Colle 15 - lundi 19 janvier 2015

« Une fonction continue ne peut changer de signe qu'après s'être annulée » Théorème de la valeur intermédiaire Si f est une fonction continue sur [a, b] et f (a) f (b), alors, pour tout réel u strictement compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c de l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f (c) = u Le théorème de la valeur

Continuité et dérivabilité d’une fonction

Soit une fonction continue sur un intervalle I =[a,b] Pour tout réel k compris entre f(a)et f(b), il existe un réel c ∈ I tel que f(c)=k Remarque : Ce théorème est admis Ce théorème résulte du fait que l’image d’un intervalle de R par une fonction continue est un intervalle de R Voici une illustration graphique Ici k est bien

onctions - TuxFamily

Qu'est-ce qu'une fonction continue en un p oint ? Dé nition Sommaire 1 Qu'est-ce qu'une fonction continue en un p oint ? Dé nition P eut-on soigner des fonctions discontinues en un p oint ? Y a-t-il di érents t yp es de discontinuité ? 2 Prop riétés des fonctions continues sur un intervalle Quelles sont les fonctions dont le graphe est un

Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

Tout d'abord expliquons ce qu'est une fonction implicite Lorsqu'on étudie une fonction x → y = f(x), y est explicitement fonction de x, c'est à dire que, connaissant les différentes valeurs de x, on peut calculer directement y Il arrive que y ne puisse pas être calculé explicitement et que y soit tout de même une fonction de x

FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1

Mathematiques - Niveau L1 Tout le cours en fiches

Fiche 103 Qu’est-ce qu’une intégrale? 406 Fiche 104 Intégrale d’une fonction en escaliers 408 Fiche 105 Intégrale d’une fonction continue par morceaux 413 Fiche 106 Calcul intégral 419 Fiche 107 Primitives de fractions rationnelles 425 Fiche 108 Calcul approché d’intégrales 427 viii

Colle 15 - lundi 19 janvier 2015

Donc g f est continue sur I Exercice 1 Pour montrer qu’une fonction s’annule on utilise le TVI Ici il faut faire un dessin pour comprendre ce qu’il se passe : f est proche de 1 a droite et est proche de 1 a gauche Comme f est continue elle \passe bien par 0" a un moment Formalisons cela Comme lim

Dérivée d’une fonction - Exo7

DÉRIVÉE D’UNE FONCTION 1 DÉRIVÉE 2 Dans ce chapitre nous allons donc déﬁnir ce qu’est la dérivée d’une fonction et établir les formules des dérivées des fonctions usuelles Enﬁn, pour connaître l’erreur des approximations, il nous faudra travailler beaucoup plus aﬁn d’obtenir le théorème des accroissements ﬁnis

Gestion de stock (1)

2 Qu’est-ce qu’un stock ?quelle sont ses fonction ? 3 C’est quoi gérer un stock 4 La fonction de stock dans l’entreprise 5 Types de stocks 6 Les fonctions des types de stocks 7 Le magasin : définition gestion du magasin II- Codification des articles 1 Pourquoi codifier les articles 2 Les qualités d’un système de

Determinerf.Planche 2.

Question de cours.Montrer que la composee de deux fonctions continues est continue. Exercice 1.Soitf:R!Rcontinue telle que limx!1f(x) =1 et limx!+1f(x) = 1.

Montrer quefs'annule.

Exercice 2.Soitf:R!Rcontinue et 1 periodique. Montrer que pour touta >0, il existec2Rtel quef(a+c) =f(c).Planche 3. Exercice 0.Soitf:R!Zcontinue. Montrer quefest constante. Exercice 1.Soitf: [0;+1[![0;+1[ continue telle que ff=id

Determinerf.

Exercice 2.Soitf: [0;1]![0;1] une application continue telle queff=f. Montrer que l'ensemble des points xes defest un segment non vide de [0;1]. 1 Colle 15 - lundi 19 janvier 2015 -http://perso.ens-lyon.fr/lucas.isenmann/Solutions - Planche 1. Exercice 0.On utilise la technique fondamentale suivante :si on veut montrer que fa un point xe, on montre quef(x)xa un zero. Pourquoi ? Car on possede des criteres ecaces pour montrer qu'une fonction a des zeros. Par exemple le theoreme des valeurs intermediaires. On poseg(x) =f(x)x. Alorsgest continue sur [0;1]. Org(0) =f(0)0 et g(1) =f(1)10. Donc par le theoreme des valeurs intermediaires applique agsur [0;1], il existe un zero pourgsur [0;1]. On le notea. Alorsf(a) =aetaest un point xe def. Exercice 1.Soitfcontinue et periodique. On noteTsa periode : f(x+T) =f(x);8x2R Sur [0;T], qui est unsegment,fest continue donc bornee. Il existe doncM >0 tel quejf(x)j Msur [0;T]. On va maintenant ramener tout point hors de ce segment a ce segment. Soitx2R, il existe un entier relatifntel quex+nT2[0;T]. Pourquoi ? On cherche ntel que 0x+nTT. Donc tel quex=Tn1x=T. Il sut donc de choisir n=E(x=T). Du coup par periodicite,f(x+nT) =f(x). Orx+nT2[0;T] donc par ce qui precede,jf(x+nT)j M. Finalement,jf(x)j MsurR. Exercice 2.Procedons par analyse et synthese. D'abord essayons de deviner la solution. La relation precedente est une relation dite \lineaire". Les applications lineaires verient donc cela :f(x) =axverie bien la propriete pour touta2R. On va montrer que ce sont les seules. Analysons. Soitfune solution. Appliquons la relation a des cas particuliers. Commencons par :x=y= 0. Alorsf(0) =f(0)+f(0). Doncf(0) = 0. La fonction passe deja par l'origine. Passons ax=y= 1 :f(1 + 1) =f(2) = 2f(1). C'est la qu'il faut penser af(x) =ax. On devine alors que leadoit ^etre lef(1). Il faut donc montrer quef(x) =xf(1) pour tout x. C'est deja vrai pour 0, 1 et 2. Est ce que c'est vrai pour d'autres nombres ? Montrons le pour les entiers. Cela se fait par recurrence. Supposons que cela soit vraie pourn0. Alors f(n+1) =f(n)+f(1) =nf(1)+f(1) = (n+1)f(1). Donc par recurrencef(n) =nf(1) pour toutn0. De plus commef(0) = 0, alorsf(x) =f(x). Doncf(n) =nf(1) pour tout n2Z. On se dirige vers une preuve par densite comme les rationnels sont denses dansR. Montrons donc que pour tout rationnelp=qon af(p=q) =p=qf(1).

Soitqun entier positif non nul on a :

f(1) =f(1=q++ 1=q) =qf(1=q)

Doncf(1=q) = 1=qf(1). Doncf(p=q) =p=qf(1).

Maintenant utilisons la densite et la continuite. CommeQest dense dansR, il existe une suitexnde rationnels telle quexn!x. Orfest continue enx0, doncf(xn)!f(x). Or f(xn) =xnf(1) d'apres ce qu'on a fait avant. Doncxnf(1)!f(x). Orxn!x. Donc par unicite de la limite,xf(1) =f(x) pour toutx2R. 2 Colle 15 - lundi 19 janvier 2015 -http://perso.ens-lyon.fr/lucas.isenmann/Solutions - Planche 2. Question de cours.On utilise le critere sequentiel ici, mais on aurait aussi pu utilise les voisinages. Soitf:I!Jetg:J!Rdeux fonctions telles quefest continue surIetgest continue surJ. Soit (xn) une suite deIqui converge versx2I. Alors par continuite def, f(xn)!f(x). (f(xn)) est une suite suite deJqui converge versf(x). Donc par continuite de g,g(f(xn))!g(f(x)). Doncgfest continue surI. Exercice 1.Pour montrer qu'unefonction s'annule on utilise le TVI. Ici il faut faire un dessin pour comprendre ce qu'il se passe :fest proche de 1 a droite et est proche de1 a gauche. Commefest continue elle \passe bien par 0" a un moment.

Formalisons cela. Comme lim

x!+1f(x) = 1, alors il existeb >0 tel quef(b)1=2. De m^eme, il existea <0 tel quef(a) 1=2. En appliquant le TVI afsur [a;b], on conclut qu'il existec2[a;b] tel quef(c) = 0. Doncfs'annule. Exercice 2.On sent l'utilisation du theoreme des valeurs intermediaires. Soita >0. La technique classique consite a poserg(x) =f(x+a)f(x) qui est denie et continue sur R. On va donc chercher a montrer quegs'annule en trouvant deux reelsx1etx2tels que g(x1)0 etg(x2)0. Commefestcontinue sur le segment[0;1]alorsfest bornee et atteint ses bornes. Il existe doncx1etx2dans [0;1] tels quef(x1) realise le minimum defsur [0;1] etf(x2) le maximum defsur [0;1]. C'est-a-dire : f(x1) = inf x2[0;1]f(x) Or par 1-periodicite def,f(x1) = infx2Rf(x). Pourquoi ? Motrons quef(x1)f(x) pour toutxdansR. Pour ce faire, il faut ramenerxa [0;1]. On cherchentel que 0x+n1. Donc tel quexn1x. Il sut donc de choisirn=E(x). On a alorsf(x+n) =f(x).

Orx+n2[0;1] doncf(x)f(x1).

Du coup par denition dex1on a :

g(x1) =f(x1+a)f(x1)0

De m^eme on montre que

g(x2)0 D'ou on conclut avec les theoreme des valeurs intermediaires : il existec2Rtel que g(c) = 0. Doncf(a+c) =f(c). 3 Colle 15 - lundi 19 janvier 2015 -http://perso.ens-lyon.fr/lucas.isenmann/Solutions - Planche 3. Question de cours.Soitf:R!Zcontinue. Montrons quefest constante. Supposons que cela ne soit pas le cas. Alors il existea < btels quef(a)6=f(b). Supposons quef(a)< f(b). Commef(a) etf(b) sont des entiers. Alors il existey2]f(a);f(b)[ qui ne soit pas entier. Donc par le theoreme des valeurs intermediaires, il existex2Rtel quef(x) =y62Z. C'est impossible doncfest constante.

Exercice 1.Premier re

exe, chercher une fonction qui marche. Ici c'est l'identite. Est ce qu'il y en a d'autres ? On dirait pas. On va donc montrer que l'identite est la seule fonction qui verie cela. Soitfqui convient. Supposons quef6=id. Alors il existex0 tel quef(x)6=x.fest bijective car admet un inverse.festdonc monotonesurR+. Orfne peut decro^tre sinon elle serait bornee alors qu'elle doit ^etre surjective. Doncfest croissante. Supposons alors quef(x)< x. Dans ce cas, commefest croissante, alorsf(f(x))< f(x).

Orf(f(x)) =x. Doncx < f(x)< x, c'est impossible.

De m^eme, sif(x)> x, par croissance, on a :f(f(x))> f(x). Orf(f(x)) =x, donc x > f(x)> x, c'est aussi impossible. Doncf=idest la seule fonction qui convient. Exercice 2.On noteFl'ensemble des points xes.F=fx2[0;1] :f(x) =xg. Quel theoreme du cours fait intervenir un segment ? Le TVI ! Il dit quel'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Il faut donc interpreterFcomme l'image par une fonction continue d'un segment et c'est gagne. Choisissons donc une fonction continue et un segment. Qu'est ce qu'on a comme choix pour la fonction continue ? Bah on pense af d'abord. Et pour le segment ? Bah [0;1] parce que c'est l'ensemble de denition def. Du coup est ce qu'on aF=f([0;1]) ? Procedons pardouble inclusion: Prenonsx2F. On a alorsx=f(x)2f([0;1]). DoncFf([0;1]). Reciproquement, prenonsx2f([0;1]). Alors il existet2[0;1] tel quef(t) =x. On a par hypothese surf: f(x) =f(f(t)) =f(t) =x Doncx2F. Doncf([0;1])F. Finalement, on a bienF=f([0;1]) etFest un segment. 4quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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ONTINUITÉ 2 Continuité des fonctions

Continuité et dérivabilité d’une fonction

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FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1

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Dérivée d’une fonction - Exo7

Gestion de stock (1)

Determinerf.Planche 2.

Montrer quefs'annule.

Determinerf.

Soitqun entier positif non nul on a :

Doncf(1=q) = 1=qf(1). Doncf(p=q) =p=qf(1).

Formalisons cela. Comme lim

Orx+n2[0;1] doncf(x)f(x1).

Du coup par denition dex1on a :

De m^eme on montre que

Exercice 1.Premier re

Orf(f(x)) =x. Doncx < f(x)< x, c'est impossible.