[PDF] Rappels sur les applications lin eaires - univ-rennes1fr

Fonctions injectives, surjectives et bijectives

= +1 / 2 ⁵ 1 / 5 ³ + 3 ² − 1 Fonctions injectives, surjectives et bijectives Injection Définition Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l’image correspond au plus à un seul réel du

FONCTIONS 1 Fonctions

Une fonction f de X vers Y est bijective si et seulement si tout élément de Y possède exactement un antécédent dans X (ce qui équivaut à dire que f est à la fois injective et surjective) Exercice 1 13 Pour chaque fonction f ci-dessous, déterminez (et justifiez) si elle est bijective, injective

Chapitre III D´erivabilit´e d’une bijection r´eciproque

surjective, resp bijective) a l’aide de diagrammes de Venn D´efinition (bijection r´eciproque) : Si f est bijective, on d´efinit sa bijection r´eciproque : f−1: F → E comme ´etant la fonction qui a tout y ∈ F associe l’unique solution de l’´equation f(x) = y dans E On a donc : ∀y ∈ F f−1(y) = x ⇐⇒ f(x) = y et

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI INJECTIONS

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Définition (Famille) Soit I un ensemble On appelle famille (d’éléments) de E indexée par I toute application de I dans E Les familles, au lieu d’être notée comme des applications, sont presque toujours notées sous la forme (xi)i∈I

Exercice 9 E F f E F A E A TD n 3 : Ensembles et applications

• Comment déterminer si une fonction est injective? – Prendre deux éléments ayant même image et déterminer s’ils sont néces-sairement égaux – Trouver deux éléments distincts ayant même image – Déterminer ses variations (si c’est une fonction de Rdans R) • Comment savoir si une fonction est bijective?

Rappels sur les applications lin eaires - univ-rennes1fr

iii) fest bijective D emonstration : si fest bijective, alors elle est injective On a alors Ker f= f0get, d’apr es le th eor eme du rang, dimE= rgf= dimImf Comme ImfˆF et que dimE= dimF, on en d eduit que Imf= Fet fest surjective De m^eme, si fest surjective, alors dimE= rgfdonc dim(Ker f) = 0 et Ker f = f0g, ce qui veut dire que f est

FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1

Techniques dintégration: par parties, par substitution, par

\ a l’envers", puis on revient a la variable originelle au moyen de la fonction r eciproque Z g(x)dx x=f(t) = g(f(t))f0(t)dt Dans le cas ou la fonction f est bijective, en notant rf(x) la fonction r eciproque de f, Z g(x)dx= Z g(f(t))f0(t)dt t=rf(x) Le changement de variable est d ecrit par la liste des remplacements a e ectuer ( a retenir

Chapitre 2 1 23 R´eciproque d’une application lin´eaire

Il est surprenant cependant de savoir qu’il existe des applications in-versibles, non lin´eaires, de IR3 dans IR2 Cas 2 : n = m On est dans le cas ou` le syst`eme A→x = →y a autant d’´equations que d’inconnues On sait depuis la section 1 3 que ce syst`eme admet une unique solution si et seulement si frel(A) = I n =

1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes

de la fonction u+ v, qui à x2Efait correspondre l'élément u(x)+ v(x) Nous pouvons donc légitimement nous poser la question de savoir si une combinaison linéaire d'applications linéaires est encore une application linéaire? Proposition 1 2 Soient Eet Fdeux R-espaces vectoriels L'ensemble des applications linéaires

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Rappels sur les applications lineaires

1.Denition d'une application lineaire

Denition 1 {SoientEetFdeux espaces vectoriels sur un m^eme corpsKetfune application deEdansF. Dire quefest lineaire signie que les deux assertions suivantes sont vraies : (8(x;y)2E2; f(x+y) =f(x) +f(y)

82K;8x2E; f(x) =f(x)

Ces deux assertions peuvent ^etre reunies en une seule :

8(x;y)2E2;82K; f(x+y) =f(x) +f(y):

On noteL(E;F) l'ensemble des applications lineaires deEdansFetL(E) l'ensemble des applications lineaires deEdansE. Proposition 2 {L(E;F) est un espace vectoriel surK. Remarque -Sifest lineaire, alorsf(0E) = 0F. (Faire= 0) Vocabulaire- SoitEun espace vectoriel sur un corpsK. Unendomorphismed'un espace vectorielEest une application lineaire deEdansE. UnisomorphismedeEsurFest une application lineaire bijective.

Unautomorphismeest un endomorphisme bijectif.

Uneforme lineaire surEest une application lineaire deEsurK. SoientEun espace de dimension nienetf2L(E;F). L'applicationfest entierement denie par l'image des vecteurs d'une base (e1;:::;en) deEcar, d'apres la linearite def, si x=x1e1++xnen, on af(x) =f(x1e1++xnen) =x1f(e1)++xnf(en) pour tout xdeE. Exemples -La derivation et l'integration sont des applications lineaires (attention au choix des ensembles de depart et d'arrivee) En geometrie vectorielle de dimension 2 ou 3, les rotations, symetries, homotheties et projections sont des applications lineaires. On denit la loi + surL(E) comme etant la loi d'addition des fonctions, la loicomme etant la multiplication par un scalaire, element deK, d'une fonction deL(E) et la loicomme etant la loi de composition de deux fonctions. Proposition 3 {SoitEun espace vectoriel sur un corpsK. (L)(E);+;;) est une algebre surK.Demonstration :en eet,(L(E);+;)est unK-espace vectoriel. La loiest une loi de compostion interne et est distributive par rapport a l'addition. On a de plus, pour tout(a;b)2K2 et pour tout(f;g)2L(E)2,(af)(bg) = (ab)(fg)par linearite. Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I2.Image et noyau Proposition 4 {Soitf:E!Fune application lineaire etGun sous-espace vectoriel de E. Alorsf(G) est un sous-espace vectoriel deF. En particulier,f(E) est un

sous-espace vectoriel deF, appele image defet note Imf.Demonstration :soitGun sous-espace vectoriel deE. On a

f(G) =ff(x);x2Gg: C'est un sous-ensemble deF. Il est non vide car0E2G. En eet,Gest un sous-espace vectoriel deE, doncf(0E) = 0F2f(G). Soienty1ety2deux elements def(G)et2K. Montrons quey1+y22f(G). Par denition def(G), il existex1etx2, elements deGtels quey1=f(x1)ety2=f(x2). On a alorsy

1+y2=f(x1) +f(x2)

=f(x1+x2)par linearite def

Orx1+x22GcarGest un espace vectoriel doncy1+y22G.Remarque -SiEest de dimension nie, on peut remarquer que Imf= Vectff(e1);:::;f(en)g

oufe1;:::;engest une famille generatrice (ou une base) deE. Pour denir une application

lineaire surE, il sut donc de denir les images des vecteurs d'une base deE.Denition 5 {SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension nie etf2L(E;F). La

dimension de Imfest appelee rang defet est notee rgf. Proposition 6 {Soitf:E!Fune application lineaire. On pose

Kerf=fx2E;f(x) = 0g

ou 0 = 0 F. Kerfest un sous-espace vectoriel deEappele noyau def.Demonstration :Kerfest non vide carf(0E) = 0F. Soientx1etx2deux elements deKerfet2K. Montrons quex1+x22Kerf. On a f(x1+x2) =f(x1) +f(x2) = 0. Doncx1+x22Kerf.3.Injectivite, surjectivite et bijectivite

Proposition 7 {Soitf2L(E;F).fest surjective si et seulement si Imf=F.Demonstration :commeImf=f(E), le resultat est evidentProposition 8 {Soitf2L(E;F).fest injective si et seulement si Kerf=f0g.Demonstration :supposonsfinjective. Soitx2Kerf, alorsf(x) = 0 =f(0)doncx= 0par

denition de l'injectivite. On a doncKerf=f0g. Reciproquement, supposons queKerf=f0g. Soientxetydeux elements deEtels que f(x) =f(y). Par linearite def, on en deduit quef(xy) = 0doncxy2Kerf. Or Kerf=f0g, d'oux=yetfest injective.Proposition 9 {Soitf2L(E;F) etfvigi2Iune famille de vecteurs deE. a) Sifest injective et si la famillefvigi2Iest libre dansE, alors la familleff(vi)gi2Iest libre dansF. b) Sifest surjective et si la famillefvigi2Iest generatrice deE, alors la familleff(vi)gi2Iest generatrice deF. c) En particulier, sifest bijective, l'image d'une base deEest une base deF.Demonstration : { 2 {

RAPPELS SUR LES APPLICATIONS LIN

EAIRES

Supposonsfinjective et soitfvigi2Iune famille libre d'elements deE.

Montrons queff(vi)gi2Iest une famille libre deF.

Soient(i)i2Ides scalaires etJun sous-ensemble ni quelconque deItels que X i2J if(vi) = 0;alorsf(X i2J ivi) = 0

On en deduit que

X i2J ivi2Kerf; orfest injective doncX i2J ivi= 0. Comme la famille fvigi2Jest libre, la famillefvigi2Jl'est aussi et on en deduit que tous lesisont nuls, d'ou le resultat. Supposonsfsurjective et soitfvigi2Iune famille generatrice deE. Montrons que la famille ff(vi)gest generatrice deF. Soityun element deF. Commefest surjective, il existe x2Etel quey=f(x). Orxs'ecrit comme une combinaison lineaire desvi, donc, par linearite def,y=f(x)s'ecrit comme une combinaison lineaire desf(vi). Une base etant une famille libre et generatrice et une application bijective etant injective et surjective, le troisieme item est un corollaire des deux precedents.4.Theoreme du rang Theoreme 11 {SoitEetFdeux espaces vectoriels de dimension nie etf2L(E;F). On adimE= rgf+ dim(Kerf)Demonstration :posonsdimE=netdim(Kerf) =r. Montrons alors que rgf=nr. Soitfw1;:::;wrgune base deKerfetfv1;:::;vnrgune famille de vecteurs deEtelle que fw1;:::;wr;v1;:::;vnrgsoit une base deE. On poseB=ff(v1);:::;f(vnrg. Montrons queBest une base deImf.

Montrons queBengendreImf.

Soity=f(x)2Imf.xs'ecrit (de maniere unique)x=a1w1++arwr+b1v1++ b nrvnr. En utilisant la linearite defet le fait que leswiappartiennent aKerf, on obtient queyest combinaison lineaire desf(vi)doncBengendreImf.

Montrons queBest une famille libre deF.

Soient(1;:::;nr)2Knrtel que1f(v1)++nrf(vnr) = 0. Par linearite def, on en deduit que1v1++nrvnr2Kerfdonc il existe(1;:::;r)2Krtel que

1v1++nrvnr=1w1++rwr. Comme la famille(w1;:::;wr;v1;:::;vnr)

est libre, on en deduit que1==nr= 0etBest libre.Corollaire 12 {Soitf2L(E;F) ouEetFsont deux espaces vectoriels dem^eme dimension

nie. Les proprietes suivantes sont equivalentes : i)fest injective ii)fest surjective

iii)fest bijectiveDemonstration :sifest bijective, alors elle est injective. On a alorsKerf=f0get, d'apres le

theoreme du rang,dimE=rgf= dimImf. CommeImfFet quedimE= dimF, on en deduit queImf=Fetfest surjective. De m^eme, sifest surjective, alorsdimE=rgfdonc dim(Kerf) = 0etKerf=f0g, ce qui veut dire quefest injective. Comme on l'a suppose surjective, on a montre qu'elle est bijective.{ 3 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Corollaire 13 {Soitf2L(E). On les equivalences suivantes : fest bijective()Kerf=f0g ()Imf=E:5.Matrices associees aux applications lineaires SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension nienetprespectivement. Denition 14 {On appelle matrice defdans les basesfe1;:::;engdeEetff1;:::;fpgde Fla matrice, noteeM(f)ei;fj, appartenant aMp;n(K) dont les colonnes sont les composantes des vecteursf(e1);:::;f(en) dans la baseff1;:::;fpg. Posonsf(ej) =a1jf1+a2jf2++apjfppour toutj2 f1;:::;ng. La matrice defdans les basesfe1;:::;engdeEetff1;:::;fpgdeFest alors la matrice f(e1)f(e2)f(ej)::: f(en) A=0 B

BBBBBBB@a

11a12::: a1j::: a1n

a

21a22::: a2j::: a2n..................

a i1ai2::: aij::: ain.................. a p1ap2::: apj::: apn1 C

CCCCCCCA5.1.

Ecriture matricielle d'une application lineaireSoitx2Eavecx=nX j=1x jej. On a f(x) =nX j=1x jf(ej) =nX j=1 x jp X i=1a ijfi! pX i=10 nX j=1a ijxj1 A fi Si on represente le vecteurxdans la base (ei) par une matrice-colonneXet le vecteurydans la base (fj) par une matrice-colonneY, on a alors y=f(x)()Y=AX()0 B

BBBBBB@y

1 y 2... y i... y p1 C

CCCCCCA=0

B

BBBBBBB@a

11a12::: a1j::: a1n

a

21a22::: a2j::: a2n..................

a i1ai2::: aij::: ain.................. a p1ap2::: apj::: apn1 C

CCCCCCCA0

B

BBBBBB@x

1 x 2... x j... x n1 C

CCCCCCA:

SoientEetFdeux espaces vectoriels surKde dimensionnetprespectivement,feigetffjg des bases deEetF.

Proposition 15 {L'application

M:"L(E;F)!Mp;n(K)

f7!M(f)ei;fj { 4 {

RAPPELS SUR LES APPLICATIONS LIN

EAIRES

est un isomorphisme d'espaces vectoriels. On a donc, pour toutes les applications lineairesfetgdeEdansFet tout2K,

M(f+g) =M(f) +M(g)

M(f) =M(f)

etMest bijective.

Proposition 16 {dimL(E;F) = dimEdimFDemonstration :deux espaces isomorphes ont m^eme dimension, d'ou le resultat.

Proposition 17 {SoientE,FetGtrois espaces vectoriels de dimension nie surK, fe1;:::;eng,ff1;:::;fpgetfg1;:::;gqgdes bases deE,FetGrespec- tivement. Soientf2L(E;F) etg2L(F;G), on aM(fg)ei;gk=M(f)fj;gkM(g)ei;fjDemonstration :posons g(ej) =pX i=1a ijfid'ouM(g)ei;fj= (aij)1in;1jp=A f(fi) =qX k=1b kigkd'ouM(f)fj;gk= (bjk)1jp;1kq=B On va montrer queM(fg)ei;gk=BAen calculant les coordonnees defg(ej)dans la base (gk). fg(ej) =pX i=1a ijf(fi) pX i=1 a ijq X k=1b kigk! qX k=1 pX i=1b kiaij! g k

Lak-eme coordonnee du vecteurfg(ej)est donc bien egale a(BA)kj, d'ou le resultat.Proposition 18 {SoientEetFdeux espaces vectoriels de m^eme dimensionnsurK. Soient

fe1;:::;engetff1;:::;fngdes bases deEetFrespectivement. Une application lineairef2L(E;F) est bijective si et seulement si M(f)ei;fjest inversible. De plus,M(f1)fj;ei=M(f)ei;fj

1.Demonstration :c'est une consequence de la proposition precedente.On a egalement, d'apres

le corollaire13qu'une matrice est inversible si et seulement si son noyau est reduit au vecteur nul ou encore si et seulement si ses vecteurs colonnes sont lineairement independants (puisqu'ils engendrent Imf). { 5 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I5.2.Matrice de passage SoientEun espace vectoriel de dimensionnetfe1;:::;engetfe01;:::;e0ngdeux bases deE. Denition 19 {On appelle matrice de passage de la basefe1;:::;enga la basefe01;:::;e0ngla matrice, noteePfeig!fe0ig, dont les colonnes sont les composantes des vecteurse0idans la base feig. La matricePfeig!fe0igest la matrice de l'endomorphisme IdEdans les basesfeigetfe0ig.

On a donc :

Proposition 20 {La matrice de passagePfeig!fe0igest inversible et son inverse est la matrice de passagePfe0ig!feig. Soitx2Ede composantes (x1;:::;xn) dans la basefeiget de composantes (x01;:::;x0n) dans la basefe0ig. On notePla matrice de passage de la basefeiga la basefe0iget X=0 @x 1... x n1 A etX0=0 B @x 01... x 0n1 C A

Proposition 21 {X

0=P1XDemonstration :en eet, posonsP= (pij)1i;jn. On a donce0j=nX

i=1p ijei. D'ou, si x=nX j=1x

0je0j, on obtient

x 0=nX j=1 x 0jn X i=1p ijei! =nX i=10 nX j=1p ijx0j1 A ei:

D'ouxi=nX

j=1p

ijx0j, ce qui s'ecritX=PX0. On utilise ensuite l'inversibilite deP.5.3.Changement de base sur la representation matricielle

Soientf2L(E;F),fe1;:::;engetfe01;:::;e0ngdeux bases deEetff1;:::;fpget ff01;:::;f0pgdeux bases deF.

On note

Proposition 22 {A

0=Q1APDemonstration :soitxun vecteur deEety=f(x). On noteX(respectivementY) la matrice-

colonne des coordonnees dex(respectivementy) dans la base(ei)(respectivement(fj)) etX0 (respectivementY0) la matrice-colonne des coordonnees dex(respectivementy) dans la base (e0i)(respectivement(f0j)). On a(Y=AX()Q1Y=Q1AX()Y0=Q1APY0). Comme c'est vrai pour tout

vecteurxdeE, on en deduit le resultat.Corollaire 23 {Soitf2L(E) etfe1;:::;engetfe01;:::;e0ngdeux bases deE. Notons

A=M(f)ei;A0=M(f)e0ietP=Pfeig!fe0ig:

On a alorsA

0=P1AP.

Denition 24 {Deux matricesAetA0sont dites semblables s'il existe une matricePdeMn(K) inversible telle queA0=P1AP. Deux matrices semblables representent donc le m^eme endomorphisme dans deux bases dierentes. { 6 {

RAPPELS SUR LES APPLICATIONS LIN

EAIRES5.4.Rang d'une matrice

Denition 25 {

1) SoitF=fvigi2Iune famille de vecteurs. On appelle rang de la famillefvigla dimension

de l'espace vectoriel engendre par cette famille.

2) SoitA2Mp;n(K). On appelle rang deAle rang de la famille formee par les vecteurs

colonnes deA. SoientEetFdeux espaces vectoriels de dimension nie etf2L(E;F). Soientfv1;:::;vng etfw1;:::;wpgdeux bases quelconques deEetFrespectivement etA=M(f)vi;wj.

Proposition 26 {rgf= rgADemonstration :Imfest engendree par les vecteurs-colonnes de la matriceA, d'ou le resultat.Proposition 27 {Deux matrices qui representent la m^eme application lineaire dans des bases

dierentes ont m^eme rang; en particulier, deux matrices semblables ont m^eme rang.Demonstration :soit(e1;:::;engetff1;:::;fpgles bases canoniques deKnetKprespec- tivement. Considerons les deux isomorphismesuetvdeKndansEet deKpdansFdenis respectivement paru(ei) =vietv(fj) =wj. L'applicationh=v1fuest representee par la matriceAdans les bases canoniques. On a donc rgA= dim(Vectfh(e1);:::;h(en)g) = dimImh=rgh.

D'autre part, puisqueuetvsont bijectifs, rgh=rgf.Remarque -Pour toute matriceA, on a rgA= rgtA. Il s'ensuit que le rang d'une matrice est

aussi egal au rang de la famille des vecteurs lignes.6.Trace d'un endomorphisme Dans tout ce paragraphe, on se place sur unK-espace vectorielEde dimension nien. Denition 28 {SoitAune matrice carree d'ordren. On appelle trace deAet on note tr(A), la somme des coecients diagonaux deA. On verie que l'application trace ainsi denie est lineaire et que tr( tA)=tr(A). Lemme 29 {Pour toutes les matricesAetBcarrees d'ordren, on a tr(AB)=tr(BA).Demonstration : tr(AB) =nX i=1(AB)ii=nX i=1 nX k=1a ikbki! nX k=1 nX i=1b kiaik! =tr(BA)Soientfe1;:::;engetfe01;:::;e0ngdeux bases deEetu2L(E). NotonsA=M(u)ei;A0=M(u)e0ietP=Pfeig!fe0ig:On a alorsA0=P1AP, donc tr(A0)=tr(P1A)P=trP(P1A)=tr(A). Ceci justie la denition suivante : Denition 30 {Soitu2L(E). On denit la trace deu, notee tr(u), comme etant la trace de la matrice representative deudans une base quelconque deE.7.Espace dual Dans tout ce paragraphe, on se place sur unK-espace vectorielEde dimension nie. { 7 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I7.1.Hyperplans Denition 31 {On appelle forme lineaire surEune application lineairef:E!K. L'ensemble des formes lineaires surEest noteEet est appele espace dual deE. Proposition 32 {SoitEde dimension nienetf2Eune forme lineaire non nulle. On a dimKerf=n1. Le noyau defest appele hyperplan deEdetermine par f.Demonstration :on adim(Imf)dimK= 1. Puisquef6= 0, on adimImf= 1et, d'apres le

theoreme du rang,dimKerf=n1.SoitEun espace vectoriel de dimensionnetfe1;:::;engune base deE. La matrice d'une

forme lineaire surEest representee par une matrice ligne :

M(f)ei;1= (a1;:::;an):

Soitx2E. Posonsx=x1e1++xnen, on a alorsf(x) =a1x1++anxn. L'hyperplan determine parfest donc l'ensemble des vecteursxdeEdont les composantes verient l'equation lineaire : a

1x1++anxn= 0.

L'espace des solutions d'un systeme d'equations lineaires peut donc ^etre vu comme une

intersection d'hyperplans.Proposition 33 {SoitHun sous-espace vectoriel deE. Les proprietes suivantes sont

equivalentes : i)Hest le noyau d'une forme lineaire non nulle;

ii)il existe une droiteDdeEtelle queE=HD.Demonstration :supposons(i)vraie et montrons(ii)est vraie. SoitH= Ker'ou'est une

forme lineaire non nulle. Il existe doncu2Etel que'(u)6= 0. PosonsD= Vectfug. On aH\D=f0gpar construction. Montrons queE=D+H. On aD+HE. Soitx2E. Determinons s'il existe2Ktel quexu2H. On aurait alors'(xu) = 0, c'est-a-dire ='(x)='(u)(rappelons que'(u)6= 0). On a alorsx= (xu) +uavecxu2Het u2D. Reciproquement, supposons(ii)vraie et montrons que(i)est vraie. On aE=DHouDest une droite vectorielle. Soitpla projection surDparallelement aH. Soituun vecteur directeur deD. On denit une application par ':"E!K x7!avecdenie parp(x) =u On verie que cette application est bien lineaire (par linearite de la projection). On a bien

H= Ker'ou'est une forme lineaire non nulle.Proposition 34 {Deux formes lineaires non nulles sont liees si et seulement si elles ont m^eme

noyau.Demonstration :soient'et deux formes lineaires non nulles. Si ='avec6= 0, alors il est evident queKer'= Ker . Reciproquement, supposons que Ker'= Ker . NotonsHcet hyperplan. Il existe une droiteDtelle queE=HD. Soituun vecteur directeur deDet= (u)='(u).

Six2D, alorsx=udonc (x) = (u) ='(u) ='(x).

Six2H, alors (x) = 0 ='(x):

CommeE=HD, on en deduit que'= .{ 8 {

RAPPELS SUR LES APPLICATIONS LIN

EAIRES7.2.Base duale

SoitEun espace vectoriel de dimension nie sur un corpsK.

Puisque dimL(E;K) = dimEdimK= dimE, on a la

Proposition 35 {SiEest de dimension nie, alors dimE= dimEet par consequentEet E sont isomorphes. Plus precisement, si l'on choisit une basefe1;:::;engdeE, on peut construire canoniquement une base deE. Theoreme 36 {SoitEde dimension nienetfe1;:::;engune base deE. Considerons les formes lineairesff1;:::;fngdenies parfi(ek) =ikou ik=(0 sii6=k

1 sii=k(ikest appele symbole de Kronecker):

Alorsff1;:::;fngest une base deEappelee base duale defe1;:::;eng.Demonstration :les applicationsfisont entierement denies puisque l'on conna^t l'image des

vecteurs d'une base deE. Pour montrer queff1;:::;fngest une base deE, il sut de montrer que c'est un systeme libre car on sait quedimE= dimE=n.

Soit(1;:::;n)2Kntel que1f1++nfn= 0.

On a donc, pour tout vecteurekde la base donnee deE:

1f1(ek) ++nfn(ek) = 0

c'est-a-direk= 0pour toutk2 f1;:::;ng. On a montre que la familleff1;:::;fngest libre.Notation :la base duale de la basefe1;:::;engest noteefe1;:::;eng.

Remarque -Six=nX

j=1x jej, alorsei(x) =nX j=1x jei(ej) =xi. Proposition 37 {Soientff1;:::;fpgun systeme de formes lineaires sur un espace vectorielE de dimension nie. Alorsdim p\ i=1Kerfi! = dimErangff1;:::;fpg: Demonstration :soientn= dimE,fe1;:::;engune base deEetfe1;:::;engla base duale associee. On peut ecrire f i=nX j=1a ijej: Soit("1;:::;"n)la base canonique deKp. Posonsu(x) =pX i=1f i(x)"iet calculonsu(ej). u(ej) =pX i=1f i(ej)"i=pX i=1a ij"i: DoncM(u)ei;"j=A= (aij)1ip;1jn. On a donc rangu=rangA. OrtAest la matrice dont les vecteurs colonnes sont les coordonnees desfidans la basefeig. On en deduit que rangu=rangff1;:::;fng D'apres le theoreme du rang, rangu= dimEdimKeru. On montre queKeru=\iKerfi, d'ou le resultat.{ 9 { Pr eparationa l'agregation interne UFR maths, Universite de Rennes I Proposition 38 {SoitEun espace vectoriel de dimension nie. Pour toute baseffigdeE,

il existe une unique base deEdont la base duale est la base desffigDemonstration :soit'l'application deEdansKnqui axassocie(f1(x);:::;fn(x)). On montre

que'est un isomorphisme (m^eme dimension d'espaces + injectivite en utilisant la proposition precedente), donc il existe une unique famillefeigdeEtelle que'(ei) = (1i;:::;ni). C'est

l'image d'une base par'1donc c'est une base deE. On a bienfj(ei) =jiCorollaire 39 {SoitEunK-espace vectoriel de dimension nien. On considerenvecteurs

e

1;:::;endeEetnformes lineaires'1;:::;'ndeE.

On suppose que

8(i;j)2 f1;:::;ng2; 'j(ei) =ij:

Alorsf'1;:::;'ngest une base deE,fe1;:::;engest une base deEet

f'1;:::;'ngest la base duale defe1;:::;eng.Demonstration :montrons que le systemef'1;:::;'ngest libre. Soient1;:::;nnscalaires

tels que nX j=1 j'j= 0. En appliquant cette egalite de fonctions aei, on obtient quei= 0. Or ceci est vrai pour touti2 f1;:::;ng, donc le systeme est libre. C'est un systeme libre den vecteurs d'un espace vectoriel de dimensionncardimE= dimE. On en deduit que c'est une base deE. De m^eme, montrons que le systemefe1;:::;engest libre. Soient1;:::;nnscalaires tels que nX i=1 iei= 0. On a alors'j(nX i=1 iei) =nX i=1 i'j(ei) =i= 0. Or ceci est vrai pour tout i2 f1;:::;ng, donc le systeme est libre. C'est un systeme libre denvecteurs de l'espace vectoriel Ede dimensionn. On en deduit que c'est une base deE.

Les egalites'j(ei) =ijmontrent quef'1;:::;'ngest la base duale defe1;:::;eng.Exemple -SoientE=Rn[X] eta0,a1;:::;ann+1 reels distincts deux a deux. On denit les

polyn^omesP0,P1;:::;Pnde Lagrange par

8i2 f0;:::;ng; Pi(X) =nY

j=0;j6=iquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34