[PDF] Chapitre 22 INTÉGRATION Enoncé des exercices

REGLES DE BIOCHE - MP

REGLES DE BIOCHE MP 13-14 Calcul de primitives de R(sin(x),cos(x))avec Rfonction rationnelle 1 Rest un polynôme Par linéarité, on se ramène au calcul de sinp(x)cosq(x)dx,p,q∈IN

Chapitre 22 INTÉGRATION Enoncé des exercices

Rappel (Règles de Bioche) : Pour intégrer une fonction f(x)ne faisant intervenir que des sommes, produits, quotients de sinx et cosx, on regarde l’élément différentiel dω(x)=f(x)dx Si en remplaçant x par −x dans dω(x), l’élément différentiel est inchangé (dω(−x)=dω(x)) on pose u=cosx

Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de

Cette formule est un corollaire de la formule de dérivation de la composée : (f j)0(x) = j0(x)f0(j(x)) Exemple: Règle de Bioche pour les fractions rationnelles en cos(x) et sin(x) Il s’agit d’étudier les invariances de R(cos x,sin x)dx : –Si on a l’invariance x x, on pose t = cos x; 4

Par Mesdames SILINE, POCHOLLE et BIOCHE - Académie de Versailles

Par Mesdames SILINE, POCHOLLE et BIOCHE Règle de base des quotients égaux 2 Simplification de fractions 100 105 = 5×20 5×21 = 20 21 210 270 = 30×7 30×9 = 7

Feuille 4 - Ex5 Primitive de (sinx 2

Primitive de sinx (2+cosx)2 Soit f(x) = sinx (2+cosx)2 Comme cosx ≥ −1 on a 2+cosx = 0 et f est définie et continue sur R Donc elle admet une primitive sur R Avec la règle de Bioche : f(−x)d(−x) = −sinx (2+cosx)2 (−dx) = f(x)dx, donc on peut essayer le changement de variables u = cos(t), du = −sin(t)dt

Calcul de primitives et dintégrales - PSI Fabert

On est bien ramené au calcul d'une primitive de la fonction rationnelle S(t) = R 2t 1+t2 1−t2 1+t2 2 1+t2 2- Règles de Bioche : Cependant, dans certains cas, on peut utiliser un changement de ariablev qui donne des calculs moins

TD { feuille 1 : calculs de primitives

Exercice 6 (R egles de Bioche pour les fonctions hyperboliques) Montrer que les changements de variables en ex ou tanhx=2 conduisent a la cherche d’une primitive de fonction rationnelle Par un changement de variable adapt e, calculer les primitives des fonctions suivantes : coshx 1 coshx+ 1 ex; 1 coshx(1 + sinhx): Exercice 7

Exemples détaillés de calculs de primitives et dintégrales

changement de ariable v Comme la fonction à intégrer est inarianvte quand on remplace xpar ˇ x(règle de Bioche) on e ectue le changement de ariablev u= sin(x) : u= sin(x) =) du= cos(x) dx Après le changement de ariablev l'intégrale devient : Z ˇ 2 0 cos(x) sin(x)2 25 sin(x) + 6 dx= Z 1 0 1 u5 + 6 du

Intégration - wwwnormalesuporg

qu’on a besoin pour cela de la continuité de la fonction f) En procédant de la même manière pour h

Feuille d’exercices 9 Calculs de primitives

Calculs de primitives Exercice 1 Calculer, sur un intervalle où le calcul est valable, les primitives des fonctions rationnelles suivantes (sauf indication expresse de l’énoncé, il n’est pas demandé d’expliciter l’intervalle sur lequel on calcule) ࣺഇᐌ????ᐍ༞∫ ????ഈ Յ༗????ഈ ऒ????;ࣺഈᐌ????ᐍ༞∫ ????

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Intégration

PTSI B Lycée Eiffel

10 avril 2013

Les mathématiciens sont comme les français : quoique vous leur dites, ils le traduisent dans leur propre langue, et le transforment en quelque chose de totalement différent.

Goethe

Qu"est-ce qu"un dilemme?

Un lemme qui sert à prouver deux théorèmes!

Introduction

Dernier gros chapître d"analyse fondamentale reprenant des notions que vous avez déjà large-

ment abordées au lycée avec ce chapître consacré à l"intégration. Comme pour la continuité et la

dérivation, le but sera de donner une construction précise et rigoureuse de la notion géométrique

d"intégrale (quoiqu"un peu incomplète dans le cas de l"intégrale), puis ensuite d"énoncer les théo-

rèmes fondamentaux, mais également de pratiquer le calcul intégral, qui nécessite hélas un certain

bagage technique. Les calculs explicites d"intégrales sont un savoir-faire à acquérir absolument, et

font intervenir quantité de techniques pas toujours évidentes à manier.

Objectifs du chapitre :

•comprendre comment la notion de primitive est reliée à la notion nettement plus géométrique

de calcul d"aire.

•maîtriser parfaitement les techniques de l"intégration par partie et du changement de variables.

•savoir calculer des intégrales plus techniques : fractionsrationnelles, fonctions trigonométriques,

racines carrées.

1 Construction de l"intégrale

Avant de nous lancer dans le cours proprement dit, essayons de faire un petit calcul mal justifié

permettant de comprendre comment ça fonctionne. L"intégration, comme vous le savez sûrement, a

pour but de calculer des aires. Cette notion géométrique d"aire est loin d"être facile à définir et pose

des problèmes de calcul effectif. Pour cela, comme vous le savez aussi, on recourt pour les calculs

d"intégrale à la notion de primitive, qui est en quelque sorte l"opération inverse de la dérivation.

Mais quel est le lien entre les deux? Pour le comprendre, le plus simple est de se ramer à des calculs

d"aires de formes géométriques très élémentaires : les rectangles. 1 Soit doncfune fonction définie et continue sur un segment[a;b]etCfsa courbe représentative.

On s"intéresse à la fonctionAdéfinie sur[a;b]de la façon suivante :A(x0)est l"aire de la portion

de plan délimitée par les droites d"équationx=a;x=x0;y= 0et par la courbeCf. L"aire sera

comptée positivement lorsqueCfse trouve au-dessus de l"axe des abscisses, négativement dans le cas

contraire.

0 1 2 3

012 -1 -2 Proposition 1.La fonctionAest dérivable sur[a;b]et a pour dérivée la fonctionf. Démonstration.(non rigoureuse) Calculons le taux d"accroissement deAentrex0etx0+h(oùhest

un réel positif). Par définition, la quantitéA(x0+h)-A(x)est l"aire comprise entre la courbe, l"axe

des abscisses et les droites d"équationsx=x0etx=x0+h. Supposons pour la clarté du raisonnement

la fonction croissante aux alentours dex0(le cas général n"est pas vraiment plus compliqué), on a

donc une figure qui ressemble à ceci : x0 x0+hf(x0)f(x0+h)h

On peut encadrer l"aire qui nous intéresse par celle des deuxrectangles de largeurhdessinés sur la

figure, l"un ayant pour hauteurf(x0)et l"autref(x0+h). On a donchf(x0)?A(x0+h)-A(x0)? 2 hf(x0+h), ou encoref(x0)?A(x0+h)- A(x0)h?f(x0+h). Mais on obtient alors, en faisant tendrehvers0et en utilisant le théorème des gendarmes,limh→0+A(x0+h)- A(x0) h=f(x0)(notez

qu"on a besoin pour cela de la continuité de la fonctionf). En procédant de la même manière pour

h <0, on montre la dérivabilité de la fonctionA, et on a bienA?(x0) =f(x0).

Le principe de base de cette méthode (tracer des rectangles)est à la base d"une méthode de calcul

approché d"intégrales dont nous reparlerons en fin de chapître. En attandant, essayons de définir

plus rigoureusement cette fameuse notion d"aire sous une courbe, encore une fois en utilisant des rectangles.

1.1 Fonctions en escalier

Définition 1.Soit[a,b]une segment, une liste den+ 1réelsτ= (x0,x1,...,xn)constitue une subdivisiondu segment[a,b]sia=x0< x1<···< xn=a. Lepasde la subdivisionτest le réel strictement positifh= min(x1-x0,x2-x1,...,xn-xn-1). Remarque1.En fait, il serait plus rigoureux de dire que les intervalle[xi,xi+1], pourivariant entre

0etn-1, constituent une subdivision de[a,b].

Définition 2.Soientτetτ?deux subdivisions d"un même intervalle[a,b], alorsτ?τ?est encore

une subdivision de[a,b](en réordonnant les différents réels) notéeτ ? τ?. Définition 3.Une fonction?est unefonction en escaliersur le segment[a,b]s"il existe une subdivsionτ= (x0,...,xn)de[a,b]telle que?i? {0,...,n-1},?|]xi,xi+1[est une fonction constante. La subdivisionτest alors appeléesubdivision adaptéeà la fonction en escalier?. Remarque2.Les valeurs prises par la fonction enx0,x1etc n"ont aucune importance, et ne doivent

pas nécessairement être égales à l"une des deux valeurs prises sur les intervalles ayantxipour borne.

Un exemple de fonction en escalier sur le segment[1,8]et de subdivision adaptée à cette fonction

(les aires servant à la définition de l"intégrale sont également indiquées) :

0 1 2 3 4 5 6 7 8

012345

-1 -2 x0 x1x2 x3 x4 Proposition 2.L"ensemble des fonctions en escalier sur un segment est un espace vectoriel. Démonstration.Nous allons prouver qu"il s"agit d"un sous-espace vectoriel de l"ensemble de toutes

les fonctions définies sur[a,b]. Considérons donc deux fonctions?etψ, en escalier sur[a,b], etτetτ?

deux subdivisions adaptées respectivement àτet àτ?. La subdivisionτ ?τ?est alors une subdivision

adaptée à la fois à?et àψ. En effet, chacun des intervalles définis parτ ? τ?est inclus dans un des

intervalles définis parτ, la fonction?y est donc constante, et de même pourψ. Chacune des deux

fonctions étant constante sur les intervalles définis parτ ?τ?, toute combinaison linéaire de?etψle

sera aussi, et est donc aussi une fonction en escalier sur[a,b]. 3 Définition 4.Soit?une fonction en escalier sur[a,b]etτ= (x0,...,xn)une subdivision adaptée à?, alors l"intégrale de?sur le segment[a,b]est le nombre réeln-1? k=0(xk+1-xk)αk, oùαkest la valeur constante prise par?sur l"intervalle]xk,xk+1[. Cette intégrale est notée? b a ?(x)dx. Remarque3.La variablexapparaissant dans la dernière notation introduite est une variable muette (comme l"indice d"une somme par exemple) qui peut être remplacée par n"importe quelle autre variable tant qu"on modifie également ledxqui suit :? b a ?(w)dw=? b a ?(x)dx.

Proposition 3.L"intégrale d"une fonction en escalier sur un segment ne dépend pas de la subdivision

τchoisie.

Démonstration.Soientτetτ?deux subdivisions adaptées à une même fonction?, alorsτ ? τ?est

également une subdivision adaptée à?(nous l"avons démontré un peu plus haut), il suffit alors de

constater que l"intégrale donnée parτet parτ ? τ?est identique (ce sera également le cas pour

?etτ ? τ?, donc pourτetτ?). Or, pour passer deτàτ ? τ?, on se contente de découper chaque

intervalle deτen (éventuellement) plusieurs intervalles. L"égalité découle alors de la distributivité

des sommes : siiréelsy1,...,yiapparaissent entrexketxk+1, en notanty0=xketyi+1=xk+1, i? j=0(yj+1-yj)αk=αki j=0(yj+1-yj) =αk(xk+1-xk).

Proposition 4.L"application??→?

b a ?(x)dxest une application linéaire. De plus,?c?[a,b], c a ?(x)dx+? b c ?(x)dx(résultat connu sous le nom de relation de Chasles). Enfin, sila fonction

?est positive sur le segment[a,b], son intégrale sur[a,b]est positive (résultat connu sous le nom de

positivité de l"intégrale).

Démonstration.En prenant une subdivision adaptée simultanément à deux fonctions en escalier?

etψ, la linéarité del"intégrale découle une fois de plus de la distributivité dans les sommes. Notons

ketβkles valeurs respectives prises par?etψsur les intervalles de la subdivision commune, alors? b a (λ?+μψ)(x)dx=n-1? k=0(xk+1-xk)(λαk+μβk) =λn-1? k=0(xk+1-xk)αkμn-1? k=0(xk+1-xk)βk= b a ?(x)dx+μ? b a ψ(x)dx. La relation de Chasles est une conséquence encore plus simple de

l"associativité de la somme (on ajoutercà la subdivision, ce qui ne change pas l"intégrale comme on

l"a vu précédemment, et on sépare la somme en deux), et la positivité est carrément triviale : une

somme de réels positifs est certainement positive.

1.2 Intégrale d"une fonction continue

Dans tout ce paragraphe, ainsi que dans la suite du chapître,fdésigne une fonction continue sur

un segment[a,b]. Théorème 1.Approximation des fonctions continues par des fonctions enescalier.

Soitfune fonction continue sur[a,b]etεun réel strictement positif. Alors il existe une fonction?

en escalier sur[a,b]telle que?x?[a,b],?(x)?f(x)et|f(x)-?(x)|?ε.

Démonstration.Nous admettrons ce résultat, qui est hors programme. Il nécessite en fait le théo-

rème de Heine (hors programme), qui est lui-même une conséquence du théorème de Bolzano-

Weierstraß(encore hors-programme, même si celui-là a été énoncé et même démontré dans notre

4

chapître sur les suites). Pour essayer de comprendre l"idée(et ce qui pose problème), un début de

raisonnement :fétant supposée continue ena, il existe certainement un intervalle de la forme [a,x1]sur lequel|f(x)-f(a)|?ε(c"est la définition de la limite qui nous le donne). On peut

poser?(x) = infx?[a,x1]f(x)sur l"intervalle[a,x1]. Ensuite, de la même manière, on trouvex2tel que

|f(x1)-f(x)|?εsur[x1,x2], ce qui permet de poser?(x) = infx?[x1,x2]f(x)sur]x1,x2]. Et ainsi de

suite, on construit une subdivisionτet une fonction en escalier vérifiant les hypothèses du théorème.

Le problème est qu"on n"a aucun contrôle sur le pas de la subdivision créée : on pourrait très bien

avoir des intervalles de plus en plus petits, et ne jamais approcher deb, la deuxième borne de notre

segment. Le théorème de Heine assure justement que ce ne serapas le cas, en " renversant » les

quantificateurs dans la définition de la continuité : il assure que, sifest continue sur[a,b]etε >0,

il existe un réelηtel que?(x,y)?[a,b]2,|x-y|?η? |f(x)-f(y)|?ε. Le réelηne dépend plus

deε, ce qui change tout. Théorème 2.En notantE-={?|?x?[a,b],?(x)?f(x)}avec?en escalier sur[a,b], etE+=

{ψ|?x?[a,b],ψ(x)?f(x)}(oùψest, comme vous l"aurez deviné, en escalier sur[a,b]), alors

sup ??E-? b a ?(x)dx= infψ?E+? b a

ψ(x)dx.

Démonstration.Une petit illustration de ce théorème, qui dit simplement qu"on peut encadrer une

fonction continue par deux fonctions en escalier, dont les intégrales peuvent être rendues aussi proches

qu"on le souhaite (ici avec un pas constant, une fonction en escalier minorantfen bleu, et une majorantfen vert) :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

01

La démonstration est en fait relativement simple avec le théorème précédent. On peut déjà constater

que??? E-,?ψ? E+,? b a ?(x)dx?? b a ψ(x)dx(c"est par exemple une conséquence de la

positivité et de la linéarité de l"intégrale, en constatantque la fonctionψ-?est toujours positive).

On en déduit quesup

??E-? b a ?(x)dx?infψ?E+? b a ψ(x)dx(au passage cela prouve l"existence de la

borne supérieure et de la borne inférieure, car le membre de gauche, par exemple, est majorée

par l"intégrale de n"importe quelle fonction en escalier majorantf, et de telles fonctions existent).

Ensuite, le théorème assure l"existence d"une fonction?? E-telle que?x?[a,b],f(x)-?(x)?ε

2(b-a)(qui est un nombre strictement positif comme les autres), mais aussi deψ? E+telle

que?x?[a,b],ψ(x)-f(x)?ε

2(b-a)(on applique le théorème à-fet on prend l"opposé de

la fonction obtenue). On a donc,?x?[a,b],0?ψ(x)-?(x)?ε b-a. La fonctionψ-?et a 5 une intégrale positive et majorée parn-1? k=0(xk+1-xk)×εb-a=ε. Autrement dit, en appliquant la linéarité de l"intégrale des fonctions en escalier, b a

ψ(x)dx??

b a ?(x)dx+ε. Cela prouve que sup ??E-? b a ?(x)dx?infψ?E+? b a ψ(x)dx-ε. Comme cette inégalité est vraie quelle que soitε >0, les deux membres sont nécessairement égaux. Définition 5.L"intégrale de la fonctionfsur le segment[a,b]est le nombre réelsup ??E-? b a ?(x)dx = inf

ψ?E+?

b a

ψ(x)dx. On le note?

b a f(x)dx.

Proposition 5.La linéarité de l"intégrale est conservée sur l"ensemble des fonctions continues, ainsi

que la relation de Chasles et la positivité.

Démonstration.Cette démonstration un peu technique fait intervenir la caractérisation des bornes

supérieure et inférieure. Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,b],λetμdeux réels, etε >0.

Par caractérisation de la borne supérieure, il existe une fonction en escalier?majorée parfsur[a,b]

telle que0?? b a f(x)-?(x)dx?ε

2λ. De même, il existe une fonctionψmajorée pargtelle que

b a g(x)-ψ(x)dx?ε

2μ. La fonctionξ=λ?+μψest alors une fonction en escalier majorée par

λf+μget telle que?

b a

ξ(x)dx?λ?

b a f(x) +μ? b a g(x)-ε. Comme, par définition,? b a

ξ(x)dx?

b a

λf(x)+μg(x)dx, on en déduit que?

b a

λf(x)+μg(x)dx?λ?

b a f(x)dx+μ? b a g(x)dx-ε. Cela

étant vrai quelle que soit la valeur deε,?

b a

λf(x) +μg(x)dx?λ?

b a f(x)dx+μ? b a g(x)dx. On

prouve l"inégalité dans l"autre sens de la même façon, à l"aide de fonctions en escalier majorantes, et

on en déduit la linéarité.

La relation de Chasles est plus facile à prouver : si?minorefsur[a,b], alors la restriction de?à[a,c]

et à[c,b]minore les restrictions defà chacun des deux intervalles, et? c a f(x)dx+? b c f(x)dx? b a ?(x)dx+? b c ?(x)dx=? b a ?(x)dx. Comme cela est vrai pour toute fonction?? E-, on en déduit que c a f(x)dx+? b c f(x)dx?? b a f(x)dx. Encore une fois, l"inégalité réciproque se prouve à l"aide de fonction en escalier majorantes, de la même manière.

Le dernier point est de loin le plus facile : sifest positive sur[a,b], la fonction nulle appartient à

E -, et comme son intégrale est nulle, on en déduit que? b a f(x)dx?0. Proposition 6.Soientfetgdeux fonctions continues sur[a,b]telles que?x?[a,b],f(x)?g(x), alors? b a f(x)dx?? b a g(x)dx.

Démonstration.C"est une conséquence des propriétés précédentes : sif?g, alorsg-f?0, donc

par positivité de l"intégrale? b a g(x)-f(x)dx. Il suffit alors d"appliquer la linéarité de l"intégrale pour conclure. 6

Remarque4.Ce résultat signifie simplement qu"on peut intégrer des inégalités. Il sera souvent ap-

pliqué dans un cas très particulier où l"une des deux fonctions est constante : sifest majorée par

Met minorée parmsur[a,b], alorsm(b-a)??

b a f(x)dx?M(b-a). Proposition 7.Soitfune fonction continue et positive sur[a,b], alorsfest nulle si et seulement si? b a f(x)dx= 0.

Proposition 8.Il y a une implication évidente, pour démontrer l"autre senson procède par contra-

posée. Supposons quefne soit pas nulle sur[a,b]. Il existe donc un réelx?]a,b[tel quef(c)>0

(même si le maximum defest atteint en une borne de l"intervalle, par continuité,frestera stricte-

ment positive à l"intérieur). Par continuité, on peut en déduire l"existence d"un intervalle]c-η,c+η[

sur lequelf(x)?f(c)

2. La fonctionfest alors minorée par la fonction en escalier?valantf(c)2sur

]c-η,c+η[et0ailleurs. Cette fonction en escalier ayant pour intégraleηf(c)>0, on en déduit que?b

a f(x)dx >0, ce qui prouve notre deuxième implication. Proposition 9.Soitfune fonction continue sur[a,b], alors????? b a f(x)dx???? b a |f(x)|dx. Démonstration.Il suffit d"appliquer la propriété précédente :f?|f|, donc? b a f(x)dx?? b a |f(x)|dx. Mais comme-f?|f|également, on peut aussi écrire-? b a -f(x)dx?? b a |f(x)|dx. La combi-

naison des deux inégalités prouve la propriété. Cette propriété est d"ailleurs visuellement évidente,

l"intégrale de|f|revient à calculer positivement toutes les aires comprisesentre la courbe et l"axe des

abscisses (y compris sur les intervalles oùfest négative), on obtient forcément une valeur plus grande

qu"en calculant la valeur absolue de l"intégrale def, où certaines portions peuvent être comptées

négativement. Définition 6.Lavaleur moyennedefsur[a,b]est le nombre réel1b-a? b a f(x)dx.

Remarque5.Cette valeur représente la largeur d"un rectangle dont l"aire est égale à celle donnée par

l"intégrale de la fonctionf, ce qui correspond bien à une notion de valeur moyenne.

Proposition 10.Inégalité de la moyenne.

Sifetgsont continues sur[a,b], alors?????

b a f(x)g(x)dx???? ?sup x?[a,b]|f(x)|? b a |g(x)|dx.

Démonstration.Il suffit encore une fois d"appliquer la dernière propriété prouvée :?????

b a f(x)g(x)dx???? b a |f(x)| × |g(x)|dx. Comme|f|est majorée parsup x?[a,b]|f(x)|, le résultat en découle.

Proposition 11.Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Sifetgsont continues sur[a,b], alors?

?b a f(x)g(x)dx? 2 ?b a f(x)2dx? ?b a g(x)2dx? . De

plus, cette inégalité est une égalité si et seulement sif= 0ouf=λgpour un certain réelλ.

Démonstration.Nous retrouverones ce résultat de manière plus générale dans notre chapître consacré

à la géométrie euclidienne. La démonstration en est assez surprenante : pour un réeltquelconque,

on poseP(t) =? b a (f(x) +tg(x))2dx. Par linéarité,P(t) =? b a f(x)2dx+ 2t? b a f(x)g(x)dx+ 7 t2?b a g(x)2dx. Autrement dit,P(t)est un polynôme de degré2(sauf sifest la fonction nulle,

auquel cas l"inégalité est triviale). Or,P(t)étant l"intégrale d"une fonction positive, est toujours

positif. Cela implique que son discriminantΔest négatif. CommeΔ = 4? ?b a f(x)g(x)dx? 2 4 b a f(x)2dx? b a

g(x)2dx, l"inégalité en découle immédiatement. Pour avoir égalitédans l"inégalité,

il faut que le discriminant soit nul, ce qui implique l"existe d"une valeur detpour laquelle? b a (f(x)+ tg(x))2dx= 0. Comme c"est une intégrale de fonction continue et positive, elle ne peut s"annuler que sif(x) +tg(x)est nulle sur[a,b], ce qui impliquef(x) =-tg(x), avectconstant.

Remarque6.Tous les résultats énoncés dans ce paragraphe peuvent s"étendre facilement à des fonc-

tions qui ne sont pas tout à fait continues, mais seulement continues par morceaux (c"est-à-dire

continues sur tous les intervalles délimités par une certaine subdivision de[a,b]). Il suffit pour cela

de définir l"intégrale de la fonction comme la sommes des intégrales des fonctions continues sur chacun

des intervalles de la subdivision, en parfaite cohérence avec la relation de Chasles. La construction

de l"intégrale que nous avons donnée fonctionne d"ailleurspour une classe de fonctions plus large

que les fonctions continues, qu"on appelle fonctions réglées (mais que nous n"étudierons pas cette

année). Il existe d"autres façons de définir rigoureusementl"intégrale, celle que nous avons étudiée

est l"intégrale de Riemann, et il existe notamment une intégrale de Lebesgue qui permet de définir

l"intégrale sur une classe de fonctions encore nettement plus large, appelées fonctions mesurables.

Bref, même si ça ne vous saute pas aux yeux, nous avons fait au plus simple!

Remarque7.On peut également définir assez facilement des intégrales defonctions continues sur

un segment et à valeurs complexes : sif(x) =g(x) +ih(x), avecgethdeux fonctions continues à valeurs réelles, alors on pose?quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41