Chapitre 7 : Vecteurs
Chapitre 7 : Vecteurs I) Découvrir les vecteurs a) Translations et vecteurs Définition : M et M’ sont deux points distincts du plan La translation qui transforme M en M’ est la translation de vecteur ′ Le vecteur ′ a trois caractéristiques : Une direction, celle de la droite (MM’)
CHAPITRE 8 : VECTEURS ET DROITES 1 VECTEURS
CHAPITRE 8 : VECTEURS ET DROITES 1 1 VECTEURS 1 1 Éléments d’un vecteur Soit A et B deux points distincts du plan Le vecteur est le vecteur défini par : Sa direction : celle de la droite AB Son sens : de A vers B Sa norme (sa longueur) est │ │ a pour origine A et pour extrémité B 1 2 Coordonnées de vecteurs Soit A(x a , y a
Chapitre 1 Rappel sur les vecteurs - Université Laval
Chapitre 1 Rappel sur les vecteurs Dans ce bref chapitre nous voulons faire quelques rappels sur la notion de vecteur qui consti-tue la pierre angulaire de ce cours Cette notion peut-ˆetre introduite d’un point de vue purement alg´ebrique mais cette approche oblit`ere les aspects physiques et g´eom´etriques, ce qui est dommage
CHAPITRE 6 – Les vecteurs
Cours de Mathématiques – Classe de Seconde – Chapitre 6 – Les Vecteurs CHAPITRE 6 – Les vecteurs A/ Vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B On appelle vecteur AB "la flèche" allant de A à B Plus précisément, ce qui caractérisera ce vecteur, c'est sa longueur (la longueur AB), sa direction (la
Chapitre 4 Vecteurs
I EXERCICES CHAPITRE 4 VECTEURS 4 4 Produit d’un vecteur par un nombre r´eel, vecteurs colin´eaires Exercice 4 17 1 A partir du point A, tracer le vecteur 2` ~u (2~u “ ~u`~u) 2 Tracer chaque fois le vecteur indiqu´e `a partir du point indiqu´e a) le vecteur 3~v `a partir du point B; b) le vecteur ´2w~ `a partir du point C;
CHAPITRE 6 – Les vecteurs
En reportant le vecteur ⃗u à partir de O, on trouve un point M tel que ⃗OM=u⃗ Page 3/4 Cours de Mathématiques – Classe de Première S – Chapitre 2 : Vecteurs et Droites
Site Chapitre 1 Les vecteurs - Rosamaths
Seconde Chapitre 1 : Les vecteurs (1) Page 4 sur 6 4 III) Somme de vecteurs : 1) Somme vectorielle : Relation de Chasles : On définit la somme vectorielle AB BC+ comme étant le vecteur AC Remarque : Ce vecteur somme correspond à la translation « bilan » que l’on obtient en faisant successivement les translations de vecteurs AB
CHAPITRE 9 COURS TRANSLATIONS ET VECTEURS
Si A et B sont deux points distincts du plan, alors le vecteur # B A a la même direction et la même longueur que le vecteur # AB ,maisiln’apaslemêmesens OnditqueB A estlevecteur opposéau vecteur # AB , etonnoteB A =−AB A B A B Propriétés: Soient A, B,C etD quatrepointsduplan ÏSilesvecteurs # AB etCD sontégaux, alors ABDC est un
CHAPITRE 6 : VECTEURS GAUSSIENS
CHAPITRE 6 : VECTEURS GAUSSIENS I Variables Gaussiennes r´eelles et loi du χ2 Une variable al´eatoire r´eelle X suit la loi Gaussienne d’esp´erance m et de variance σ2, not´ee N(m,σ2),
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Cours de Mathématiques - Classe de Première S - Chapitre 2 : Vecteurs et Droites
Chapitre 2 - Vecteurs et Droites
A) Colinéarité de vecteurs
1) Définition
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'ils ont la même direction. Si⃗u=⃗ABet⃗v=⃗CD, cela veut dire que (AB) // (CD).Théorème :
⃗uet⃗vcolinéaires équivaut à "il existe un réel k non nul tel que⃗u=k⃗v"
On peut aussi écrire, en abrégé :
⃗uet⃗vcolinéaires <=> ∃k∈ℝ* | ⃗u=k⃗v($ signifie "il existe", Î veut dire "appartient à", R* signifie l'ensemble des réels sauf 0, et | veut dire
"tel que")Démonstration :
- Sens réciproque <= :Siu=kv, par définition du produit par un réel,uetvauront la même direction, donc
seront colinéaires. - Sens direct => : Siuetvsont colinéaires, soit A un point :On trace le vecteur
AB=uet le vecteurAC=v.uetvsont colinéaires, donc (AB) // (AC) or ces droites ont A en commun donc (AB) = (AC)
et A, B et C sont colinéaires sur la droite (AB).Premier cas :
B A C
A est entre B et C. Soitk=AB
ACOn aura
AB=-kAC, en effet : AB=ABAC×AC-
ABetACsont de sens opposés ABetACont même direction (AB). -(-k) est donc la solution.Deuxième cas :
A B C
On aura
AB=kAC, car AB=ABAC×AC-
ABetACont même sens et même direction : k est donc la solution.2) Parallélisme et colinéarité
Théorèmes
a)(AB) // (CD) <=> Il existe k réel non nul tel que ⃗AB=k⃗CDb)A, B et C alignés <=> Il existe k réel non nul tel que ⃗AB=k⃗ACPage 1/4 Cours de Mathématiques - Classe de Première S - Chapitre 2 : Vecteurs et DroitesDémonstration
a)(AB) // (CD) <=>ABetCDcolinéaires <=>AB=kCD b)A, B et C alignés <=> ABetACcolinéaires <=>AB=kAC3) Colinéarité et coordonnées
a) Théorème :Deux vecteurs non nuls⃗u(x;y) et⃗v(x';y')sont colinéaires si et seulement si x y' - x' y = 0.
Démonstration
uetvsont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k # 0 tel queu=kv, ce qui équivaut
à "x = k x' et y = k y'".
- Sens direct :Si x' = 0, on aura x = 0, d'où xy' - x'y = 0.
Sinon, on aura
k=x x'd'oùy=x x'y'donc yx' = xy' et xy' - x'y = 0. - Sens réciproque :Si x' = 0, on aura xy' = 0. Or
vétant non nul, y' ne peut être égal à zéro aussi. Donc on aura x = 0. Les deux vecteurs sont alors parallèles à l'axe des ordonnées, donc colinéaires.Sinon, on aura
x'y=xy' d'où y=x x'y'et comme on a bien évidemmentx=x x'x', on a bien u=kven posantk=x x', d'où la colinéarité !Remarque
Si aucune coordonnée n'est nulle, cela équivaut à dire qu'elles doivent être proportionnelles, soit
y' y=x' x. b) Exemple : Parmi les vecteurs suivants, trouver ceux qui sont colinéaires :u13;5 u26;9 u31;3 u41,5;2,5 u5-5;-15 u6-6;-104) Vecteur directeur d'une droite
a) DéfinitionOn dit qu'un vecteur
⃗unon nul est un vecteur directeur de la droite (d) s'il existe deux pointsA et B de (d) tels que
⃗AB=⃗u. b) PropriétésSoit A un point de (d) et
⃗uun vecteur directeur de (d). - Alors, la droite (d) est l'ensemble de tous les points M tels que ⃗AMet⃗usont colinéaires. - Dire que ⃗uest un vecteur directeur de (d) revient à dire que⃗ua pour direction (d).B) Équations cartésiennes d'une droite
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Cours de Mathématiques - Classe de Première S - Chapitre 2 : Vecteurs et Droites1) Définition
On appelle équation cartésienne d'une droite (d) toute équation du type ax + by + c = 0 quicaractérise les points de cette droite (dans l'équation, x et y représentent les coordonnées d'un
point quelconque de la droite, a b et c sont des constantes). On peut bien sûr multiplier a, b et c par un même nombre sans changer les solutions, ce qui implique qu'il y a plusieurs équations possibles pour une même droite.2) Justification
En effet soit⃗u(m;n)un vecteur directeur de cette droite, etA(x0 ;y0)un point de cette droite.Les points de (d) sont les pointsM(x;y)pour lesquels⃗AMetk⃗usont colinéaires, c'est à dire
pour lesquels (voir A3) : m(y-y0)-n(x-x0)=0<=>my-nx-my0+nx0=0On voit ici que a = - n et b = m.3) Propriétés
- Si une droite (d) a pour équation cartésienne ax + by + c = 0, elle admet pour vecteur directeur vecteur ⃗u(-b;a). Ceci découle directement de la remarque précédente. - Si b # 0, on peut écrire cette équation sous la formey=-a bx-c b Ceci nous ramène à la fonction affine vue au collège, avec le coefficient directeur-a bet l'ordonnée à l'origine -c b. - Un vecteur directeur peut s'écrire alors aussi⃗v(1 ;-a b), qui est bien colinéaire à ⃗u(-b;a).4) Droites parallèles et équation cartésienne
Deux droites d'équations a x + b y + c = 0 et a' x + b' y + c' = 0 sont parallèles si et seulement si
leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est à dire lorsque : a b' - a' b = 0.C) Décomposition d'un vecteur
1) Définition
Soient deux vecteurs
⃗vet⃗wnon colinéaires. On appelle décomposition du vecteur⃗uselon⃗vet⃗wle couple de nombres (a, b) tel que⃗u=a⃗v+b⃗w.2)Existence et unicité de la décomposition
Traçons le repère (O, I, J) tel que
⃗OI=⃗vet⃗OJ=⃗w. En reportant le vecteur⃗uà partir de O, on trouve un point M tel que ⃗OM=⃗u.Page 3/4
Cours de Mathématiques - Classe de Première S - Chapitre 2 : Vecteurs et DroitesLes coordonnées de M sont alors les a et b cherchés : il suffit de tracer les parallèles passant par M à
(OI) et à (OJ) pour les trouver, et elles sont uniques, comme toutes coordonnées de point.3) Exemple
Soit un triangle ABC, I le milieu de [BC] et G le centre de gravité de ABC. a) Prouver que⃗AI=⃗AB+⃗AC 2. b) Sachant que G est aux deux tiers de la diagonale, prouver que ⃗AG=⃗AB+⃗AC 3. c) Prouver que ⃗GI=⃗GB+⃗GC2.d) Prouver que
⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0.4) Exercice : caractérisation des vecteurs orthogonauxSoit deux vecteurs
⃗ABet⃗ACde directions perpendiculaires (on dit alors que ces vecteurs sont orthogonaux), de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y'). a) Exprimer le vecteur ⃗BCen fonction de⃗ABet de⃗AC. b) Calculer les coordonnées de ⃗BC. c) Calculer les carrés des longueurs AB, AC et BC. d) Écrire la relation de Pythagore dans le triangle ABC.e) En déduire la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux.