Le second degré A) Polynôme du second degré et parabole
est une parabole • Le sommet de la parabole a pour coordonnées ????( ; ) • Les coordonnées et sont obtenues avec la forme canonique • La droite d’équation ????= est un axe de symétrie pour cette parabole Le tableau ci-dessous récapitule ce que nous avons trouvé jusqu’à présent : Exercice n°1 :
1 Forme canonique - Free
Tableau de variation : La courbe repr´esentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite d’´equation x = −b 2a pour axe de sym´etrie On d´etermine les variations de f avec le signe du coefficient a de x2, il y a deux cas : 2 2 A partir de la forme canonique f(x) = a(x−α)2 +β Coordonn´ees du sommet S : Abscisse du
CORRIGE NOTRE DAME DE LA MERCI Montpellier Exercice 1
La forme canonique de la fonction associée est La : f x a x DE 2 Les coordonnées du sommet de la parabole sont Les coordonnées du sommet de la parabole sont: S 3; 2 donc donc DE 32et Donc on obtient : Donc on obtient f x a x 32 2 41 soit f x a x 32 2 Pour trouver le coefficient a, on utilise le point A 1;6
I- 2 : Forme canonique (f x )=ax
I- 2 : Forme canonique Soit (f x )=ax 2 +bx +c un trinôme du second, avec 0a ≠, donnez sa forme canonique Exemple 1: Soit le trinôme du second degré : (f x )=2x2 −3x −5, donnez sa forme canonique : Définition 2 :2 Un nombre α est une racine d’une expression (f x), si f (α)=0
Formules importantes pour la fonction quadratique
3- Le sommet de la parabole est (3/2, -25/4) Avec la forme canonique f(x) = a(x – h) 2 + k 1- Orientation de la parabole Si a> 0, la parabole sera ouverte vers le haut Si a
1 Fonctions polynôme de degré 2 - WordPresscom
Exemple 1 Déterminer la forme canonique de la fonction trinôme définie sur Rpar f(x) = −4x2 +6x+ 5 4 1 3 Courbe représentative et variations Dans un repère orthogonal du plan, f est représentée par une parabole P dont le sommet S(α;β) et l’axe de symétrie a pour équation x = α cas a > 0 cas a < 0
Mathématique Appliquée 30S Note : Fonctions et Équations
forme canonique A) Vocabulaire Fonction Quadratique : - Une fonction f dont la valeur f(x) pour x est donnée par un polynôme de degré 2 - f(x) = x2 est la forme la plus simple d’une fonction quadratique - Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole Forme canonique (d’une fct quadratique) :
Analyse - Editions Didier
du sommet de la parabole à partir de son équation Faire le lien entre la forme canonique et le sommet de la parabole et résoudre une équation de degré 2 Forme canonique et équation fx = 0 A Aspect graphique 1 Soit g la fonction définie sur par gx - -x 142 a Justifier que g admet un minimum en 1 b
Polynôme Du second degré
directement dans la forme factorisée, enfin les coordonnées du sommet de la parabole par le biais de « et » présent dans la forme canonique Fiche n° 3 : Polynôme de second degré
SECOND DEGRÉ (Partie 1) - Maths & tiques
−40 est la forme canonique de f Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur par f(x)=ax 2+bx+cpeut s'écrire sous la forme : f(x)=a(x−α) 2 +β, où αet βsont deux nombres réels Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f Démonstration : Comme a≠0, on peut écrire pour tout réel x: f(x)=ax2
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Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 2 Rappel : une fonction polynˆome de degr´e 2 est une fonction d´efinie surRparf(x) =ax2+bx+caveca,b
etcr´eels eta?= 0.1Forme canonique
La forme canonique defest de la formef(x) =a(x-α)2+β. avecα=-b2a.Exemple 1:fest d´efinie surRparf(x) =x2-6x+ 5On a (x-3)2=x2-6x+ 9
donc f(x) = (x-3)2-9 + 5 = (x-3)2-4 (forme canonique avecα= 3 etβ=-4) On peut aussi obtenirαavec les coefficientsa,betc.On a ici :a= 1,b=-6 etc= 9 doncα=-b2a=-(-6)2
= 32Calcul des coordonn´ees du sommet et tableau de variation
2.1 A partir de la formef(x) =ax2+bx+c
Coordonn´ees du sommet S :
Abscisse du sommet :xS=-b2aOrdonn´ee du sommet :yS=f(xS) =ax2S+bxS+cTableau de variation: La courbe repr´esentative defest une parabole de sommet S admettant la droite
d"´equationx=-b2apour axe de sym´etrie.On d´etermine les variations defavec le signe du coefficientadex2, il y a deux cas :2.2 A partir de la forme canoniquef(x) =a(x-α)2+β
Coordonn´ees du sommet S :
Abscisse du sommet :xS=α
Ordonn´ee du sommet :yS=f(xS) =β
Tableau de variation: La courbe repr´esentative defest une parabole de sommet S admettant la droite
d"´equationx=αpour axe de sym´etrie. On d´etermine les variations defavec le signe du coefficientadex2, il y a deux cas :1/6 Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 22.3 A partir de la forme factoris´eef(x) =a(x-x1)(x-x2)
Coordonn´ees du sommet S :
L"abscisse du sommet est le milieu dex1etx2:xS=x1+x22Ordonn´ee du sommet :yS=f(xS)
Tableau de variation: La courbe repr´esentative defest une parabole de sommet S admettant la droite
d"´equationx=αpour axe de sym´etrie.On d´etermine les variations defavec le signe du coefficientadex2, il y a deux cas :3R´esolution de l"´equationf(x) = 0M´ethode: Il faut d´eterminer en premier lieu la forme canonique defpuis utiliser si cela est possible la
troisi`eme identit´e remarquable (a2-b2= (a-b)(a+b) ) pour factoriser.Graphiquement, les solutions de l"´equationf(x) = 0 sont les abscisses des points d"intersection de la parabole
et de l"axe des abscisses.Exemple 2f(x) =x2-6x+ 5 f(x) = (x-3)2-9 + 5 = (x-3)2-4 = (x-3-2)(x-3 + 2) = (x-5)(x-1) f(x) = 0??(x-5)(x-1) = 0??x-5 = 0 oux-1 = 0??x= 5 oux= 1 La parabole coupe l"axe des abscisses aux points de coordonn´ees (5;0) et (1;0).On a peut alors retrouver l"abscisse du sommet S de la parabole de trois fa¸cons diff´erentes :•x
S=-b2a=-(-6)2
= 3 avec l"´ecrituref(x) =x2-6x+ 5•x S= 3 avec la forme canoniquef(x) = (x-3)2-4•xS=5 + 12
= 3 avec la forme factoris´eef(x) = (x-5)(x-1)2/6 Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 24Exemples complets
Exemple 3
On donnef(x) =x2+ 8x+ 7 d´efinie surR
D´eterminer le tableau de variation def, les abscisses des points d"intersection de la parabole avec l"axe des
abscisses et en d´eduire le signe def•Coordonn´ees du sommet S : xS=-b2a=-82
=-4 Ordonn´ee du sommetyS=f(-4) = (-4)2+ 8×(-4) + 7 =-9•Tableau de variation : Le coefficient dex2est 1 et est donc positif donc :•f(x) = 0 ??(x+ 4)2-16 + 7 = 0 ??(x+ 4)2-9 = 0 ??(x+ 4-3)(x+ 4 + 3) = 0 ??(x+ 1)(x+ 7) = 0 ??x+ 1 = 0 oux+ 7 = 0 ??x=-1 oux=-7 La parabole coupe l"axe des abscisses enx=-7 etx=-1•On a donc : •courbe 3/6 Seconde-Aide m´emoire et m´ethode Fonctions polynˆomes de degr´e 2Exemple 4
On donnef(x) =-2(x+ 2)2+ 8 d´efinie surR
D´eterminer le tableau de variation def, les abscisses des points d"intersection de la parabole avec l"axe des
abscisses et en d´eduire le signe def•Coordonn´ees du sommet S : x S=α=-2 Attention, ici on af(x) =-2(x+ 2)2+ 8 =-2(x-(-2))2+ 8 Ordonn´ee du sommetyS=β= 8•Tableau de variation : Le coefficient dex2est -2 et est donc n´egatif donc :•f(x) = 0 ?? -2(x+ 2)2+ 8 = 0 ?? -2((x+ 2)2-4) = 0 ??(x+ 2)2-4 = 0 ??(x+ 2-2)(x+ 2 + 2) = 0 ??x= 0 oux+ 4 = 0 ??x= 0 oux=-4 La parabole coupe l"axe des abscisses enx= 0 etx=-4•On a donc :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2