Traitement de Signal TS Corrigé des exercices
1 1 Corrigé des exercices 1 1 1 Exercice SF 1 la série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe On a pour la série en cosinus : A 0 = a 0
Exercices corrigés sur les séries de Fourier
sur les séries de Fourier 1 Enoncés Exercice 1 Calculer la série de ourierF trigonométrique de la fonction 2ˇ-périodique f: R R telle que f(x) = ˇ j xj sur ] ˇ;ˇ] La série converge-t-elle vers f? Exercice 2 Calculer la série de ourier,F sous forme trigonométrique, de la fonction 2ˇ-périodique f: R R telle que f(x) = x2 sur [0;2ˇ[
Traitement de Signal TS Corrigé des exercices
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La transform ee de Fourier 1 Exercices - CIMAT
La transform ee de Fourier 1 Exercices Dans les corrections, on choisit la normalisation suivante pour la transform ee de Fourier : bv(˘) = Z v(x)e i2ˇx ˘ dx: Le passage d’une normalisation a une autre n’implique g en eralement que des constantes multiplicatives dont le calcul est facile 1 Calculs et propri et es el emen taires a
Séries de Fourier - Exo7
Exercice 3 *** Soit a2Cn[ 1;1] 1 (a)Développer en série trigonométrique la fonction f : t 7 1 a cost (utiliser la racine de plus petit module, notée b, de l’équation z2 az+1 =0) (b)La série obtenue est-elle la série de FOURIER de f ? 2 Déduire de 1) la valeur des intégrales I n = Rp 0 cos(nt) a cost dt, n2N Correction H [005783
TD n°6 : Fourier - Correction
Exercice 8 : 1 En utilisant le résultat de l’exercice 3, montrer que ???????? ???? ???? ???????? +∞ −∞ = ???? ???? ????< ???? ???? ???? ???? ???? ????> La transformée de Fourier inverse ???? −+ ????+ 1 2 = 2???? +∞ −???????? −∞ donc
Exercices séries de Fourier
Dans tous les exercices, le symbole ∼ signifie « a pour série de Fourier » Exercice 1 : onde carrée ou créneau 1) Développer en série de Fourier la fonction 2 π-périodique définie par : (t) = 1 si t ∈ ]0, π[ , −1 si t ∈ ] −π, 0[ , 0 si t ∈ πZ
Examens corrigés - Université Paris-Saclay
Exercice 3 Si f2C0(T), alors pour tout n2N, la n-ème somme de Fejér est continue sur le cercle T et satisfait : jj˙n(f)jjC0 6 jjfjjC0: Exercice 4 Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f: RR définie pour tout 2[ˇ;ˇ] par : f( ) := 1 2 ˇ2; et prolongée comme fonction 2ˇ-périodique (continue) sur R tout entier Exercice 5
Exercices surlesséries deFourier
BTS Système Electronique Exercices Sériede Fourier Exercice 4 Onconsidère la fonction ϕ définie sur R, 2π-périodique, et telle que : ½ ϕ(t) = t si 0Ét
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Exo7
Séries de Fourier
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**1.Soit flafonctiondéfiniesurR, 2p-périodiqueetimpairetelleque8x20;p2 ,f(x)=sinx2 . Déterminer f(x)pour tout réelx. 2. Soit fla fonction définie surR, 2p-périodique et paire telle que8x20;p2 ,f(x) =sinx2 . Déterminer f(x)pour tout réelx.Développer en série de FOURIERles fonctions suivantes puis déterminer la valeur des sommes indiquées :
1) (**)f:R!R2p-périodique paire telle que8x2[0;p],f(x) =12xp
. En déduireå+¥n=01(2n+1)2,å+¥n=11n 2 etå+¥n=11n
4.2) (**)f:R!R2p-périodique impaire telle que8x2[0;p],f(x) =x(px). En déduireå+¥n=0(1)n(2n+1)3,
+¥n=01(2n+1)6etå+¥n=11n 6.3) (**)f:R!R2p-périodique telle que8x2]p;p],f(x) =sinx2
. En déduireå+¥n=0(1)n2n+116n2+16n+3.4) (***)f:R!R2p-périodique telle que8x2[p;p],f(x) =ch(lx)(lréel strictement positif donné).
En déduire
å+¥n=1(1)nl
2+n2,å+¥n=11l
2+n2etå+¥n=11(l2+n2)2.
5) (**)f:R!Rtelle que8x2R,f(x) =sup(0;sinx). En déduireå+¥n=114p21.
1. (a)Dév elopperen série trigonométrique la fonction f:t7!1acost(utiliser la racine de plus petit
module, notéeb, de l"équationz2az+1=0). (b) La série obtenue est-elle la série de F OURIERdef? 2. Déduire de 1) la v aleurdes intégrales In=Rp0cos(nt)acostdt,n2N.
psin(pz)et cotan(pz)). Soita2CnZ. Soitfl"application deRdansC, 2p-périodique telles que8x2[p;p],f(x) =cos(ax). 1. Dév elopperla fonction fen série de FOURIER. 2.En déduire que pour tout z2CnZ,
1 p sin(pz)=1z +å+¥n=1(1)n2zz2n2etpcotan(pz) =1z
+å+¥n=12zz 2n2.Correction del"exer cice1 N1.• Puisque fest impaire,f(0) =0. Puisquefest impaire et 2p-périodique,f(p) =f(p) =f(p)et
doncf(p)=0. Puisquefest 2p-périodique, pourk2Z,f(2kp)=f(0)=0 etf((2k+1)p)=f(p)=0.Finalement,8k2Z,f(kp) =0.
Soitx2]p;0[. Puisquefest impaire,f(x) =f(x) =sinx2 =sinx2 et donc8x2]p;p[, f(x) =sinx2 Soitx2RnpZ. Il existek2Ztel quepkpoùk=Ex+p2p.Correction del"exer cice2 N1.La fonction fest continue par morceaux surRet 2p-périodique. On peut donc calculer ses coefficients
de FOURIER.1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8 1 -1 π-π2π-2πPuisquefest paire,8n2N,bn(f) =0 puis pourn2N,an(f) =2p R p 012xp cos(nx)dx.Par suite,a0(f) =0 puis pourn2N,
a n(f) =2p h 12xp sin(nx)n i p0+2npR
p0sin(nx)dx
=4np2hcos(nx)n i p0=4(1(1)n)n
2p2.La fonctionfest 2p-périodique, continue surRet de classeC1par morceaux surR. D"après le théorème
de DIRICHLET, la série de FOURIERdefconverge versfsurR. Par suite, pour tout réelx, f(x) =a0(f)2 +å+¥n=1(an(f)cos(nx)+bn(f)sin(nx)) =4p2å+¥n=11(1)nn
2cos(nx) =8p
2å+¥p=0cos((2p+1)x)(2p+1)2.
8x2R,f(x) =8p
2å+¥n=0cos((2n+1)x)(2n+1)2.3
L"égalitéf(0) =1 fournitå+¥n=01(2n+1)2=p28 . Ensuite, siS=å+¥n=11n2, on a
+S4 et doncS=43 p28 =p26 D"autre part, puisquefest continue par morceaux surRet 2p-périodique, la formule de PARSEVAL fournit (a0(f))22 +å+¥n=1((an(f))2+(bn(f))2) =1p R p p(f(x))2dxet donc 64p4å+¥n=01(2n+1)4=2p
R p 012xp 2dx=h 13 12xp 3ip 0=23 et doncå+¥n=01(2n+1)4=23
p464 =p496 . Enfin, si on poseS=1n 4, +S16 et doncS=1615 p496 =p490 +¥n=01(2n+1)2=p28 ,å+¥n=11n 2=p26 etå+¥n=11n4=p490
.2.La fonction fest continue par morceaux surRet 2p-périodique. On peut donc calculer ses coefficients
de FOURIER.1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8 123-1 -2 -3 π-π2π-2πPuisquefest impaire,8n2N,an(f) =0 puis pourn2N, b n(f) =2p Z p
0x(px)sin(nx)dx=2p
x(px)cos(nx)n p 0 +1n Z p0(p2x)cos(nx)dx
2np (p2x)sin(nx)n p 0 +2n Z p0sin(nx)dx
=4n 2p cos(nx)n p 0 =4(1(1)n)n 3p:La fonctionfest 2p-périodique, continue surRet de classeC1par morceaux surR. D"après le théorème
de DIRICHLET, la série de FOURIERdefconverge versfsurR. Par suite, pour tout réelx, 4 f(x) =a0(f)2 +å+¥n=1(an(f)cos(nx)+bn(f)sin(nx)) =4på+¥n=11(1)nn
3sin(nx) =8p
å+¥p=0sin((2p+1)x)(2p+1)3.
8x2R,f(x) =8p
=p24 fournitå+¥n=0(1)n1(2n+1)3=p332 . Ensuite, puisquefest continue par morceaux surR et2p-périodique, laformulede PARSEVALfournit(a0(f))22 +å+¥n=1((an(f))2+(bn(f))2)=1p R p p(f(x))2dx et donc 64p2å+¥n=01(2n+1)6=2p
R p0x2(px)2dx=2p
h p 2x33 2px44 +x55 i p0=2p413
12 +15 =p415 et doncå+¥n=01(2n+1)6=p264
p415 =p6960 . Enfin, si on poseS=1n 6, +S64 et doncS=6463 p6960 =p6945 +¥n=0(1)n1(2n+1)3=p332 ,å+¥n=11(2n+1)6=p6960 etå+¥n=11n6=p6945
.3.La fonction fest continue par morceaux surRet 2p-périodique. On peut donc calculer ses coefficients
de FOURIER.1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8 123-1 -2 -3
π-π2π-2π
??La fonctionfa mêmes coefficients de FOURIERque la fonctiongdéfinie surR, impaire et 2p-périodique
telle que8x20;p2 ,g(x) =0. Donc8n2N,an(f) =0 puis pourn2N, b n(f) =2p Z p