Les courbes param´etr´ees

Qu’est-ce qu’une tangente ? ’est l’unique droite qui, pour un point d’abscisse donnée, ne touche la oure qu’en un point La tangente n’existe don que si elle est unique Autrement dit, la tangente en un point d’une oure peut être vue omme la droite qui approhe le mieux la our e en e point

Tangente - NON CEST NON

Tangente Sortir du piège de la toile d’araignée mondiale Imaginez une arme d’apparence tellement inoffensive, que vous pouvez la tendre à vos ennemis, et que s’en saisissant, 99 d’entre eux la prennent pour un jouet Une arme à-même de faire ou défaire aussi bien une rvolution qu’une dictature, sans que son usage paraisse au

Les courbes param´etr´ees - Université Paris-Saclay

2 1 Tangente en un point 2 1 1 D´eﬁnition Il s’agit de donner une d´eﬁnition de la tangente qui vaille aussi dans le cas d’un point singulier Il y a de nombreuses mani`eres d’aborder le probl`eme On a choisi ici la voie g´eom´etrique On note d la distance (par exemple euclidienne) dans le plan Le principe est le suivant

Trigonométrie (EG9) Cest pour cela quon peut définir les

1)Qu'est-ce que le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu ? Avant d'introduire les définitions, voici un peu de vocabulaire : On considère ABC un triangle rectangle en A A l'aide de Geogebra, si on trace le triangle ci-contre, on remarque qu'en déplaçant les points B et C, les quotients AB BC, AC BC, AC AB sont indépendants des

La théorie homotopique des types : Ainsi, au cœur des

on ne peut prouver ni qu’elle est vraie, ni qu’elle est fausse Les conséquences de cette révélation sont à la base de la théorie homoto-pique des types, mais les logiciens n’ont pas remarqué tout de suite son importance Ce n’est qu’en 2009 que le lauréat de la médaille Fields Vladi-mir Voevodsky (d’une part) et Steve

La méthode dEuler - Free

qui est situé sur la tangente, est proche du point M1 (t ; f(t)), qui est situé sur la courbe C'est ce que montre l'illustration cicontre On exprime ceci en disant que, si t est assez proche de t0, f '(t−t 0) (t−t)+y(t) est une bonne approximation de f(t)

Qu’EsT CE QuE Tu AIMEs DE Ton QuARTIER - Maison Tangente

C’est dur dire ce qu’on aime du quartier Ce que j’ai en tête c’est la Pataterie Quand j’habitais sur Valois, j’y allais quelques fois : les frites sont bonnes, y’a un bon service J’aime aussi le fait de savoir qu’une voie ferrée traversait le quartier Ça parle du quartier, ça dit quelque chose de son histoire

Dérivée d’une fonction - Exo7

Cela se lit aussi sur le dessin, il y a une demi-tangente à droite, une demi-tangente à gauche, mais elles ont des directions différentes Mini-exercices 1 Montrer que la fonction f (x) = x3 est dérivable en tout point x 0 2R et que f 0(x 0) = 3x2 0 2 Montrer que la fonction f (x) = p x est dérivable en tout point x0 >0 et que f 0(x 0

ACTIONS par Didier Nordon Qu’est-ce qu’un exemple

Regarder un objet en tant qu'exemple, c'est le considérer d'un point de vue plus abstrait qu'il n'est, car cela exige d'avoir à l'esprit la théorie générale qu'il illustre Ainsi, les nombres 29 ou 45 gagnent en abstraction si on observe que ce sont des exemples d'entiers égaux à la somme de deux car-rés (25 + 4 ; 36 + 9) Pareille

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On travaille dans le planE=R2, que l"on voit `a la fois comme un plan affine ou vectoriel selon les besoins du moment. Le plan est muni de sa forme euclidienne canoniquex2+y2.

1 D´efinitions

1.1 Qu"est-ce qu"une courbe?

C¸a commence mal! Je ne sais pas vraiment r´epondre `a cette question. Il y a plusieurs aspects possibles, on peut voir une courbe comme l"ensembleV(F) des points (x,y) qui v´erifient une ´equation impliciteF(x,y) = 0, comme l"image d"un param´etraget?→(x(t),y(t)) ou comme le graphe d"une fonction y=f(x). Les deux premi`eres versions sont ´evidemment plus g´en´erales que la troisi`eme (prendreF(x,y) =y-f(x) oux(t) =t,y(t) =f(t)), mais seule la version graphe offre la garantie que le r´esultat ressemble `a une courbe. En ef- fet, mˆeme en supposantFcontinue et non constante,V(F) peut ˆetre assez bi- zarre (pour une courbe), par exemple n"importe quel ferm´e deR2, un disque, un carr´e, etc. (SiCest un ferm´e deR2, regarderF(x,y) =d((x,y),C).) On verra que c"est aussi le cas pour les courbes param´etr´ees. En faisant des hypoth`eses convenables on a toutefois l"´equivalence des trois notions :

1.1 Th´eor`eme.SoitCune partie deR2. Les conditions suivantes sont

´equivalentes.

1) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0et

une fonctionF:V→R, de classeC1, dont la diff´erentielle est partout non nulle, telle que l"on aitC∩V=V(F).

2) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0, un

intervalle ouvertIdeRet une application de classeC1,f= (x,y) :I→R2, dont la d´eriv´ee ne s"annule pas surI, tels queC∩V= Imf.

3) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0, un

intervalle ouvertIdeRet une application de classeC1,f:I→Rtels que C∩Vsoit ´egal au graphe dey=f(x)ou dex=f(y). D´emonstration.L"implication 1) =?3) vient essentiellement du th´eor`eme des fonctions implicites, 3) =?2) est ´evident et pour 2) =?1), si par exemplex?(t0) est non nulle,xest bijective au voisinage det0, on peut donc tirerten fonction dexet il n"y a plus qu"`a reporter dansy. 1

1.2 Param´etrages et courbes param´etr´ees

1.2.1 D´efinition

1.2 D´efinition.On appelleparam´etrageune applicationf:I→R2, o`u

Id´esigne un intervalle (voire une r´eunion d"intervalles) deRet o`ufest continue. Lacourbe (param´etr´ee)associ´ee `afest son imageC=f(I).

1.3Remarques.

1) Il faut dire tout de suite que cette d´efinition n"est pas raisonnable. En effet,

il existe par exemple un param´etragefd´efini sur [0,1] et dont l"image est le carr´e [0,1]2(courbe de Peano ou de Hilbert). Plus g´en´eralement, on peut montrer que siXest un espace m´etrique compact, connexe et localement connexe par arcs, il existef: [0,1]→Xcontinue surjective. Pour ´eviter ce canular,on supposera, dans tout ce qui suit, quef est de classeC1par morceaux. Cela signifie quex(t) ety(t) sont de classe C

1par morceaux.

2) Les appellations ne sont pas contrˆol´ees. D"autres parleront de courbe pa-

ram´etr´ee au lieu de param´etrage et de support au lieu de courbe. Le tout est de dire quelque chose de pr´ecis.

1.2.2 Branches

Il s"agit de comprendre qu"une courbe param´etr´ee peut avoir plusieurs branches en un point (voir ci-dessous la cubique nodale).

1.4 D´efinition.Soitf:I→R2un param´etrage,C=f(I)et soitJun

intervalle ouvert non vide contenu dansI. Si la restrictionf|J:J→R2est injective, son image est appel´ee unebranchedeC.

1.5Remarque.Une courbe param´etr´ee, mˆeme de classeC1, peut ne pas

avoir de branche (injective) au voisinage d"un point, t´emoin l"exemple de x(t) =y(t) =t3sin1t

1.2.3 Interpr´etation cin´ematique

1.6 D´efinition.Avec les notations de 1.2, on interpr`ete la variabletcomme

letemps. On parle alors defcomme unmouvement(ou la loi horaire d"un mouvement), on note souventf(t) =M(t)et on en parle comme d"unpoint mobileet la courbeCest satrajectoire. Le vecteurvitesse 2 moyenneentre les tempst1ett2(distincts) est le vecteur--------→M(t1)M(t2)t 2-t1= f(t2)-f(t1)t

2-t1,levecteur vitesse instantan´eeent0est la limite (si elle

existe) de f(t)-f(t0)t-t0quandttend verst0. Il est ´egal `af?(t0). Sifest deux fois d´erivable ent0, levecteur acc´el´erationen ce point estf??(t0).

1.3 Discussion sur les param´etrages : existence? uni-

cit´e?

1.3.1 Trouver un param´etrage

La question de trouver un param´etrage a ´et´e abord´ee au th´eor`eme 1.1. Il y a n´eanmoins beaucoup de questions difficiles autour de cette question, notamment celle de l"existence de param´etrage rationnel pour les courbes alg´ebriques (les courbes de la formeV(F) o`uFest un polynˆome). On peut donner deux exemples.

1.7Exemple.Si on a une conique dont on connaˆıt un point, on obtient un

param´etrage rationnel en la coupant par une droite variable passant par le point. Par exemple, siCa pour ´equationx2+ 2y2-3x+ 4y= 0, elle passe par l"origine et on coupeCpar la droitey=tx. On trouve l"´equation enx: x

2+ 2t2x2-3x+ 4tx= 0 qui donne la solution ´evidentex= 0, mais aussi

un autre pointx=3-4t1 + 2t2,y=3t-4t21 + 2t2.

1.8Exercice.Param´etrer rationnellement la conique d"´equation 3x2-xy+

2-x+ 2y-2 = 0 en partant du point (1,0). (R´esultat :x=t2-2t-2t

2-t+ 3,

y=-t(t+ 5)t

2-t+ 3.)

1.9Exemple.La cubiquey2-x3= 0 admet un point de rebroussement `a

l"origine. Si on coupe par la droitey=txon trouve la solutionx= 0, double, mais aussix=t2qui donney=t3et un param´etrage.

1.10Exercice.Param´etrer ainsi la cubique nodalex3+x2-y2= 0 ou le

folium de Descartes :x3+y3-xy= 0, voir plus bas. 3

1.3.2 Op´eration inverse

Il s"agit, `a partir d"un param´etrage rationnel de trouver une ´equation cart´esienneF(x,y) = 0 de la courbe.

1.11Exemple.On consid`ere la courbe param´etr´ee parx=t1 +t3ety=

21 +t3.On at=yx

et, en rempla¸canttdansxon obtient la relationx3+ y

3-xy= 0 (le folium).

1.12Exercice.Trouver une ´equation cart´esienne de la courbe d´efinie par

x=t2+ 12t,y=2t-1t

2.(R´eponse : en exprimantten fonction dex-1 et

y-1, on trouve l"´equation 4x2y-4xy+y2-4x-2y+ 5 = 0.)

1.3.3 Unicit´e

Il n"y a pas du tout unicit´e du param´etrage d"une courbe. Par exemple, l"axe desxpeut ˆetre param´etr´e parx=t,y= 0, mais aussi parx=t3,y= 0, voire parx=t(t-1)(t+ 1),y= 0. Les deux premiers param´etrages sont bijectifs, mais pas le troisi`eme. Dans tous les cas, la trajectoire est identique, mais pas le mouvement. Ici, le premier mouvement est uniforme (`a vitesse constante), mais pas le second (la vitesse s"annule en 0), quand au troisi`eme, le lecteur v´erifiera qu"il comporte des allers et retours. 2

´Etude locale des courbes param´etr´ees

Pour d"autres d´etails, voir le fichierTangentes.

2.1 Tangente en un point

2.1.1 D´efinition

Il s"agit de donner une d´efinition de la tangente qui vaille aussi dans le cas d"un point singulier. Il y a de nombreuses mani`eres d"aborder le probl`eme. On a choisi ici la voie g´eom´etrique. On notedla distance (par exemple euclidienne) dans le plan. Le principe est le suivant. On consid`ere les droites passant parM0=M(t0). Parmi ces droites, ce qu"on demande `a la tangente c"est d"ˆetre, au voisinage deM0, plus proche de la courbe1que les autres droites. Pr´ecis´ement :1 Ou plutˆot de la branche de la courbe qui correspond au param`etret0. 4

2.1 D´efinition.Soitf:I→R2un param´etrage,Cson image et soit

0=M(t0)un point deC. SoitDune droite passant parM0. On dit queD

esttangente`a la branche deCpassant parM0(au tempst0) si, pour toute droiteΔpassant parM0, distincte deD, la distanced(f(t),D)est n´egligeable devantd(f(t),Δ)quandttend verst0.

2.2Exemple.Un exemple permet de comprendre. On consid`ere la parabole

d"´equationy=x2. On peut la param´etrer de la mani`ere ´evidente :x=t, y=t2. On regarde ce qui se passe au voisinage de l"origine. La distance de M(t) `a l"axe desxesty=t2, celle `a l"axe desyestx=t. On voit que, quand ttend vers 0, la distance `a l"axe desxest beaucoup plus petite que l"autre (infiniment petite, en fait). Il n"est pas difficile de v´erifier que la distance de M(t) `a une droite passant parO, autre que l"axe desx, est ´equivalente `aa|t| aveca?= 0, donc infiniment grande par rapport `at2.

2.3Remarques.

1) On montre facilement que sid(f(t),D) est n´egligeable devantd(f(t),Δ0)

pour une droite Δ

0distincte deDla mˆeme propri´et´e vaut pour toutes les

autres droites, de sorte queDest tangente `aCenM0.

2) Si la courbe admet une tangente (pour une branche donn´ee) elle est unique.

En effet, siDetD?sont deux tangentes etdetd?les distances def(t) `a ces droites, on aurait `a la foisd=o(d?) etd?=o(d) ce qui est absurde.

3) Attention, il peut y avoir plusieurs branches passant par un mˆeme point

(donc plusieurs tangentes) comme l"indique l"exemple suivant.

2.4Exemple.Consid´erons le param´etragex(t) = 1-t2,y(t) =t(1-t2). La

courbeCest une cubique nodale, d"´equation cart´esiennex3+y2-x2= 0, qui admet un point double `a l"origine, atteint pour les valeurst=±1 du param`etre. Si l"on regardeC, elle a deux tangentes `a l"origine, tangentes `a chacune des "branches", lesquelles s"obtiennent en restreignant le domaine de d´efinition (par exemple `aR+etR-). Ces droites sont les bissectrices des axesy=±x.

2.1.2 Propri´et´e caract´eristique

Le th´eor`eme suivant fait le lien entre tangente et s´ecantes :

2.5 Th´eor`eme.Avec les notations pr´ec´edentes,Cadmet une tangente si

et seulement si la pente de la s´ecante :p(t) =y(t)-y(t0)x(t)-x(t0),ou son inverse 5 x(t)-x(t0)y(t)-y(t0),admet une limite finie2. Si la limite depest ´egale `aλ, la tangente est la droite de penteλpassant parM0et un vecteur directeur de cette droite est(1,λ). Si l"inverse depa la limite0, la tangente est la droite verticale passant parM0. D´emonstration.On se ram`ene au cast0= 0,M0= (0,0). Supposons que p(t) =y(t)/x(t) admette la limiteλquandxtend vers 0, l"autre cas est analogue. Nous allons montrer que la droiteDd"´equationy-λx= 0 est tangente. Cela signifie que, si Δ est une droite d"´equationax+by= 0, distincte deD(i.e. aveca+bλ?= 0), la distanced(M(t),D) est n´egligeable devantd(M(t),Δ). Rappelons la formule donnant cette distance : d(M(t),Δ) =|ax(t) +by(t)|⎷a 2+b2. Il s"agit donc de voir quey(t)-λx(t) est n´egligeable devantax(t) +by(t) quanda+bλest non nul. On ´ecrity-λxax+by=yx -λa+byx

Le num´erateur tend

vers 0 et le d´enominateur versa+bλ, de sorte que cette quantit´e tend bien vers 0. R´eciproquement, siCadmet pour tangente la droitey-λx, cela signifie, entre autres, quey(t)-λx(t) est un petitodex(t). La quantit´e y(t)-λx(t)x(t)=y(t)x(t)-λa donc pour limite 0, ce qui signifie bien quey/x tend versλ.

2.1.3 Le cas des points r´eguliers

2.6 D´efinition.Soitf:I→Run param´etrage de classeC1. Une valeur

0?Iest diter´eguli`erepourfsif?(t0)est non nul. Une valeur non r´eguli`ere

est ditesinguli`ere.

2.7Remarque.On dit parfois, par abus de langage, que le pointM(t0) de la

courbeCest r´egulier (ou singulier). C"est incorrect car le mˆeme point, sur la mˆeme courbe, peut ˆetre r´egulier pour un param´etrage et singulier pour un autre

3. C"est le cas, par exemple, du pointO= (0,0) sur l"axe desxavec les

deux param´etrages (t,0) et (t3,0).2 On suppose ici que ces expressions ont un sens. Pourp(t) par exemple on suppose

x(t)-x(t0)?= 0 pourtvoisin det0et distinct det03En v´erit´e, comme le mot r´egulier a un sens pour les courbesF(x,y) = 0, il serait sans

doute pr´ef´erable de dire stationnaire ou non-stationnaire pour le param´etrage. 6

2.8 Proposition.Soitf:I→Run param´etrage de classeC1et soitt0

une valeur r´eguli`ere def. Alors, la courbeCadmet une tangente enM(t0), dont le vecteur directeur estf?(t0). D´emonstration.Cela r´esulte de 2.5. En effet, supposons par exemplex?(t0) non nul. Comme cette d´eriv´ee est la limite du rapport x(t)-x(t0)t-t0,ce rap- port lui-mˆeme est non nul pourtvoisin det0. On peut donc ´ecrire : et cette quantit´e tend versλ=y?(t0)x ?(t0)quandttend verst0. La pente de la tangente est donc ´egale `aλet un vecteur directeur en est (1,λ) ou encore (x?(t0),λx?(t0)) =f?(t0).

2.9Exemples.

1) La courbe peut avoir une tangente enM0mˆeme sif?(t0) est nulle. C"est le

cas, par exemple, def(t) = (e-at

2,e-bt

2) aveca?=b. En effet, si on a, disons,

a < b, on ay/x=e-(b-a)t

2et cette quantit´e a pour limite 0, de sorte que la

tangente est l"axe desx.

2) Une courbe param´etr´ee peut avoir une tangente sans que les fonctionsx

etysoient d´erivables. C"est le cas par exemple dex(t) =?|t|,y(t) =|t|.

3) Il y a des courbes sans tangentes, par exemple,x=t,y=tsin1t

n"a pas de tangente `a l"origine. 2.2

´Etude des points singuliers

2.2.1 Le r´esultat th´eorique

2.10 Proposition.Soitf:I→R2un param´etrage et soientp,qdes entiers

0?Ret posonsM0=M(t0). On suppose que les d´eriv´eesf(k)(t0)sont

nulles pourk= 1,...,p-1(de sorte quet0est une valeur singuli`ere def), quef(p)(t0)est non nulle et queqest le plus petit entier tel que les vecteurs f (p)(t0)etf(q)(t0)soient ind´ependants. Alors la branche de la courbeCent0 admet une tangente enM0dont un vecteur directeur estf(p)(t0). D´emonstration.En d´eveloppantf(t) par la formule de Taylor-Young on ob- tient un d´eveloppement limit´e def(t) au voisinage det0: f(t) =f(p)(t0)(p)!?(t-t0)p+o((t-t0)p)?+f(q)(t0)(q)!?(t-t0)q+o((t-t0)q)?. 7 En effectuant le changement d"originet0= 0 et le changement de rep`ere consistant `a prendre comme vecteurs de base les d´eriv´ees d"ordrepetq, on est ramen´e `a un param´etrage dont les fonctionsXetYadmettent des d´eveloppements limit´es :X(t) =atp+o(tp) etY(t) =btq+o(tq) aveca,b?= 0. Il est clair alors que la tangente existe et que c"est l"axe desXdonc la droite dirig´ee parf(p)(t0).

2.2.2 M´ethode pratique

Par changement de l"origine des temps on se ram`ene au cast0= 0. Par changement de l"origine du plan on peut supposerM0= (0,0). On suppose alors qu"on a des d´eveloppements limit´es dex(t) ety(t) :x(t) =atp+o(tp) ety(t) =btq+o(tq) aveca,b?= 0 etp,q?N?. Alors, la tangente existe; c"est l"axe desx(resp. desy) si on ap < q(resp.q < p) et c"est la droite y=bx-aysi on ap=q.

2.2.3 Nature des points singuliers

On suppose qu"on a un point singulier enM(t0). Comme ci-dessus, on se ram`ene au cast0= 0,M0= (0,0). Quitte `a faire un changement de rep`erequotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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