[PDF] I Eléments de cours à connaître

Projection orthogonale d’un vecteur sur un autre dans R

Projection orthogonale d’un vecteur sur un autre dans R2 Note : Cerésumé estécrit parT Zwissig Ilest cequ’attend cetenseignantlors del’oral de maturité

Projection orthogonale - pagesperso-orangefr

projection orthogonale On a donc à nouveau E F F et pF a un sens La définition est : la distance entre le vecteur u et le sous-espace vectoriel F est le nombre réel suivant : d u F, u p uF ( ) La figure correspondante est : Rm: ici encore, on ne calculera la distance entre un vecteur u et un sev F que lorsque F est de DIMENSION FINIE

Projectionorthogonale

2 Projection orthogonale sur un sous-espace On peut définir de même l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel F en on souhaite trouver un vecteur X 0

2 - Projections orthogonales

Projection orthogonale de ℝ3 sur un sous-espace affine de dimension 2 On donne un plan G défini par le repère A, g1, g2 et le point P Déterminez le point P* =p(P)= projection orthogonale de P sur G Le mot "orthogonal" signifie ici que la projection sur G se fait selon la direction perpendiculaire à G Une première méthode consiste à

I Eléments de cours à connaître

Fiche n°2 sur la projection de vecteurs I Eléments de cours à connaître I 1 Définition du produit scalaire I 2 Conséquences / propriétés I 3 Application : formule d’Al Kashi I 4 Projection d’un vecteur I 5 Expression analytique I 6 Une propriété utile pour les exercices II Exercices d’applications III Corrections des exercices

1 2 3 d

EXERCICE 1A 1 Dans chaque cas, construire le projeté orthogonal du vecteur u sur l’axe (d) EXERCICE 1A 2 Projeter u sur chacun des axes puis trouver x et y tels que u = x i + y j u j u i j 35 u i j 3,5 2 u i j 3,5 j u i j 4 u i j 3 1,5 u i j 3 i i j i u u u (d) (d) (d) u u i i j

CHAPITRE 6 : VECTEURS GAUSSIENS

1) Rappel : projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n, muni d’un produit scalaire (on parle d’espace Eu-clidien) On peut par exemple prendre E = Rn et le produit scalaire d´efini au d´ebut du paragraphe II

Première S - Propriétés de calcul du produit scalaire

III) Projection orthogonale et produit scalaire: 1) Définition: (d) est une droite et M un point du plan Le projeté orthogonal de M sur la droite (d) est le point H intersection de la perpendiculaire à (d) passant par le point M et de (d) 2) Propriété • Les vecteurs et sont non nuls tel que et Alors

Chapitre 3 Espaces affines euclidiens

d’un repère affine de E Projection orthogonale sur un sous-espace affine Si F est un sous-espace affine d’un espace affine euclidien E, la projection sur F dans la direction −→ F ⊥ est appelée projection orthogonale sur F Le projeté orthogonal M′ d’un point M réalise le minimum des distances de M aux points de F :

VECTEURS GAUSSIENS - u-bordeauxfr

Attention, les composantes d’un vecteur gaussien sont gaussiennes mais la réciproque est fausse En effet, soit X= (Y;"Y) un vecteur aléatoire de R2 tel que Y et "sont deux variables aléatoires réelles indépendantesavecY ˘N(0;1) et"suituneloideRademacherc’est-à-direP("= 1) = P("= 1) = 1=2

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1

Fiche n°2 sur la projection de vecteurs

I. Eléments de cours à connaître

I.1 Définition du produit scalaire

I.2 Conséquences / propriétés

I.3 Application

I.4

I.5 Expression analytique

I.6 Une propriété utile pour les exercices

II. ǯ

III. Corrections des exercices

2

I. Eléments de cours à connaître

I.1 Définition du produit scalaire

Le produit scalaire entre deux vecteurs

BA, est un scalaire et est noté BA.

Il est défini de la manière suivante :

)cos(...BABA , avec ),(BAD angle formé par les deux vecteurs BA, de normes respectives A et B

I.2 Conséquences/propriétés

ABBA..

Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ou orthogonaux est nul La norme des deux vecteurs étant fixée, le produit scalaire de deux vecteurs est extrémal lorsque les deux vecteurs sont colinéaires

CBCACBA..).(

2..AAAAA

AAA.

I.3 Application : fǯ-Kashi

Soient deux vecteurs

A et B

BABBAABABABA.2..)).((

2 ),cos(..2

22BABABABA

Cette formule est très utile pour calculer certaines longueurs de segments mais il est inutile de la

, le plus simple étant de la retrouver, comme indiqué ci-dessus. 3

I.4 Pǯ

BdBABA.)cos(... D

avec d la projection du vecteur A sur B

Application ǣǯorthonormée (

yxuu, yyxxuAuAA avec )cos(.AuAAxx et )sin(.AuAAyy

Voir aussi :

Soient deux bases orthonormées (

yxuu, ) et ( uur, du plan, définies sur la figure ci-contre.

Exprimer les vecteurs

ru et u dans la base ( yxuu, puis les vecteurs xu et yu dans la base ( uur, 4

I.5 Expression analytique

Soit ),,(zyxeee une base orthonormée directe dans un espace vectoriel à trois dimensions. BA, sont deux vecteurs de coordonnées cartésiennes respectives ( ),,AAAzyx et ( ),,BBBzyx dans la base précédente. Il découle de la définition du produit scalaire :

BABABAzzyyxxBA .

222

AAAzyxA

I.6 Propriété utile pour les exercices

ȋͳȌȋǯʹȌperpendiculaires à (D2). Les angles formés par les droites 5

II. Exercicǯ

Dans tous les exercices, on prend comme sens positif des angles le sens trigonométrique.

Exercice 1 : Projections et produit scalaire

On considère une base orthonormée du plan (

yxuu, ). Soient un vecteur u de norme u faisant un angle avec le vecteur xu et un vecteur v de norme v et faisant un angle avec le vecteur yu Donner les projections des deux vecteurs précédents dans la base yxuu, ). Déterminer le produit scalaire vu. de deux manières différentes.

Exercice n°2 : Pendule pesant

P de norme P et la tension T du fil de norme T. La position du point M est paramétrée ǯ (voir figure ci-contre). Déterminer les composantes de ces deux forces dans la base orthonormée ( uur, ) définie sur le dessin.

Exercice 3 : Palet sur un plan incliné

trois forces : son poids caractérisé par le vecteur P de norme P et de la part du plan incliné la réaction normale N de norme N et la réaction tangentielle T de norme T (frottements solide). On considère par ailleurs deux bases orthonormées du plan : ( yxuu, ) et ( '',yxuu ) (voir dessin)

1) Exprimer les trois forces considérées dans les deux

bases différentes.

2) Exprimer la résultante des forces

TNP dans la base ( '',yxuu

3) Déterminer la norme du vecteur

TP

4) Soit un vecteur

v de norme v et faisant un angle avec le vecteur 'xu . Exprimer vP. en fonction de P, v, et . 6 Exercice 4 : Pendule pesant sur un plan incliné

On considère le

pendule pesant de incliné (Oxy) ǯ par rapport à

ǯ (AX). La

droite (OA) est sur la ligne de plus grande pente et on donne

OA=L. Déterminer la

projection ZM du vecteur AM suivant

Ǯ (AZ).

Vérifier votre résultat en considérant des cas limites (=0 ou /2).

Exercice 5 : Point matériel sur un cerceau

On considère un anneau assimilé à un point matériel M de masse m se déplaçant sur un cerceau de rayon a de centre C.

ǯ et la base

uur, ) est orthonormée directe. Le point M est soumis en particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P.

Le vecteur

yu est suivant la direction verticale.

1) Exprimer le poids

P dans la base ( uur,

2) Exprimer le vecteur

OM dans la base orthonormée uur, ) définie sur le schéma ci-contre (on pourra utiliser :

CMOCOM

3) En déduire la longueur OM et commenter.

Exercice 6 : Cerceau lesté sur un plan incliné On considère un cerceau circulaire de rayon R, de centre C ǯ par une masse supposée ponctuelle M de masse m.

On considère la base orthonormée (

uur, ) comme définie sur le dessin, dépendant de la position de M. particulier à son poids caractérisé par le vecteur P de norme P. 7

1) Exprimer le poids

P dans la base ( uur,

2) Déterminer la projection du vecteur

OM (Oy) en fonction de , R et la distance OH.

3) On admet que la vitesse du point M

suivante udt dRuVMVxC ')( . Déterminer les composantes de cette vitesse dans la base '',yxuu 8

III. Corrections des exercices

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