RECHERCHE DU FLOT MAXIMUM - orgfreecom
Algorithme de recherche d’une chaîne augmentante L’idée est la même que pour la recherche d’un chemin (cf méthode avec le graphe d’écart) On parcours le réseau jusqu’à visiter le noeud p Cependant, on utilisera un arc pour se déplacer: s’il est direct et qu’il n’a pas atteint son flot maximum,
TD d’algorithmique avanc ee Corrig e du TD 1 : recherche par rang
La recherche du maximum coute^ n 1 comparaisons La boucle qui recherche le deuxi eme plus grand el ement une fois que le maximum a et e trouv e e ectue n 2 comparaisons D’ou un cout^ total de 2n 3 comparaisons 3 R ecrivez votre algorithme de recherche du maximum sous la forme d’un tournoi (de tennis, de foot,
RECHERCHE D’EXTREMUM
1 RECHERCHE D’EXTREMUM A Définitions Soit D une partie de n Soit fD: oSoit n A 1) Extremum global ou absolu On dit que la fonction f admet un maximum absolu (ou global) en
TD: arbres binaires de recherche
recherche et Non sinon Exercice 5: Recherche d’un maximum ou d’un minimum: Dans la classe Noeud (v1) ou pour la classe Arbre (v2), ajouter une m ethode maximum() et minimum() qui retournera le maximum et le minimum de l’arbre binaire de recherche Figure 4: Arbre binaire de recherche 4
Recherche des extremums d’une fonction
344 32 RECHERCHE DES EXTRE EMUMS D’UNE FONCTION´ (3) La fonction de R dans R, x → E(x), poss`ede en x 0 = 1 2 un minimum et un maximum local non strict
RECHERCHE D’EXTREMUM
RECHERCHE D’EXTREMUM A Définitions Soit D une partie de n Soit fD: o Soit a n 1) Extremum global ou absolu On dit que la fonction f admet un maximum absolu (ou global) en a si dx D f x f a, On dit que la fonction admet un minimum absolu (ou global) en si tx D f x f a ,
Théoriedes Flots maximum graphes - NPA
Cette méthode trouve une application dans la recherche d’un couplage maximum dans un graphe non orienté biparti, ce qui fait l’objet de la section 26 3 La sec-tion 26 4 présente la méthode de préflot, qui est à la base de nombreux algorithmes parmi les plus rapides pour les problèmes de flot La section 26 5 présente l’algo-
pour un choix éclairé - Quebec
À la recherche d’un service de garde éducatif pour votre enfant 5 Introduction Au Québec, les parents disposent d’un réseau de prestataires de services de garde éducatifs à l’enfance régis totalisant au-delà de 290 000 places, dont plus de 231 000 sont subventionnées
UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PRÉSENTÉ À LUNIVERSJTÉ DU
INTERCONNEXION D'UN SYSTEME PHOTOVOLTAÏQUE SUR LE RESEAU Le système conçu consiste à tirer le maximum de puissance des panneaux solaires en de recherche
Etude des extrema d’une fonction
Le point est donc d´eg´en´er´e et comme le montrela figure, ce n’est ni un maximum, ni un minimum, ni un col En fait, dans le cas des points d´eg´en´er´es, on peut obtenir toute une vari´et´e de situations diff´erentes
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TD d'algorithmique avancee
Corrige du TD 1 : recherche par rang
Jean-Michel Dischler et Frederic Vivien
Recherche du maximum1.Concevez un algorithme de recherche du maximum dans un ensemble anelements (vous disposez en
tout et pour tout d'une fonction de comparaison).Maximum(A) max A[1] pouri 2anfaire simaxRecherche du deuxieme plus grand element
Nous supposerons ici que l'ensemble considere ne contient pas deux fois la m^eme valeur.1.Proposez un algorithme simple de recherche du deuxieme plus grand element.Deuxieme-Plus-Grand(A)
rangmax 1 pouri 2anfaire siA[rangmax]de petanque ou de tout autre sport). Il n'est pas necessaire de formaliser l'algorithme ici, une gure
explicative sera amplement susante.Les comparaisons sont organisees comme dans un tournoi :{Dans une premiere phase, les valeurs sont comparees par paires. Dans chaque paire, il y a bien s^ur
un plus grand element (le
Ce procede est illustre par la gure 1.31359
9 9 855
26894ABCDFig.1 { Methode du tournoi pour la determination
du maximum : A : les elements sont compares par paires; B : les plus grands elements de la phaseA sont compares entre eux, par paires; C : les
elementsraissent ici sur fond noir.4.Dans combien de comparaisons, le deuxieme plus grand element de l'ensemble a-t-il ete trouve ^etre le
plus petit des deux elements compares? Le deuxieme plus grand n'est plus petit que devant le plus grand element. Il n'a doncdans une comparaison, celle avec le plus grand element.5.Proposez un nouvel algorithme de recherche du deuxieme plus grand element.
Le deuxieme plus grand element est donc un des elements qui ont ete battus par le plus grand element.
L'algorithme a lieu en deux phases :(a)On recherche tout d'abord le plus grand element suivant la methode du tournoi.(b)On obtient le deuxieme plus grand element en recherchant l'element maximal parmi ceux qui ont
ete elimines du tournoi lors d'une comparaison avec l'element maximal. Voir la gure 2.6.Quelle est sa complexite en nombre de comparaisons? La recherche de l'element maximal co^uten1comparaisons, comme d'habitude. Ensuite la recherche du deuxieme plus grand element nous co^utem1comparaisons, oumest le nombre d'elements a qui l'element maximal a ete compare. Dans le pire cas1,mest egal a la hauteur de l'arbre moins 1 (un
arbre reduit a sa racine etant de hauteur un). Or un arbre binaire presque parfait anfeuilles est de hauteurdlog2ne. D'ou la complexite :T(n) =n+dlog2ne 2
Note : cet algorithme est optimal.
Recherche du maximum et du minimum
Nous supposerons ici que l'ensemble considere ne contient pas deux fois la m^eme valeur.1.Proposez un algorithme naf de recherche du maximum et du minimum d'un ensemble denelements.1Quandnn'est pas une puissance de deux, la complexite peut varier d'une comparaison suivant la place initiale dans l'arbre
du maximum.2Maximum-et-Minimum(A)
max A[1] pouri 2anfaire simaxL'algorithme se decompose en trois phases :(a)On compare par paire les elements de l'ensemble. On met d'un c^ote les plus grands elements (ici
dans les cases paires du tableau) | c'est-a-dire les elements qui sont sortiscomparaison | et de l'autre les plus petits (ici dans les cases impaires).(b)On recherche le minimum parmi tous les plus petits elements (si on a un nombre impair d'elements,
il ne faut pas oublier leneelement qui n'a ete compare avec personne dans la premiere phase).(c)On recherche le maximum parmi tous les plus grands elements.Maximum-et-Minimum(A)
Pouri 1an1faire par pas de2
siA[i]> A[i+ 1]alorsechangerA[i] etA[i+ 1] min A[1]Pouri 3anfaire par pas de2
siA[i]Regardons independamment le co^ut des trois phases :(a)On peut formern2paires, on eectue doncn2comparaisons.(b)Parminelements on an2elements de rangs impairs. Dans cette phase on eectue doncn21
comparaisons.(c)Ici aussi on eectue aussin21comparaisons.D'ou une complexite totale en :
T(n) =jn2k
+ 2ln2m 1 =n+ln2m25.Montrez que cet algorithme est optimal.
Indication: on appelleunite d'information:{l'information
d'information.(b)Combien d'unites d'information sont produites par la comparaison de deux elements (distinguez
des cas, suivant que l'on a ou non des unites d'informations sur ces valeurs).i.Si on n'a d'unites d'information pour aucun des deux elements, la comparaison nous fait
gagner deux unites d'information : le plus petit des deux ne peut pas ^etre le maximum, ni leplus grand le minimum.ii.Si on a la m^eme unite d'information pour les deux elements (par exemple, aucun des deux
ne peut ^etre le plus grand), la comparaison nous procure une unite d'information (dans notreexemple, le plus grand des deux ne peut pas ^etre le plus petit).iii.Si on a une unite d'information pour chacun des deux elements, mais des unites de type
dierent : si celui qui peut ^etre le minimum est plus grand que celui qui peut ^etre le maximum,on gagne deux unites d'information, et sinon zero.iv.Si on a une unite d'information pour un des elements (par exemple, ne peut pas ^etre le plus
petit) et zero pour l'autre, la comparaison peut nous donner une unite d'information (celui sans information est plus petit que l'autre dans notre exemple et il ne peut pas ^etre le maximum) ou deux (celui sans information est plus grand, ne peut donc plus ^etre le minimum, et l'autrene peut plus ^etre le maximum).v.Si on a deux unites d'information pour un des elements et zero pour l'autre, la comparaison
nous donne une unite d'information (par exemple, si l'element sans information est plus grand, il ne peut plus ^etre le minimum).(c)Concluez. Il nous faut donc2n2unites d'information pour pouvoir conclure. Les comparaisons de type