Fonctions injectives, surjectives et bijectives
= +1 / 2 ⁵ 1 / 5 ³ + 3 ² − 1 Fonctions injectives, surjectives et bijectives Injection Définition Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l’image correspond au plus à un seul réel du
Injection, surjection, bijection
3 La fonction exp n’est pas surjective car jezj= ex > 0 et donc ez ne vaut jamais 0 La fonction exp n’est pas non plus injective car pour z2C, ez =ez+2ip Correction del’exercice7 N 1 Supposons g f injective, et montrons que f est injective : soient a; a02A avec f(a) = f(a0) donc g f(a)=g f(a0) or g f est injective donc a=a0 Conclusion
Fonctions : injectivité, surjectivité
(a)Qu’est-ce qu’une fonction injective? Surjective? (b)Donner un exemple de fonction f : R +R + qui soit injective mais pas surjective (c)Donner un exemple de fonction g : R R qui soit surjective mais pas injective 2 Les fonctions suivantes sont-elles des bijections? Si oui, donner leur inverse (a)La fonction : f : ˆ R [ 1;1] x 7
Injectivit e et surjectivit e pour des applications quelconques
Montrer que f est injective et que g l’est aussi si f est surjective 2 On suppose g f surjective Montrer que g est surjective et que f l’est aussi si g est injective D emonstration 1 (a) Premi ere m ethode: On suppose que g f est injective Montrons que f est injective (c’est a dire que 8x;x02E;(f(x) = f(x0) )x = x0) Soit x;x02E
EXERCICES D’APPLICATIONS IJECTIVES, SURJECTIVES,BIJECTIVES
1)-Montrer que si f et g sont toutes deux surjectives, alors gof l’est aussi 2)-Montrer que si f et g sont toutes deux injectives, alors gof l’est aussi Exercice 2 : Soit f : R R une application strictement injective, c’est a dire que x < y =)f(x) < f(y) 1)-Montrer que f est injective 2)-Donner un exemple d’une application
exercice injective surjective
La fonction f est injective de £ dans £ car " ˛ " ˛ = Þ =z z f z f z z z£ £¢ ¢ ¢( ) ( ) La fonction f est surjective de £ dans £ car " ˛ $ ˛ =z z z f z£ £1 1( ) Remarque : La fonction f est bijective de £ dans £ car " ˛ $ ˛ =z z z f z£ £1 1( ) ( ce qui est très facile à montrer ) 2 ) h €: £ ¡fi z h z za ( ) =
Applications injectives, surjectives et bijectives
Une fonction notée f d’un ensemble E vers un ensemble F permet d’associer à tout élément de E 0 ou 1 élément de F Lorsque l’on peut associer à un élément x de E un élément y de F par la fonction f, cet élément (unique) est appelé l’image de x par f On le note f x 2°) Exemple On considère la fonction f: x 1 x
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI INJECTIONS
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Définition (Famille) Soit I un ensemble On appelle famille (d’éléments) de E indexée par I toute application de I dans E Les familles, au lieu d’être notée comme des applications, sont presque toujours notées sous la forme (xi)i∈I
TD 7 Bijections et fonctions réciproques usuelles
1 Si g f est injective alors f est injective 2 Si g f est injective et f est surjective alors g est injective 3 Si g f est surjective alors g est surjective 4 Si g f est surjective et g est injective alors f est surjective 5 Donner un exemple où g f est bijective, mais f n’est pas surjective et g n’est pas injective
Ensembles et applications - wwwnormalesuporg
(a) Montrer que Aet Bsont en bijection si et seulement si CardA= CardB (b) Montrer qu'il existe une application injective de Avers Bsi et seulement si CardA CardB En déduire qu'il existe au moins deux Montréalais avec le même nombre de cheveux (c) Montrer qu'il existe une application surjective de Avers B si et seulement si CardA CardB
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