Résoudre les équations de propagation

propagation des ondes electromagnetiques raphaël gillard, janvier 2005 1 chapitre 1 : les equations de l’electromagnetisme i introduction

Cours de propagation de ondes - Université Grenoble Alpes

Décrire et comprendre la propagation des ondes et plus particulièrement la propagation des ondes électromagnétiques On s’intéressera à la propagation dans différents milieux : vide, plasma, diélectrique, métal Les questions posées: Est-ce que une onde électromagnétique peut se propager dans plasma, diélectrique, métaux?

171 Compétences du chapitre

332 PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES Pour une onde plane, les surfaces d’onde sont des plans perpendiculairesà la direction de propagation 17 4 3 Onde plane progressive 17 4 3 1 Description Une onde plane peut être considérée comme la superposition de deux ondes planes se propageant dans la même direction, mais en sens opposés

III Propagation d’ondes électromagnétiques

III C – Propagation des ondes électromagnétiques dans l’ionosphère III C 1 BEex (plasma non relativiste)=< II C 2 Le PFD appliqué à un électron du plasma s’écrit : meEimvviE De même : = oùg : jnevnev i E E 1 III C 3 En notation réelle En moyenne, la puissance cédée par l’onde aux électrons libres est par unité de

COURS DE PROPAGATION DES ONDES - High-Tech

- Electromagnétiques qui sont des ondes caractérisées par les champs électrique et magnétique Si les ondes mécaniques ont besoins d’un milieu matériel pour se propager, les ondes électromagnétiques se propagent même dans le vide Quelles soient de nature mécanique ou électromagnétique la propagation des ondes est

structure onde electromagnetique et propagation

des ondes de même fréquence et présentant un déphasage constant Ce sont des ondes cohérentes qui sont émises par des sources cohérentes 2 3 2 Interférences constructives et destructives Les interférences sont constructives en tout point où les ondes qui interfèrent sont en phase

Chapitre 7 : Propagation de la lumière

Les ondes életomagnéti ues se popagent dans l’ai pati uement à la même vitesse que dans le vide ; Dans les autres milieux matériels, la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques est inférieure à c ; Dans un milieu homogène et transparent, une onde électromagnétique se propage en ligne droite

Résoudre les équations de propagation

7 Ondes électromagnétiques dans un milieu 8 Ondes électromagnétiques dans un conducteur 9 Ondes électromagnétiques dans un isolant 10 Réflexion et transmission entre deux milieux 11 Réflexion sur un conducteur parfait 12 Propagation par guide d’onde

Electromagnétisme

Résoudre les équations de propagation

NOTIONS MATHEMATIQUES

-RAPPEL -

Composantes dun vecteur

Pour représenter un vecteur, on se définit un repère orthonormé Oxyz. ae z y x OM kzjyixOM kOCjOBiOAOM r rr r rr

Produit scalaire

Il sagit de la mesure algébrique de la projection dun vecteur sur un axe. uWW r r ()VWVWVW

VWVWVWVW

zzyyxx rrrr rr ,cos××=· W r u r W Dans un repère orthonormé, on peut lexprimer en fonction des composantes des vecteurs

Produit vectoriel

Il sagit du vecteur perpendiculaire au plan formé par les vecteurs initiaux de sens tel que le trièdre formé soit direct P r 1 W r 2 W r 21
21
21

212121

,sin zzk yyj xxi P

WWWWWWP

r r r r rrrrr

Gradient

U z U y U x U k z U j y U i x U Ugrad ae r r rr k z j y i x r rrr

Le gradient : -est normal aux surfaces de niveau

-orienté dans le sens des valeurs croissantes du champ

Divergence

On appelle divergence dun vecteur le scalaire :

W z W y W x W Wdiv z y x rr r La divergence est un opérateur qui mesure la tendance dun vecteur de provenir ou de converger vers un point : k z j y i x r rrr

Rotationnel

Le rotationnel dun vecteur est donné par :

ae y W x W x W z W z W y W Wrot x y zx y z r z y x W z k W y j W x i WWrot r r r rrrk z j y i x r rrr

Laplacien

On peut calculer la divergence du gradient dun scalaire U z U y U x U Wdiv k z U j y U i x U

UgradW

D= 2 2 2 2 2 2 r r rrr 2 2 2 2 2 2 2 =Ñ=Ñ·Ñ=D rrr k z j y i x r rrr

ONDES ELECTROMAGNETIQUES

1. Ondes -Généralités

2. Modélisation mathématique

3. Relation de dispersion

4. Equations du champ électromagnétique

5. Onde électromagnétique dans le vide

6. Etat de polarisation

7. Ondes électromagnétiques dans un milieu

8. Ondes électromagnétiques dans un conducteur

9. Ondes électromagnétiques dans un isolant

10. Réflexion et transmission entre deux milieux

11. Réflexion sur un conducteur parfait

12. Propagation par guide donde

1. Ondes -Généralités

1. Concept donde

Une onde se définit comme une perturbation (en général périodique) du milieu dans lequel elle se propage.

Il existe une grande diversité dondes :

-les ondes mécaniques, comme celles résultant de la déformation de la surface dun liquide -les ondes sonores, qui résultent de variations de la pression de lair -les ondes électromagnétiques qui nont pas besoin de support matériel

Point fondamental

Seulela perturbation se propage, et non le milieu lui-même

1. Ondes -Généralités

2. Onde éléctromagnétique

Rayonnement omniprésent (GSM, micro-onde, lumière)

Dualité onde-corpuscule :

-composée dun grand nombre de corpuscules, les photons -comportement ondulatoire du fait des propriétés quantiques du photon Approche ondulatoire = approximation similaire de la relativité par la mécanique classique

Construction dune onde électromagnétique

Association combinée dun champ électrique et dun champ magnétique (champ électromagnétique) oscillants à la même fréquence

1. Ondes -Généralités

Type donde

-transverse : déplacement perpendiculaire à la direction de propagation -longitudinale : déplacement parallèle Ondes électromagnétiques = ondes transverses La fonction représentative dune onde doit représenter la perturbation.

Elle dépend donc du temps et de lespace

()txf,=f ()()vtxxavecxftx-=='',f Pour décrire la propagation, il suffit de définir la fonction f dans un système de référence qui se déplace à une vitesse constante v par rapport à lorigine

2. Modélisation mathématique

Le physiciendAlembert(1717-1783) fit appelau formalisme mathématique des dérivées partielles pour décrire les fonctions dondes

2. Modélisation mathématique

Equation donde ou équation de propagation

0 1 2 2 22
2 tcx ff en une dimension 0 1 2 2 22
2 2 2 2 2 tczyx ffff

Généralisation 3D

Équation de dAlembert

Une onde est une fonction de x et de t qui

est une solution de léquation dondes de dAlembert La solution la plus simple de léquation dondes différentielle est une fonction sinusoïdale ou harmonique

2. Modélisation mathématique

Onde harmonique

[])(cos)'cos(),(vtxkAkxAtx-==f

Périodicité spatiale : llongueur donde en m

Les ondes harmoniques présentent une double périodicité : dans lespace et dans le temps ),(),(txtxlff±= On en déduit la valeur de k, nombre donde, exprimé en m-1 : l p2 =k

2. Modélisation mathématique

Doù

Relation fondamentale

),(),(Ttxtx±=ff

Périodicité temporelle : T périodeen s

On peut également en déduire la valeur de k : vT k p2 =vT=l fvl=

2. Modélisation mathématique

T p w 2 T f 1 l p2 =k pulsation fréquencenombre donde fvl=

Onde harmonique

[]tkxAtxwf±=cos),(

Récapitulatif

célérité ou vitesse Un signe correspond au cas où la vitesse de propagation est orientée dans le sens des xcroissants, le signe + à une propagation vers les xdécroissants On parle donde progressive si il existe une direction et un sens de propagation

2. Modélisation mathématique

Ondes planes harmoniques

()trkAtr tzyxtr wf ff r r r r sin),( On étudie les fronts donde, lieux géométriques où la phase de londe est constante n c nk rr r w l p 2 vecteur donde plan donde (perpendiculaire à la direction de propagation)

[PDF] Résoudre les équations de propagation

Electromagnétisme

Résoudre les équations de propagation

NOTIONS MATHEMATIQUES

Composantes dun vecteur

Produit scalaire

VWVWVWVW

Produit vectoriel

212121

WWWWWWP

Gradient

Le gradient : -est normal aux surfaces de niveau

Divergence

On appelle divergence dun vecteur le scalaire :

Rotationnel

Le rotationnel dun vecteur est donné par :

Laplacien

UgradW

ONDES ELECTROMAGNETIQUES

1. Ondes -Généralités

2. Modélisation mathématique

3. Relation de dispersion

4. Equations du champ électromagnétique

5. Onde électromagnétique dans le vide

6. Etat de polarisation

7. Ondes électromagnétiques dans un milieu

8. Ondes électromagnétiques dans un conducteur

9. Ondes électromagnétiques dans un isolant

10. Réflexion et transmission entre deux milieux

11. Réflexion sur un conducteur parfait

12. Propagation par guide donde

1. Ondes -Généralités

1. Concept donde

Il existe une grande diversité dondes :

Point fondamental

1. Ondes -Généralités

2. Onde éléctromagnétique

Dualité onde-corpuscule :

Construction dune onde électromagnétique

1. Ondes -Généralités

Type donde

Elle dépend donc du temps et de lespace

2. Modélisation mathématique

2. Modélisation mathématique

Equation donde ou équation de propagation

Généralisation 3D

Équation de dAlembert

Une onde est une fonction de x et de t qui

2. Modélisation mathématique

Onde harmonique

Périodicité spatiale : llongueur donde en m

2. Modélisation mathématique

Doù

Relation fondamentale

Périodicité temporelle : T périodeen s

2. Modélisation mathématique

Onde harmonique

Récapitulatif

2. Modélisation mathématique

Ondes planes harmoniques

2. Modélisation mathématique

Ondes sphériques

Les fronts donde sont des sphères

2. Modélisation mathématique

Notation complexe dun champ