteurs(états)propres.Cesétatspropresconstituentlesétats"observables»dusystème,cadquelorsd'unemesureonestcertaindesetrouverdansundesétatspropresdusystème.Maisseulelaprobabilitédetrouverlesystèmedanscetétatpropreestpertinenteavantlamesure
ΨV=αi+βj+γk⇔ΨV=αi+βj+γk10Un vecteur V quelconquepeut s'écrire dans une base: où(espace de Hilbert)
Ψ=ciuii=1N∑
La notation bra-keta été introduite par Paul Dirac (on l'appelle aussi formalisme de Dirac) pour faciliter l'écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l'aspect vectoriel de l'objet représentant un état quantique.
Notation utile: Bra-ket
Conjugué du vecteur ligne|⟩Ψ: vecteur colonne dans la base des |⟩|⟨Ψ|⟩ΨNommé "bra» de ΨNommé "ket» de Ψ+,-⋮/⋮0(+,......0)∗/est appelé "projection de l'état quantique (état propre de l'opérateur A) sur le vecteur de base /(autre état propre de l'opérateur A) »: c'est le produit scalaire desur /Si les états propres de A sont orthonormés le produit scalaire /est nul.
Ψ=ciuii=1N∑Ψest appelé "projection de l'état quelconque Ψsur le vecteur de base u»: c'est le produit scalaire de Ψsur
Produit scalaire de 2 vecteurs U, V:
U.V=x*x' i. i+x*y' i.j +...+y*y' j.j+....+z*z' k. k ⇒ U.V=x*x'+y*y'+z*z'Projection du vecteur sur un axe propre: Ex: Projection du vecteur V sur un des axes du repère orthonormé (i,j,k)
V. i=x i. i+y j.i+z k.i ⇒ V. i=x* Conjugué de la coordonnée
U2=U.U=x*x+y*y+z*zcarré de la norme du vecteur 13 Produit scalaire (2 visions)vecteurs fonctions d'ondeVU.V=U.VcosθUθΦ(x) Ψ(x) " overlap»Produit scalaire dans l'espace des états 14" Projection du vecteur U sur V»
U2=U.U=x*x+y*y+z*zd3r∫ Φ*(r) Ψ(r)Produit scalaire "intégrale de recouvrement» dans l'espacedes positionsΦΨ
ΨΦ=d3r∫ Ψ*(r) Φ(r) =d3r∫ Ψ(r) Φ*(r) $%&'*=d3r∫ Φ*(r) Ψ(r) $%&'*=ΦΨ*Quelques PropriétésEn mécanique quantique
: le produit scalaire s'écrit:ΦΨ⇒equivalencex,y,z[]*x'y'z'$%&&&'()))=x*x'+y*y'+z*z'ΨΦ=ΦΨ*on dit que les fonctions sont orthogonales
Si ΦΨ=0Φ et Ψd3r∫ Φ*(r) Ψ(r)15⟺⟺En notation "braket» ce produit scalaire (espace des états) s'écrit ΦΨoù ⟨Ψl est appelé le braconjugué du ket |⟩Ψ|⟩Ψ⟨Ψl
Norme du vecteur
v=VV Vecteur norméV=x2 +y2 +z2 En Mécanique Quantique: la fonction d'onde doit être de carré sommable (la probabilité intégrée sur tout l'espace de trouver la particule doit être égale à 1)on dit que la fonction est normée à l'unité
Ψ16⟩|Ψ⟹ΨΨ=1(é)En notation intégrale dans l'espace des positions∫F,Ψ∗(⃗)Ψ(⃗)=1Dans l'espace des états
Relation de fermeture
Soit le ket Ψdéfini dans la base des uiformant une base de vecteurs orthonormés⇒uiuii∑=1δi,j⇒symbole de Kroneckerδi,j=0 si i≠j, δi,j=1 si i=jProjetons le ket sur le vecteur de base
ujΨ17Ψ=ciuii=1N∑
Les seules énergies possibles sont les valeurs propres de l'opérateur A (H, Jz, ....). La mesure d'une grandeur A ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propresde l'observable ASi mon système dans un état quelconque
Pap=upΨ2=cnupunn∑2=cnδn,pn∑2=cp2La probabilité de mesurer la valeur apest alors donnée par:(je projette mon état quelconque sur la direction up) et je prends le module au carré de cette valeur
Aun=anunΨ=cnn=1∑un1-valeurs propres non dégénérées(Pour un valeur propre an=> un état propre )
unPap=upΨ2Si mon système est dans l'état propre un18 19Ψ=ciuii=1N∑Pap=upΨ2=cnupunn∑2=cnδn,pn∑2=cp2Orbitalemoléculaire(HOMO)=Probabilitédetrouverl'électron"délocalisé»surlecentreatomiquepparticulier(icionconsidèrel'atomeN)Rmq: La somme des probabilitésde trouver l'ésur cette OM est égal à 1.car le carré de la norme de la fonction d'onde (OM) de l'électron =1
Principe de décomposition spectrale
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr PILE OU FACE TP info sur tableur Commentaire : Utiliser le tableur comme outil de simulation pour introduire la notion de probabilité à l'aide de la fréquence. On se propo se de simuler avec le table ur les lan cers successifs d'une pièce de monnaie et de calculer les fréquences d'apparition de " Pile » et de " Face ». On considère que l'affichage par l e tableur d' un " 0 » correspo nd à " Pile » et que l'affichage d'un " 1 » correspond à " Face ». 1) a) Dans la colonn e A du ta bleur, simuler 20 lancers successifs d'une piè ce de monnaie. T1 b) Calculer la fréquence d'apparition de " Face ». 2) a) Prolonger la colonne A po ur simuler 7 0 lancers successifs d'une pi èce de monnaie. b) Dans la cellule B1, calculer l'effectif d'apparition de " Face ». c) Dans la cellule C1, calculer la fréquence d'apparition de " Face ». d) Effectuer plusieurs autres si mulations de 70 lancers et noter les fréqu ences obtenues. T2 3) a) Prolonger la colonne A pour effectuer des nombres de plus en plus grands de lancers. b) Recopier et compléter un tableau du même type : Nombre de lancers ... Fréquence d'apparition de " Face » ... c) Que constate-t-on lorsque le nombre de lancers augmente. d) Expliquer pourquoi ce résultat était prévisible. AIDES TABLEUR T1 La formule ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) affiche de façon aléatoire un " 0 » ou un " 1 ». T2 Appuyer sur la touche F9 sous Excel (MAJ+Ctrl+F9 sous OpenOffice) permet d'effectuer une nouvelle simulation. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales 50%* de chances de tomber sur Face50%* de chances de tomber sur Pile20Exemple ⟩|⟩|Après la mesure⟩⟨|=+⟩⟨|++⟨⟩|= +→]^_`=⟨|⟩+=+Avant la mesure⟩|=12⟩|+12⟩|⟩⟨|=+⟩⟨|++⟨⟩|= +→bc`=⟨|⟩+=+
2-Valeurs propres dégénérées
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr PILE OU FACE TP info sur tableur Commentaire : Utiliser le tableur comme outil de simulation pour introduire la notion de probabilité à l'aide de la fréquence. On se propo se de simuler avec le table ur les lan cers successifs d'une pièce de monnaie et de calculer les fréquences d'apparition de " Pile » et de " Face ». On considère que l'affichage par l e tableur d' un " 0 » correspo nd à " Pile » et que l'affichage d'un " 1 » correspond à " Face ». 1) a) Dans la colonn e A du ta bleur, simuler 20 lancers successifs d'une piè ce de monnaie. T1 b) Calculer la fréquence d'apparition de " Face ». 2) a) Prolonger la colonne A po ur simuler 7 0 lancers successifs d'une pi èce de monnaie. b) Dans la cellule B1, calculer l'effectif d'apparition de " Face ». c) Dans la cellule C1, calculer la fréquence d'apparition de " Face ». d) Effectuer plusieurs autres si mulations de 70 lancers et noter les fréqu ences obtenues. T2 3) a) Prolonger la colonne A pour effectuer des nombres de plus en plus grands de lancers. b) Recopier et compléter un tableau du même type : Nombre de lancers ... Fréquence d'apparition de " Face » ... c) Que constate-t-on lorsque le nombre de lancers augmente. d) Expliquer pourquoi ce résultat était prévisible. AIDES TABLEUR T1 La formule ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) affiche de façon aléatoire un " 0 » ou un " 1 ». T2 Appuyer sur la touche F9 sous Excel (MAJ+Ctrl+F9 sous OpenOffice) permet d'effectuer une nouvelle simulation. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales 50%* de chances de tomber sur Face50%* de chances de tomber sur PileSi la pièce vaut 1Euro, que je tire Pile ou Face je n'ai qu'une seule et mêmeValeur pour ma pièce A deux états propres (Pile ou Face)correspond une seule valeur propre=> 1 EuroLa probabilité de mesurer la valeur ap(1 Euro) de ma pièce est égale à 1 !!J'ai ce que l'on appelle une valeur propre dégénérée21
On écrit l'état d'un système quelconque de la forme:La probabilité de mesurer la valeur apest donnée alors par:
Ψ=cnii=1gn∑unin∑2-Valeurs propres dégénérées au sens de la MQA une valeur propre an => plusieurs fonctions propres d(i=1...g)avec g appelée dégénerescence(nombre d'états dde même valeur propre)
Pap=upiΨ2igp∑=cpi2igp∑22Si on applique cette relation au cas de la pièce de 1 Euro : n=1 (1 pièce), g=2 (2 faces))`eFf=+⟨gh|++++⟨gh|++= (+)++(+)+=1
Auni=anuni (i=1,2....gn)ié⟩|=1 ⟩|ié⟩|=1 ⟩|Equations aux valeurs propres ⟩|=12⟩|+12⟩|Avant la mesureExemple
Valeur moyenne de ALa valeur moyenne de l'observable A dans un état quelconque est définie comme la moyenne des résultats obtenus en effectuant un nombre N de mesures de cetteobservable sur des systèmes tousdans l'état La mesure d'une observable dans un état propre est égale à :
anΨunSoit un état quelconque dy système, construit sur la base des états propres
Ψ=ciuii=1N∑Montrons que la valeur moyenne de A est alors donnée par l'expression:AΨ=ΨAΨΨ23
Aun=anun
Soient N mesures de l'observable A, on obtient au final après N mesures N(an) fois la valeur propre an
AΨ=ann∑ΨununΨPan=limN→∞N(an)N et N(an)n∑=NLa valeur moyenne des résultats des N mesures est donc donnée par l'expression:Or nous avons vu que
Pap=upΨ2=upΨ*upΨ=ΨupupΨAΨ=1Nann∑N(an)=ann∑P(an)On considère que les valeurs propres sont non dégénérées24Probabilité de mesurer anan
Aun=anunComme
AΨ=ΨAΨGrâce à la relation de fermetureCette représentation de la valeur moyenne peut être donnée en représentation intégrale dans l'espace des positions (r)
AΨ=ΨAΨ∫⃗,Ψ∗(⃗) AΨ(⃗)Action d'un opérateur sur un bra/ket
Ψ'= ΨA+c1.. .. .. cn*a1,1a2,1a3,1a1,2a2,2a3,2a1,3a2,3a3,3!"####$%&&&&*=ΨAt*=ΨA+=c'1.. .. .. c'n*=Ψ'Ψ' est le bra ( conjugué du vecteur ligne) de Ψ'(colonne)Soit Ψ'=AΨou
Exemple
AΨ=21-2i31+2i3+i=2+4i+3+i-2i+4+9+3i=5+5i13+i=Ψ'Ψ=1+2i3-i, A=21-2i3Vérifions queΨAt*=Ψ'Ψ'=5-5i13-iAt*=22i13⇒ΨAt*=1-2i3+i22i13=2-4i+3-i2i+4+9-3i=5-5i13-i=Ψ'28-+
Comme Ψ'Φ= ΦΨ'*ΨA+Φ=ΦAΨ*ΨA+Φ=Ψ'Φ⇒ΦΨ'*=ΦAΨ*Ψ'= ΨA+alors29
Soit Ψ'=AΨComme Ψ'Φ= ΦΨ'*
En représentation intégrale dans l'espace des positionsΨA+Φ=ΦAΨ*ΦΨ∗→[∫⃗,Φ∗(⃗)Ψ(⃗)]*=[∫⃗,Φ(⃗)(AΨ(⃗))∗]→ΨnΦΨnΦ→∫⃗,Φ(⃗) (AΨ(⃗))*
A=A+ ai,j=a*j,i( éléments non diagonaux)aii=a*ii⇒aii rééls ∀i (éléments diagonaux)A=a1,1a1,2a1,3a2,1a2,2a2,3a3,1a3,2a3,3!"####$%&&&&=A+=At*=a*1,1a*2,1a*3,1a*1,2a*2,2a*3,2a*1,3a*2,3a*3,3!"####$%&&&&En MQ, les opérateurs ont la propriété de délivrer des valeurs propres réelles: Les opérateurs sont hermitiques 31
Propriétés d'un opérateur Hermitique: A=A+Les valeurs propres d'un opérateur Hermitique sont réellesSoit l'équation aux valeurs propres
u est appelée "fonction propre" de Aλ est appelée "valeur propre" de A uA+u=λ*uuOr, uA+u=uAuAu=λuuA+=uλ*uAu=λuuλ*=λValeur propre réelleProjetons sur le vecteur u Mais siAu=λu32
A=A+= *(Les vecteurs u forment une base orthonormée)En représentation intégrale dans l'espace des positions[∫⃗,∗(⃗)(⃗)]∗=[∫⃗,∗(⃗)A(⃗)] Si A=A+On a vu queSi on remplaceΦΨCQFDΦΨ∗→[∫⃗,Φ∗(⃗)Ψ(⃗)]*=[∫⃗,Φ(⃗)(AΨ(⃗))∗]→ΨnΦ→[∫⃗,Φ∗(⃗)Ψ(⃗)]∗=∫⃗,Ψ∗(⃗)Φ(⃗)ΨnΦ= ΨΦ→∫⃗,Ψ∗(⃗)Φ(⃗)
En représentation intégrale∫⃗,∗(⃗)A(⃗) = [∫⃗,∗(⃗)(⃗)]=[∫⃗,∗(⃗)(⃗)]==*[∫⃗,∗(⃗)(⃗)]∗=[∫⃗,∗(⃗)A(⃗)] Comme Si A=A+
Propriété la valeur moyenne d'un opérateur hermitique est réellecomme A=A+On a vu que ΦAΨ*=ΨA+ΦΨAΨ*=ΨA+ΨΨAΨ=ΨAΨ*Si Les opérateurs sont hermitiques
A=A+ Ψ=ciuii=1N∑soit un état quelconque Ψ≡Φ35sila valeur moyenne d'un opérateur est réelleEn représentation intégrale dans l'espace des positions[∫⃗,Ψ∗(⃗)Ψ(⃗)]∗=[∫⃗,Ψ∗(⃗)AΨ(⃗)]
ΨAΨ=ΨAΨ*Si A=A+On a vu queSi on remplaceΦΨ,CQFD
ΨAΨ=ΨAΨ*≡ΦΨ∗→[∫⃗,Φ∗(⃗)Ψ(⃗)]*=[∫⃗,Φ(⃗)(AΨ(⃗))∗]→ΨnΦ→[∫⃗,Φ∗(⃗)Ψ(⃗)]∗=∫⃗,Ψ∗(⃗)Φ(⃗)ΨnΦ= ΨΦ→∫⃗,Ψ∗(⃗)Φ(⃗)
Au=λu⇒uA=λuAt=βt⇒tA=βtOn x par t Au=λu⇒tAu=λtuOn x par u tA=βt⇒tAu=βtuComme les valeurs propres sont différentes, alors
0=tu⇒u⊥t*
Théorème 2vecteurspropres()d'unopérateurhermitiqueAcorrespondantsà2valeurspropresdifférentes()sontorthogonaux
u,tλ,β0=(λ-β)tu37Car A=A+et ,réellesBILAN à retenir
-Les valeurs propres d'un opérateur hermitiqueA sont réelles-2 vecteurs propres d'un opérateur hermitiqueA correspondants à 2 valeurs propres différentes sont orthogonaux
la valeur moyenne d'un état quantique construit sur une base d'états propres d'un opérateur hermitiqueA est réelle
38detA-λI[]=0A⇒a1,1a1,2a1,3a2,1a2,2a2,3a3,1a3,2a3,3"#$$$$%&''''Pour l'opérateur A, on associe une matricedans une base telle que ai,j sont les éléments de matrice de A: Rappels : Détermination des valeurs propres et vecteurs propres d'un opérateur (A)hermitique
Ψk=ci,ki=13∑Φi (k=1,3)*Recherche des valeurs propres*Dans la base des nouveaux états propres de A, A est diagonale et
ai,j=ΦiAΦjΦ{}i=1->3* Les fonctions propres sont orthogonales et normées à l'unité 39Si A est n'est pas diagonale=> les éléments de la diagonale ne sont plus valeurs propres de A. La matrice A n'est pas diagonale dans la base A.Si A est diagonale => les éléments de la diagonale sont valeurs propres de A. On dit que la matrice A est diagonale dans la base A de ses vecteurs propres
A=EH1sββEH1s!"##$%&&⇒detA-αI[]=detE1s-αββE1s-α!"##$%&&=0det=(E1s-α)2-β2=α2-2αE1s+(E21s-β2)Δ=4E1s2-4(E21s-β2)=4β2⇒E±=E1s±βValeurs propresTerme de couplageHors diag.
A⇒a1,1a1,2a1,3a2,1a2,2a2,3a3,1a3,2a3,3"#$$$$%&''''Formation des 2orbitales moléculaires de la molécule H2 à partir des 2orbitales atomiques 1s de H(les orbitales 1s des 2 Hydrogènes sont considérées orthonormées)
Φ1 et Φ2: OA 1s des 2 atomes H41?<
Vecteurs propres
Ψ+Ψ-=12#$%&'(2Φ1+Φ2Φ1-Φ2Φ2Φ1=Φ1Φ2=S12=0;Φ2Φ2=Φ1Φ1=1Ψ+Ψ-=12Φ1Φ1-Φ1Φ2+Φ2Φ1+Φ2Φ2()=0a-=E1s-βE1s-a-ββE1s-a-"#$$%&''c1c2"#$$%&''=00"#$%&'⇒(E1s-a-)c1+βc2=0⇒c2=-c1avec c12+c22=1 (normalisation de la fonction d'onde)⇒c1=12; c2=-12Ψ-= 12(Φ1-Φ2)⇒antiliantea+=E1s+βE1s-a+ββE1s-a+"#$$%&''c1c2"#$$%&''=00"#$%&'⇒(E1s-a+)c1+βc2=0⇒c2=c1avec c12+c22=1 (normalisation de la fonction d'onde)⇒c1=12; c2=12Ψ+= 12(Φ1+Φ2)⇒lianteΨ+⊥Ψ-Projetons alors les états quantiques Ψn/v+/-y()rr2r1rr2r1Propriétésbase d'OMorthogonalesx scalaire Ψn/vΦ/+base d'OA orthogonales
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