Polynômes du second degré

1 Forme canonique

1.1 Mettre sous forme canonique :

Exercice 1 :1.x22x+ 3 = (x:::)2+:::

2.x2+ 2x+ 3 = (x+:::)2+:::

3.x2+ 2x3 = (x+:::)2:::

Exercice 2 :1.3x26x+ 1 =:::(x:::)2:::

2.3x2+ 6x+ 1 = (x+:::)2:::

3.3x2+ 6x1 =:::(x+:::)2:::

1.2 Dresser un tableau de variations :

Exercice 3 :1.f1(x) =x2+ 4x+ 1

2.f2(x) =x2+ 2x+ 2

3.f3(x) = 0;5x2+x4

4.f4(x) = 2;5x2+ 20x+ 35

Exercice 4 :1.f1(x) =x2x1

2.f2(x) = 289x217x6

3.f3(x) = (x2x)(5x+ 7)

4.f4(x) =p2x2+p6x+ 1

Exercice 5 :1. Montrer que2

x+43 2 +79
est la forme canon- ique de la fonctionfdéfinie surRpar : f(x) =2x2163 x259

2. En déduire le tableau de variations def.

1.3 Reconnaître une fonction à partir

d"un graphique : Exercice 6 :Une fonctionfpolynôme du second degré est représentée graphiquement ci-contre sur l"intervalle [0;5]:Déduire ce cette représentation graphique la forme canonique de la focntionf. Exercice 7 :La patabole ci-dessous représente une fonction polynôme du second degréf. Utiliser le graphe pour déterminer la forme canon- ique def(x).c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1

Chapitre 1 : Polynômes du second degré

1.4 Passer de la forme canonique à la

forme factorisée : Exercice 8 :Résoudre dansRles équations suivantes. Contrainte : on écrira au préalable chaque expression sous forme canonique.

1.x2+ 2x+ 2 = 0

2.x2+ 13x+ 2 = 0

3.x2x1 = 0

4.5x2+ 8x3;25 = 0

5.x2(p2 +

p3)x+p6 = 0

6.3x2+ 8x= 5

2 Forme factorisée

2.1 résoudre intelligemment une équa-

tion du second degré: Exercice 9 :Résoudre dansRles équations suivantes sans utiliser le discriminant.

1.5x2+ 4 = 0

2.x2+ 6x= 0

3.(x1)2(x1)(x2) = 0

4.x216 + 2(x4) = 0

5.(x+ 1)2(2x3)2= 0

6.(2x+ 3)(x7) =21

7.4x21 = (2x1)(x3)

8.9 + 4(x2)2= 0

Exercice 10 :Résoudre les équations dansRen utilisant la méth- ode la plus pertinente.

1.2x25x+ 3 = 0

2.x2+ 7x= 0

3.5x2+ 7x+ 18 = 04.x2+x+ 1 = 0

Exercice 11 :1.4x2+x= 0

2.4x2+x+ 1 = 0

3.160x274x+ 3 = 0

4.6x2+ 72x+ 216 = 0

Exercice 12 :1.3x2+ 6x105 = 0

2.8x216 = 0

3.50x220x+ 2 = 0

4.x2=x+ 1

Exercice 13 :1.

12 x2+ 3x52 = 0

2.8x2= 7x+ 2

3.81x21 = 0

4.7x2+ 1;5x+ 1 = 0

Exercice 14 :Résoudre les équations suivantes :

1.x3px4 = 0

2.x43x24 = 0

2.2 Donner la forme factorisée d"une

équation:

Exercice 15 :Ci-contre, le graphe d"une fonction quadratique dans le domaine4x3:c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2

Chapitre 1 : Polynômes du second degré

1. Utilise le graphe pour calculer :

- La valeur def(0); - Les veleurs dexpour lesquelsf(x) = 0:

2. Sinon par conséquent, trouve une equation pour

la prabole. Exercice 16 :1. Déterminer toutes les fonctions polynômes du sec- ond degré s"annulant en -3 et en 4.

AideUtiliser la forme factorisée.

2. Déterminer la fonctionfpolynôme du second de-

gré s"annulant en -3 et en 4, et telle quef(1) = 2: Exercice 17 :Résoudre dansR2les systèmes déquations. 1. x+y= 35 xy= 306 2. xy= 10 xy= 704

InfoLe couple(x;y)prend ses valeur dansR2; cela

signifie quex2Rety2R Exercice 18 :Soient les nombresm= 12p3etn= 1 + 2p3

1. Calculerm+netmn.

2. En déduire toutes les fonctions polynômes du sec-

ond degré ayant les memes racines quef. Exercice 19 :Soitfla fonction définie surRpar : f(x) =ax2+bx+c et telle quef(0) =92 ;f(2) = 0etf(3) =394

Déterminer les réelsa;betc.

2.3 Étude de signe d"une fonction:

Exercice 20 :Résoudre dansRles inéquations suivantes sans utiliser le discriminant.1.(4x+ 1)(x+ 3)>0

2.2x1 +x2

3.4 + (2x5)20

4.5(x+ 1)20

5.x2< x

6.x2p3x >0

Exercice 21 :1. Dresser le tableau de signes des fonctionsfetg définies surR.

2. Résoudre dansRles inéquationsf(x)0et

g(x)<0: f(x) = 2x2+ 5x3etg(x) =x2+x2: Exercice 22 :1. Dresser le tableau de signes des fonctionsfetg définies surR.

2. Résoudre dansRles inéquationsf(x)0et

g(x)<0: f(x) =3x2+7x+4etg(x) = 7x22x+1: Exercice 23 :Résoudre les inéquations dansR:

1.4x270

2.3x25x <4x+ 5

Exercice 24 :Résoudre les inéquations dansR:

1.x22x <3x8

2.2x4x26x+ 1

Exercice 25 :Résoudre les inéquations suivantes en précisant les valeurs interdites le cas échéant.

1.(x+ 3)(2x210x+ 12)>0

2.(x23)(6x2+ 7x1)0c

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Chapitre 1 : Polynômes du second degré

Exercice 26 :

Résoudre les inéquations suivantes en précisant les valeurs interdites le cas échéant.

1.3x+ 2<5x

2. x2x64x26x+ 4>0 Exercice 27 :Résoudre les inéquations suivantes en précisant les valeurs interdites le cas échéant. 1.

5x224x+ 3>2

2. x+ 1x1+45x2>0

2.4 Les "classiques" au contrôle:

Exercice 27 :fest une fonction définie surRpar : f(x) = 15x334x247x+ 42:

1. À l"aide de la calculatrice, conjecturer une solu-

tion entière de l"équationf(x) = 0:

2. Calculer | Déterminer les valeurs des nombres réels

a;betctels que, pour tout nombre réelx: f(x) = (x3)(ax2+bx+c):

3. Résoudre dansRl"équationf(x) = 0:

4. Rechercher s"il existe une méthode générale de ré-

solution des équations du troisième degrè. Exercice 28 :gest une fonction définie surRpar : g(x) =x3+x213x21:

1. À l"aide de la calculatrice, conjecturer une solu-

tion entière de l"équationg(x) = 0et le signe de g(x)suivant les valeurs dex:

2. Calculer | Déterminer les valeurs des nombres réels

a;betctels que, pour tout nombre réelx: g(x) = (x+ 3)(ax2+bx+c):3. Résoudre l"équationf(x) = 0;puis valider ou in- firmer la conjecture concernant le signe deg(x) suivant les valeurs dex.

Exercice 29 :On considère l"équation :

(m2)x2+ 2mx1 = 0 oùmest un nombre réel.

1. Résoudre dansRl"équation lorsquem= 2

2. Calculer | En supposant quem6= 2;déterminer

les éventuelles valeurs dempour lesquelles: (a) L"équation admet une unique solution réelle; (b) L"équation admet une deux solutions réelles; Exercice 30 :RaisonnerSoitmun réel. On cherche à déter- miner le nombre de solutions réelles de l"équation(E) :

4mx24(m+ 2)x+ 2m+ 1 = 0:

1. À l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique,

émettre une conjecture quant au nombre de so-

lutions de l"équation(E)en fonction des valeurs dem

2. (a) Résoudre(E)pourm= 0.

(b) Soitm6= 0:Exprimer le discriminant de l"équation(E)en fonction dem. Étudier son signe et répondre alors au prob- lème posé.

3. L"équation(E)peut-elle admettre deux racines

opposées?

3 Utiliser les deux formes dans les

problèmes : Exercice 31 :Un rectangle ABCD tel que AB=xcm a pour périmètre 10cm.

1. Exprimer BC en fonction dex.

2. Montrer que l"aire du rectangle ABCD (en

2)estS(x) =(x2;5)2+ 6;25pour tout

x2[0;5]:quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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Chapitre 1 : Polynômes du second degré