Chapitre 2 – Proportionnalité dans le triangle

Chapitre 2 – Proportionnalité dans le triangle 1- Théorème de Thalès a) Propriété directe On considère deux droites ( d ) et ( d' ) sécantes en O Soit deux points A et M sur ( d ) et deux points B et N sur ( d' ) tous distincts de O Si ( MN ) // ( AB ) alors : OM OA = ON OB

Chapitre 2 – Proportionnalité dans le triangle

Chapitre 2 – Proportionnalité dans le triangle 1- Triangles semblables a) Définitions * Deux triangles semblables sont deux triangles qui ont les mêmes mesures d’angle * Les côtés opposés aux angles de même mesure de deux triangles semblables sont dit homologues

Chapitre : Proportionnalité dans un triangle partie) 3

éventuellement remplir le tableau suivant et vérifier que c’est un tableau de proportionnalité : Situation 1 : Triangle AMN AM AN Triangle ABC AB AC Situation 2 : Triangle AMN AM AN Triangle ABC AC AB Dans le cas où les quotients ne seraient pas égaux les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles Exemple 1 :

Feuille d’exercices – Chapitre 12 : Proportionnalité

Exercice n°4 : Le triangle A’B’C’ est un agrandissement du triangle ABC Calculer la longueur les longueurs A’C’ et A’B’ Exercice n°4 : Ce schéma illustre la violence des chocs subis par les piétons renversés par une voiture proportionnalité, en utilisant seulement la a Expliquer la signification de ce schéma b

Leçon 18 : Proportionnalité et géométrie

Exercice 1 : Découper un segment donné en 3 morceaux égaux en utilisant uniquement la règle et le compas Justifier que ces trois morceaux sont bien égaux Exercice 2 : Sur la figure ci-contre, les points C, A et M sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points B, A et N Le triangle ABC est un agrandissement du triangle ANM

Le puzzle (G Brousseau) - gpc-mathsorg

Le puzzle Voici une activité proposée au début du chapitre consacré à la proportionnalité dans le livre de 6e, collection Triangle, éditions Hatier Un puzzle est constitué de 4 pièces a, b, c et d Fabriquer le "même" puzzle en plus grand, sachant que le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 5 cm sur le puzzle agrandi

C OMPÉTENCES - Editions Didier

sans connaître le facteur 3 Agrandir ou réduire une figure en utilisant les angles 4 Reconnaître et appliquer la proportionnalité dans les formules 5 Utiliser la proportionnalité pour les secteurs circulaires C OMPÉTENCES À la fin de ce chapitre, je vais savoir

e un triangle rectangle Thalès deux côtés parallèles

dans le même ordre (Dans le même ordre : c’est que lorsque l’on suit la ligne, le point d’intersection se trouve au même endroit dans la liste : M, A, B le point A se trouve à la seconde position alors que dans la ligne A, N’, C le point A se trouve en première position donc pas dans le même ordre

Chapitre 2 - Proportionnalité dans le triangle

1- Triangles semblables

a) Définitions * Deux triangles semblables sont deux triangles qui ont les mêmes mesures d'angle.

* Les côtés opposés aux angles de même mesure de deux triangles semblables sont dit homologues.

* Deux triangles qui ont des côtés de mêmes longueurs sont isométriques ou égaux.

Exemple

Les triangles ABC et DEF sont semblables.

Les côtés [ AB ] et [ DF ] sont homologues, tout comme [ AC ] et [ EF ] ou [ BC ] et [ DE ].

Remarque

Des triangles isométriques sont semblables.

b) Propriétés (admises)

* Si deux triangles semblables ont deux côtés homologues de même mesure, alors ils sont isométriques.

* Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont proportionnels.

* Réciproquement, si deux triangles ont des côtés proportionnels, alors ils sont semblables.

Exemple

Pour les triangles ABC et DEF précédents : AB DF= AC EF= BC

DE.4 cm

5 cm

2- Agrandissement-Réduction

Soit deux triangles semblables et k le quotient des côtés homologues du premier et du second triangle.

Si k < 1 , alors le second triangle est une réduction du premier. Si k > 1 , alors le second triangle est un agrandissement du premier. Si k = 1 , alors les triangles sont isométriques.

Exemple

Pour les triangles ABC et DEF précédents :

* DEF est un agrandissement de ABC de coefficient k =DF

AB=5cm

4cm= 5

4 * ABC est une réduction de DEF de coefficient k' = AB DF= 4cm 5cm= 4

5 Remarque : les coefficients k et k' sont inverses.

3- Théorème de Thalès

a) Propriété directe On considère deux droites ( d ) et ( d' ) sécantes en O. Soit deux points A et M sur ( d ) et deux points B et N sur ( d' ) tous distincts de O.

Si ( MN ) // ( AB ) alors : OM

OA=ON OB

Autrement dit : deux droites parallèles découpent deux droites sécantes dans des dimensions proportionnelles.

Remarque : on peut appliquer ce théorème dans les trois configurations ci-dessous. ( d )( d' ) O M AN

B( d )( d' )

AB( d )( d' )

O AB MM NN

Démonstration

* Pour les deux premieres situations précédentes, on a : - les angles ^MON et ^AOB sont confondus donc leurs mesures sont égales ; - les angles ^OAB et ^OMN sont correspondants et s'appuyent sur des droites parallèles : ils ont donc la même mesure ; - il en est de même des angles ^OBA et ^ONM. * Pour la dernière situation, on a : - les angles ^MON et ^AOB sont opposés par le sommet donc leurs mesures sont égales ; - les angles ^OAB et ^OMN sont alternes-internes et s'appuyent sur des droites parallèles : ils ont donc la même mesure ; - il en est de même des angles ^OBA et ^ONM.

* Dans tous les cas, les triangles OAB et OMN, ayant leurs angles de même mesure, sont semblables.

Leurs côtés ont donc des dimensions proportionnelles et, en particulier : OM OA=ON

OB. CQFD !

b) Conséquence

Avec les conditions précédentes, comme les dimensions du triangle OMN sont proportionnelles à celles

du triangle OAB : si ( MN ) // ( AB ) alors : OM OA=ON OB=MN

AB Remarque

Si deux des rapportsOM

OA,ON OB,MN ABsont différents alors ( MN ) et ( AB ) ne sont pas parallèles.

En effet, si ces droites étaient parallèles, d'après la propriété de Thalès, les rapports seraient égaux.

c) Propriété réciproque

On considère un triangle OAB.

Soit deux points M et N tels que O, M, A soient alignés dans le même ordre que O, N, B. Si OM OA=ON

OB alors : ( MN ) // ( AB ).

Démonstration

On considère un triangle OAB. Soit deux points M et N tels que : O, M, A sont alignés dans le même ordre que O, N, B et OM OA=ON OB

On va démontrer la propriété dans le cas où les points M et N sont sur [ OA ] et [ OB ] respectivement.

Elle se démontre de manière analogue dans les autres cas. Considérons la parallèle à ( AB ) passant par M : elle coupe [ OB ] en P.

D'après la proprété de Thalès : OM

OA=OP

OB. On en déduit donc que :

ON OB=OP

OBpuis que : ON = OP.

Les points P et N sont donc tous les deux sur un même cercle de centre O. Mais ils sont tous deux également sur le segment [ OB ]. Or, ce cercle et ce segment ne peuvent avoir qu'un point en commun.

On en déduit que N et P sont confondus donc que N est sur la parallèle à ( AB ) passant par M et enfin

que ( AB ) et ( MN ) sont parallèles.

Remarques

* La propriété réciproque de Thalès permet de démontrer que des droites sont parallèles ;

elle ne permet en aucun cas de démontrer que des droites ne sont pas parallèles ! * La condition d'ordre dans l'alignement est indispensable comme le montre l'exemple ci-dessous. OAB est un triangle et les points O, M, A sont alignés, de même que les points O, N, B.

D'une part : OM

OA=2 6=1 3

D'autre part :

ON OB=1

3 On a donc bien : OM

OA=ON OB Pourtant ( MN ) et ( AB ) ne sont pas parallèles * Le troisième rapport (issu de la conséquence) ne permet pas d'établir le parallélisme.

En effet pour la configuration ci-contre, on a :

OM OA=MN AB.

Mais on a donc aussi :OM

OA=MP

ABcar MP = MN.

Pourtant, les droites ( MP ) et ( AB ) ne sont pas parallèles. AO

MNP( MN ) // ( AB )

4- Effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les grandeurs géométriques

Propriété (admise)

Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient k : * les mesures d'angle sont inchangées ; * les longueurs sont multipliées par k ; * les aires sont multipliées par k ² ; * les volumes sont multipliés par k ³.

Exemples

1- Dans le plan

KLP est un agrandissement de RST de rapport k = 2. * ^PLK = ^TSR = 45°. * KL = k l RS = 2 l 5 cm = 10 cm * Aire(KLP) = k² l Aire(RST) = 2² l 12,5 cm² = 50 cm²2- Extension dans l'espace (en 3D)

Si on coupe une pyramide SABCD par un plan

parallèle à sa base, on obtient une pyramide réduite SA'B'C'D'. Soit k le coefficient de réduction. k = SA' SA= SB' SB= SC' SC= SD' SD= SH'

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Chapitre 2 - Proportionnalité dans le triangle

1- Triangles semblables

Exemple

Les triangles ABC et DEF sont semblables.

Remarque

Des triangles isométriques sont semblables.

Exemple

DE.4 cm

2- Agrandissement-Réduction

Exemple

Pour les triangles ABC et DEF précédents :

AB=5cm

4cm= 5

5 Remarque : les coefficients k et k' sont inverses.

3- Théorème de Thalès

Si ( MN ) // ( AB ) alors : OM

B( d )( d' )

AB( d )( d' )

Démonstration

OB. CQFD !

AB Remarque

Si deux des rapportsOM

On considère un triangle OAB.

OB alors : ( MN ) // ( AB ).

Démonstration

D'après la proprété de Thalès : OM

OB. On en déduit donc que :

OBpuis que : ON = OP.

Remarques

D'une part : OM

D'autre part :

3 On a donc bien : OM

En effet pour la configuration ci-contre, on a :

Mais on a donc aussi :OM

ABcar MP = MN.

MNP( MN ) // ( AB )

4- Effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les grandeurs géométriques

Propriété (admise)

Exemples

1- Dans le plan

Si on coupe une pyramide SABCD par un plan

SH Si V = 40 cm³ et si k = 0,5 :

ABCDA'B'C'D'S

HH'Volume(SABCD) = V

Volume(SA'B'C'D') = V'