[PDF] Eléments du Cours de Mécanique Analytique

Coordonnées à l’origine CST et TS Les coordonnées à l’origine

Coordonnées à l’origine CST et TS www sylvainlacroix ca Trouvons les origines à partir de la forme fonctionnelle y = ax + b La pente : a L’ordonnée à l’origine : b c’est la constante dans l’équation L’abscisse à l’origine : si y=0, d = m −b On trouve la valeur de b lorsque l’on met x = 0 Alors on aura (0, b)

MATHEMATICS VOCABULARY WORDS IN ENGLISH AND FRENCH English

x - and y - intercepts Coordonnées à l'origine x -axis Axe des abscisses (l' axe des x) x -intercept Abscisse à l'origine Y y-axis Axe des ordonnée (l' axe des y) y-intercept Ordonnée à l'origine

COORDONNÉES GÉOGRAPHIQUES - Weebly

LE MERIDIEN D’ORIGINE Si les latitudes peuvent être mesurées à partir de l'équateur, il n'existe pas de référence naturelle équivalente pour fixer l'origine des longitudes Il est donc nécessaire de définir un méridien d'originepour s’orienter Suite à une conférence internationale en 1884, les astronomes et les cartographes ont

À remettre: Page 372 Questions 4 à 9a

coordonnées à l‛origine, la pente, le domaine et l‛image Per 1 le 27 novembre 2020 M ­ Z notebook 3 November 27, 2020 déc 6­10:06

Exercice n° 19 : Fonctions exponentielles

(3 – x) et indique le domaine, l’image, les coordonnées à l’origine et les asymptotes 8 Trace le graphique de f(x) = log 4 (x – 1) + 1 et indique le domaine, l’image, les coordonnées à l’origine et les asymptotes Pour les questions 9 à 12, trouve la valeur de x dans les équations données 9 2x2 = 16 10 82x+1 = 64 11 64 2

Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires

Le pole correspond à l’origine L’axepolaire coincide avec l’axedes abscisses positives Si le point P a pour coordonnées polaires (r, θ), ses coordonnées Cartésiennes (x, y) sont : cos sin xr yr T T CARTÉSIENNES ET POLAIRES

Transformations géométriques : rotation et translation

•L’origine de B est situé à la coordonnée (10,5) dans le repère A : •La position de P, exprimée dans le repère A, est donc l’addition des deux vecteurs et : 178 x A y A x r y r 10 5 réf A réf B P B AT BP B AAP P T B B B AA AA x y B B T T º » »¼ Tous cela fonctionne tant que les repères A et B ont la même orientation

KM C454e-20180913145847

8 Quelles sont les coordonnées à l'origine de la droite donnée par l'équation y = CST-4 10 Ordonnée à l'origine : Abscisse à l'origine 9 Trace une droite qui passe par le point C et qui est perpendiculaire à la droite AB dans le plan cartésien Donne aussi l'équation de cette droite c 2,2) -10 Équation de la droite CD

Eléments du Cours de Mécanique Analytique

son des contraintes, les 3N coordonnées qui décrivent le système ne sont plus indépendantes entre elles De plus, les forces à l’origine des contraintes sont mal connues et de ce fait introduisent à leurs tours de nouvelles incon-nues liées à leurs valeurs L’idée de base de la mécanique analytique est d’éliminer les forces

les repères orthonormés (ou orthonormaux) les deux axes sont

L 'abscisse et l'ordonnée d'un point forment ses coordonnées E 2 et3: On écrit ceci A ( -2; 3) Sur "illustration ci-dessus, les coordonnées de A sont - L 'abscisse est toujours écrite en premier Dans ce qui suit, nous allons prendre l'exemple d'un repère orthonormé dessiné et orienté de la façon la plus habituelle, c'est-à-dire

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Chapitre 1Formalisme de Lagrange1.1 Introduction

Le formalisme de la mécanique analytique n"apporte pas de nouveauté conceptuelle par rapport au formalisme de la dynamique Newtonienne. Tou- tefois, l"approche de la mécanique analytique constitue laformulation la mieux adaptée à de nombreux domaines de la physique moderne.Elle est à l"origine de la quantification des dynamiques classiques et fournit nombre de concepts et d"outils mathématiques pour élaborer la mécanique quantique moderne. La mécanique analytique constitue un cadre bien adapté à la for- mulation des modèles des intéractions fondamentales de manière intuitive en se basant sur les théories de symétrie de Jauge , partant del"intéraction éléctromagnétique et passant par les intéractions faibleset fortes.

1.2 Coordonnées généralisées

L"approche standard de la mécanique newtonienne consiste àrelier les quantités de mouvement des diverses particules aux forces qui en sont à l"ori- gine sous forme d"équations différentielles vectorielles de deuxième ordre. Les forces mises en jeu sont décrites soit par des lois fondamentales, dont celles de la force gravitationnelle et de la force éléctromagnétique, ..., soit par des lois phénoménologiques qui décrivent les forces de frottement. Rappelons que les forces de frottements consituent des effets à l"échelle macroscopique des forces fondamentales. L"ensemble des équations différentielles dynamiques associées aux conditions initiales permettent de prédire complètement le mouvement. La résolution de ces équations restent en général fastidieuse lorsque des contraintes existent entre les positions ou bien entre les posi- 3

Formalisme de Lagrange

tions et les vitesses. En effet, la présence des forces de liaison où en général les forces de contact introduisent des dépendances entre les variables qui décrivent le système. Aussi, si le système est formé parNparticules, en rai- son des contraintes, les 3Ncoordonnées qui décrivent le système ne sont plus indépendantes entre elles. De plus, les forces à l"origine des contraintes sont mal connues et de ce fait introduisent à leurs tours de nouvelles incon- nues liées à leurs valeurs. L"idée de base de la mécanique analytique est d"éliminer lesforces inconnues et de ne décrire le système que par des coordonnées qui sont indépendantes et qui ne sont soumises à aucune contrainte. Ces coordonnéess"appellentles coordonnées généralisées. Elles sont de nature arbitraire et peuvent être une longeur, un angle, ... cependant ces coordonnées décrivent de manière univoque l"état mécanique du système si l"on prend en compteles contraintes. Pour se fixer les idées, prenons l"exemple du double pendule,figure 1.1. En principe le système est décrit par 6 coordonnées, 3 coordonnées pour chacun des pendules. Or, - les fils sont de longueur fixe, ce qui engendre deux contraintes, chacune sur les coordonnées d"un pendule OM

1=?1---→

M1M2=?2;

- le mouvement doit avoir lieu sur un plan, ce qui rajoute deuxcontraintes supplémentaires, chacune sur un pendule. g

1θ1l

1M 2θ 2l 2M

Figure1.1 -Deuxpendules liés astreints à se déplacer sur le même plan. Les anglesθ1etθ2suffisent

pour décrire le mouvement du système.

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1.2 Coordonnées généralisées5

D"où le mouvement du système peut être décrit seulement par deux coor- données au lieu de six. Le choix tout à fait naturel est constitué par les deux angles repérant les rotations des deux pendules. L"idée est de réexprimer les lois qui régissent le mouvementdu système non pas avec les coordonnées habituelles mais en fonction des coordonnées généralisées. Si l"on est en présence de?contraintes, le nombre de coor- données indépendantes est égal à?= 3N-?. Ces n coordonnées, que l"on appelle les coordonnées généralisées, sont noteés????= 1?···??. On dit que le système possède?degrés de liberté. Chacune des coordonnées

généralisées est identifiée à un degré de liberté. Aussi, il s"agit d"identifier

decription du système. Revenons aux contraintes. Rappelons que généralement quand on résoud un problème, on est intéressé par la solution du mouvement etnon par la connaissance des forces de laison qui sont à l"origine des contraintes sur les coordonnées. La mécanique analytique permet d"établirles équations du mouvement en éliminant les forces de liaison, comme on le verra par la suite, et fournit les outils nécessaires pour déterminer les forces de contact. Nous allons donner quelques définitions des contraintes quenous utilise- rons dans la suite de ce cours.

1.2.1 Contraintes et définitions

On appelle contrainte holonome toute contrainte vérifiant la forme ?(??1???????N??) = 0 différentiable en tout point. On distingue deux classes de contraintes ho- lonomes. Les contraintes sont ditesscléronomessi elles ne dépendent pas explicitement du temps. Dans le cas contraire, elles sont ditesrhéonomes. Notons que dans le cas du double pendule, étant donné que la longueur des fils est constante, et comme la contrainte est imposée c"est la longueur du fil, alors elles est cléronome. La physique moderne est essentiellement sub-atomique et l"on est rarement

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Formalisme de Lagrange

confronté aux contraintes et quand elles apparaissent dansun problème, elles sont holonomes.

1.3 Equations de Lagrange

Comme c"est indiqué dans le paragraphe précédent, il s"agitde décrire la dynamique du système avec les coordonnées généralisées. Pour ce faire, il est indispensable d"établir les équations auxquelles les variables générali- sées sont soumises et ceci est réalisé à l"aide de la fonctionde Lagrange que l"on appelle le lagrangien, notéeL(???????), et qui est homogène à une

énergie.

Nous allons présenter les équations de Lagrange en utilisant deux approches. L"une d"elles est basée sur le principe de moindre action, qui est un forma- lisme sous-tendu par les chemins d"intégrale. Une deuxièmeapproche dérivée des lois fondamentales de la dynamique fera l"objet de ce paragraphe. Dans la suite, nous adopterons les indices grecsαpour énumérer les par- ticules qui composent le système et les indices romains pourénumérer les coordonnées généralisés. Les forces de liaison seront notées?F?et les forces extérieures par?F?.

1.3.1 Principe de moindre action

On postule qu"il existe une fonctionL(???????) telle que l"action, définie, par S=? ?2

1L(???????)???

est extremale pour la trajectoire empruntée effectivement par le système entre les instants?1à?2dont les coordonnées généralisées respectives sont ?(?1) et??(?2), valeurs de départ et d"arrivée de la trajectoire. Il est très important de remarquer que ce qui est stipulé ne sont pas des équations différentielles sur les variables dynamiques du système, comme c"est le cas du principe fondamental de la dynamique, mais unprincipe va- riationnel qui postule le caractère extrémale d"une intégrale calculée sur la trajectoire.

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1.3 Equations de Lagrange7

Un autre exemple du principe variationnel utilisé en physique est celui de Fermat qui sous tend les lois de l"optique géométrique et qui stipule que le rayon lumineux emprunte toujours le trajet ayant un tempsde parcours extremal, minimal dans ce cas ci. Notons que la fonction de Lagrange ne dépend que des coordonnées gé- néralisées et leurs premières dérivées car les équations fondamentales de la dynamique sont de second ordre.

1.3.2 Théorème de d"Alembert

Ce théorème permettra de déduire les équations de Lagrange àl"aide du principe fondamental de la dynamique en introduisant la notion de déplace- ment virtuel.

Théorème

Lors d"un déplacement virtuel, le travail des forces de liaison est nul. Notons qu"un déplacement virtuel correspond à un déplacement de chaque vecteur position???d"une quantitéδ???à un instant?donné. Alors qu"un dé- placement réel???met en jeu une translation correspondante dans le temps. Ce théorème stipule donc que les déplacements virtuels sontceux pour lesquels les forces de liaisons n"engendrent aucun travailet n"affecte donc pas l"énergie du système. Si les contraintes ne dépendent pas du temps alors les déplacements virtuels coincident avec les déplacements réels.

Prenons quelques exemples :

Pendule simple :le fil est inextensible. Lors des oscillations du pendule la tension du fil ?Tne travaille pas. Le déplacement virtuel coincide avec le déplacement réel. Boule :une boule qui roule sans glisser. La force de liaison qui l"empêche de glisser est perpendiculaire au plan de roulement. Aussi,le travail de cette force est nul. Calculons le travail des forces le long d"un déplacement virtuel, que l"on appelle le travail virtuel,

δW=?

α(?F??α+?F??α)·δ??α=?

F??α·δ??α?

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Formalisme de Lagrange

Or le déplacement virtuel peut s"exprimer comme suit sachant queδ?= 0 pour un déplacement virtuel. Le travail virtuel prend alors la forme

δW=?

F??α·∂??α

?Q oùQ?est la?ème composante de la force généralisée telle que Q ?=N?

α=1?

F??α∂??α

Nours revenons sur ce concept pour établir l"équation de Lagrange à partir des principes de la dynamique.

1.3.3 Principe variationnel

Cette approche est basée sur les chemins d"intégrale. Considérons deux trajectoires entre les coordonnées?(1) et?(2), figure 1.2. L"une constitue la trajectoire effectivement suivie et que l"on notera par??(?). L"autre trajec- toire, que l"on appellera la trajectoire variée, infinimentproche de la trajec- toire effective, correspond à chaque instant à??(?) +δ??(?), oùδ??(?) est un accroissement infinitésimal de la coordonnée

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1.3 Equations de Lagrange9

1t2t t)

1(tiq)

2(tiq(t)

iq (t) iqδ Figure1.2 -Trajectoires effective et variée. Les deux coincident aux instants?1et?2. et qui s"annule aux instants?1et?2puisque les deux trajectoires se confondent en ces points. Le postulat est que l"action est extremale pour la trajectoire effective, ce qui veut dire que l"accroissement de l"actionδS autour de cette trajectoire est nul. Calculons cet accroissement

δS=?

?2

1(L(??+δ?????+δ????)-L(?????+?))??

?2 1? ∂L ∂??δ????+∂L∂???δ? nous avons utiliséδ??=?δ??/??. En intégrant par partie le deuxième terme entre les deux instants?1et?2, on obtient

δS=?

?2 1? ∂L ∂??-???∂L∂??? ???+?∂L∂??δ??? ?2 1 Comme les deux trajectoires coincident aux instants?1et?2alorsδ??(?1) = ?(?2) = 0, ce qui fait que ?∂L ?2 1= 0 Le terme qui reste est nul, sachant que lesδ??sont arbitraires et indé- pendants, si et seulement si les?équations suivantes sont simultanément nulles

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Formalisme de Lagrange

∂L ∂??-???∂L∂??= 0 ce qui constitue les équations de Lagrange. Si les coordonnées généralisées coincident avec les coordonnées carté- siennes, les équations de Lagrange s"écrivent comme suit ∂L(???????) ∂??-???∂L(???????)∂??= 0? Notons qu"à partir d"un principe variationnel, qu"est le principe de moindre action, on aboutit à?équations différentielles du second ordre. Remarquons aussi que - les équations du mouvement ne changent pas si la fonction deLagrange est multipliée par une constante. Ceci correspond seulement au choix de l"unité deL. Rappelons qu"elle est homogène à une énergie. - la forme deLdoit obéir aux symétries du système physique (invariance par translation dans le temps et dans l"espace, invariance relativiste, ...). D"ailleurs, c"est cela qui guide la construction des modèles théoriques et plus particulièrement les théories des interactions fondamentales. - les équations du mouvement restent inchangées si l"on rajoute au la- grangien une dérivée totale d"une fonction des coordonées et du temps. PosonsL?=L+??(????)/??.?ne dépend pas de??carLne dépend que des dérivées premières par rapport au temps. En effet ∂L ∂??-???∂L or ce qui implique que ∂L ∂??-???∂L et donc les équations de Lagrange restent invariantes.

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1.3 Equations de Lagrange11

- le Lagrangien de deux systèmes indépendants est égale à la somme des lagrangiens de chacun des systèmes,L=L1+L2.

1.3.4 Principe de la dynamique

Reprenons le travail virtuel des forces extérieures défini auparavant. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on a

δW=?

Reexprimons le travail virtuel en utilisant l"accélération généralisée de ma- nière à ce que ?A l"expression des composantes de l"accélération généralisée sont A De même, l"expression de la vitesse peut se mettre sus la forme

Aussi nous avons

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Formalisme de Lagrange

On obtient alors

A

α12?α?α2?

α12?α?α2?

ce qui aboutit finalement à A ??∂T∂??-∂T∂?? oùTest l"énergie cinétique de la particuleα. En combinant l"expression de l"accélération généralisée à celle de la force généraliséeon trouve?

A?-Q?)δ??

Cette dernière relation est vérifiée quelque soit le déplacement virtuelδ?? si et seulement si et qui traduit l"équation de Lagrange en fonction de l"énérgie cinétique et de la force généralisée. Rappelons que la relation précédente est établie dans un référentiel ga- liléen. Dans le cas où le référentiel n"est pas galiléen, comme la relation fondamentale de la dynamique dans ce référentiel est

Fα+????α

où ????sont les forces d"inertie, l"accélération généralisée devient A ?=Q?+Q??? où Q Notons que l"énergie cinétique est évaluée dans le référentiel non galiléen.

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1.3 Equations de Lagrange13

1.3.5 Lagrangien d"une particule libre non relativiste

Comme il a été mentioné auparavant, le lagrangien d"un système, en l"occu- rence une particule isolée, est guidé par les symétries du système. En raison du principe fondamental de la dynamique, la particule est animée d"un mou- vement uniforme,???=?0. Les symétries qui vont guider la construction du lagrangien sont - l"invariance par rapport aux translations dans le temps (conservation de l"énergie), le lagrangien ne doit pas dépendre explicitement du temps; - l"invariance par rapport à l"espace (conservation de la quantité de mou- vement), le lagrangien ne doit pas dépendre de??; - l"invariance par rapport aux rotations (conservation du moment ciné- tique), le lagrangien ne doit pas dépendre de la direction de??; ce qui fixe la forme de la fonction de Lagrange àL=?(?2). Si l"on applique les équations de Lagrange, on obtient ??∂L∂??= 2???? ????2??? et l"équation du mouvement de la particule isolée???=?0, est satisfaite si

2= constante =?/2.

Une deuxième approche consiste à utiliser le principe qui stipule que toutes les lois physiques doivent avoir la même forme dans les référentiels galiléens, et les équations de Lagrange n"échappent pas à cette règle. Rappelons que nous sommes dans le cas non relativiste et la transformation qui permet de passer d"un repère galiléen?à un autre??est donnée par la transformation de Galilée : ??(M/?) =??(M/??) +?V(??/?)--→OM=--→O?M+?V(??/?)? où?et??sont mesurés respectivement par des horloges liées aux repères? et??.

Supposons que

?V(??/?) =?ε→?0. La vitesse de la particule dans ce nouveau repère est???(M/??) =??(M/?)-?ε. Les équations de Lagrange conservent la même forme dans les deux référentiels si les deux fonctions de Lagrange respectivement dans les deux repères diffèrent par une dérivée totale par rapport aux temps : L ?=?(??2)

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=??[??-?ε]2? ? ?(?2-2?? · ?ε) =?(?2)-2?? ??2?? · ?ε =?(?2)-2?? ??2?????· ?ε le cas simple où les deux expressions du lagrangien diffèrentpar une dérivée totale par rapport au temps est lorsque??/??2est constante, ce qui donne L ?=L -?

2????2?? · ?ε?

2=C=? ?=C?2et doncL=C?2. Sachant que le moment conjugué

?=∂L ∂??= 2C??=???=? C=12? ce qui donne finalement pour le lagrangien d"une particule libre non relati- visteL=1 2??2.

1.3.6 Système de particules interagissant par des forces conservatives

On considère un système formé deNparticules. On suppose dans ce cas que la force extérieure qui s"exerce sur chacune des particules dérive d"un potentiel et que le potentiel ne dépend que des coordonnées généralisées V(??). Ainsi la force?F???α=-∂V/∂??α=-??αV. On laissera tomber de préci- ser le cartère exterieur de la force par souci d"allègement des notations. Les composantes de la force généralisée peuvent se mettre sous la forme Q ?=N?

α=1?

Fα·∂??α

=-N?

α=13

?=1∂V or∂/∂??=? α??∂?α??/∂??∂/∂?α??ce qui donne Q ?=-∂V ainsiL=T-Vdéfinit bien le lagrangien et satisfait les équations de

Lagrange.

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1.3 Equations de Lagrange15

Notons que le potentiel ne dépend ni explicitement du temps ni de??.

Pour une particule, nous avons

∂L ∂??=-∂V∂??=Q?; puisqueTne dépend que de??. En comparant les équations de Lagrange au principe fondmental de la dynamique ??∂L∂??=Q?=????? ce qui permet de définir ?=∂L comme étant l"impulsion généralisée ou le moment conjugué de??.

1.3.7 Système de particules interagissant par des forces dérivant d"un potentiel géné-

raliséV(???) Même si le potentiel n"est pas conservatif au sens usuel, notons qu"il dé- pend des vitesses généralisées ?, si la composante de la force généralisée peut se mettre sous la forme Q ??∂V∂?-∂V∂?? le lagrangienL=T-Vsatisfait toujours les équations de Lagrange. C"est le cas pour l"exemple de la force de Lorentz, comme cela sera traîté en travaux dirigés.

1.3.8 Cas des forces dissipatives : fonction de Rayleigh

Si toutes les forces ne dérivent pas d"un potentiel, on peut toujours écrire les équations de Lagrange sous la forme ??∂L∂?-∂L∂??=Q? où lesQ?sont les forces généralisées qui ne dérivent pas d"un potentiel, même généralisé.

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Le cas des forces de frottement qui s"écrivent commeF?=-????peut être traîté en utilisant la fonction dite de dissipation de Rayleigh définie par ?=1 2? ???2α??+???2α??+???2α??? sachant que la force généralisée peut se mettre sous la formeQ?=-∂?

1.3.9 Cas de contraintes non holonomes : multiplicateurs deLagrange

Le caractère holonome des contraintes,??(??1?···???N) = 0? ??{1??}, assure que les coordonnées généralisées (????= 1??) où?=N - ?soient idépendantes deux à deux et c"est ce qui permet d"établir leséquations de Lagrange à partir du principe de moindre action. Que se passe-t-il si les contraintes ne sont pas holonomes?

Méthode des multiplicateurs

Supposons que l"on a?équations de contrainte qui peuvent se mettre sous la forme? ?????+?????= 0 où?= 1?···??et?= 1?N; alors la méthode dite des multiplicateurs de Lagrange peut s"appliquer et apporter une réponse tout en déterminant les forces de liaison. Considérons un déplacement virtuel,??= 0, les équations précédentes de- viennent? ??δ??= 0? On introduit?constantes indéterminéesλ?et les?relations suivantes sont vérifiées ??δ??= 0 et? ?2 1? ??δ????= 0? Le principe de moindre action s"écrit comme suit

δS=?

?2 1??? ∂L ∂??-???∂L∂??? ?= 0

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1.3 Equations de Lagrange17

et la somme des deux équations précédentes donne ?2 1??? ∂L ∂??-???∂L∂??+? ?= 0? Rappelons que les?coordonnées généralisées??ne sont pas indépendantes. On peut choisir lesN - ?premières coordonnées comme indépendantes, et lesN -?restantes sont fixées par? ????δ??= 0. Comme les?constantes ?introduites sont libres, on peut les choisir de manière à ce que ∂L ∂??-???∂L∂??+? ????= 0 pour?=N - ?+ 1?···?Nainsi on obtient ∂L ∂??-???∂L∂??=? ????pour?= 1?···?N où il y aN+?inconnues : les N coordonnées??et les m constantesλ?. Pour résoudre le système complet des inconnues, nous rajoutons les?équations de contraintes ?=1?N? ??δ??+???= 0 ce qui fait le compte, un système deN+?équations pourN+?inconnues. Quelle est la signification physique des multiplicateurs deLagrangeλ?? On a vu que les équations de Lagrange en présence de forces conservatives et non conservatives s"écrivent comme suit ??∂L∂??-∂L∂??=Q? où lesQ?sont les forces généralisées associées aux forces non conserva- tives. Les multiplicateurs de Lagrange s"identifient aux forces généralisées de contraintes. La puissance de cette méthode réside dans lapossibilité de résoudre les équations de Lagrange sans connaître les expressions explicite des forces de liaison; il suffit de connaitre seulement les contraintes impo- sées par celles-ci sur les coordonnées généralisées.

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Formalisme de Lagrange

1.3.10 Lagrangien d"une particule libre relativiste

Il s"agit dans ce cas d"une particule relativiste et la transformation des vitesses pour passer d"un repère galiléen à l"autre est donnée par la tranfor- mation de Lorentz, que nous n"expliciterons pas ici. Nous procédons de la même manière en se basant sur les symétries pour construire le lagrangien d"une particule relativiste libre : - l"action d"une particule libre relativiste doit être un invariant relativiste : elle est invariant par rapport à la transformation de Lorentz et donc possède la même forme quelque soit le référentiel galiléen.L"expression la plus simple est que l"action soit l"intégrale d"un scalaire relativiste. - L"action ne doit contenir que des termes différentiels du premier ordre, pour que, après l"application des équations de Lagrange, onobtient desquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12