Reperage et configurations du plan - WordPresscom
2nde Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan 2012-2013 I Rappels I 1 Les triangles I 1 1 Droites remarquables dans un triangle Définition 1 La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui perpendi-
Chapitre 1 : Repérage et configurations du plan
Chapitre 1 : Repérage et configurations du plan I Repère orthonormé On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque : Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires, c’est à dire (OI) (OJ) Les unités de longueur sont les mêmes sur les deux axes c’est à dire OI = OJ
Repérage et configurations du plan - hmalherbefr
Seconde Repérage et configurations du plan 3 III Configurations du plan a) Triangles Les divers centres d’un triangle O centre du cercle circonscrit O est le point de concours des 3 médiatrices des côtés du triangle OA = OB = OC I centre du cercle inscrit I est le point de concours des 3 bissectrices des angles du triangle IP = IQ = IR
Chapitre 3: Configurations planes Repérage du plan I
Repérage du plan I) Configurations planes Cf Math'X p242-245 Exercices 22 p 253 : Utilisation de la trigonométrie de collège Exercice 23 p 254: Théorème de Pythagore et réciproque: intégré au DM des vacances Exercice 34 p 255 : Propriété parallélogramme + rectangle, symétrie centrale Exercice 35 p 255 : Modification d'un
CHAPITRE 10 Repérage Configurations du plan
CHAPITRE 10 Repérage Configurations du plan 1 Calculer une distance Rappel Pour calculer la distance entre deux points A et B situé sur une droite graduée, on
Exercice 2 (5 points) - hmalherbefr
Seconde 2 IE2 repérage et configurations du plan 2015-2016 Sujet 1 CORRECTION 3 Exercice 2 (5 points) DBG est un triangle équilatéral est le demi-cercle de centre A et de diamètre [BD]
NOM : Prénom : Exercice 1 C - hmalherbefr
Seconde 1 DS1 repérage et configurations du plan 2016-2017 S2 2 NOM : Prénom : Exercice 1: (4 points) On considère le point A(1; 3) et le cercle C de centre A et de rayon 2
Seconde 4 2017-2018 Sujet 1 DS1 repérage et configurations du
DS1 repérage et configurations du plan CORRECTION 4 Exercice 2: (4 points) Un observateur vise le sommet S d'un arbre et mesure l'angle CAS entre l'horizontale (AC) et la droite (AS) : il obtient v 1 = 20° Il avance ensuite d'une distance AB = 30 m et mesure l'angle CBS : il obtient v 2 = 35° On suppose que son œil se situe à 1,70 m du sol
Repérage et configurations géométriques dans le plan complexe
Repérage et configurations géométriques dans le plan complexe Dans un repère orthonormal (O; ⃗ ; ⃗ ), la ligne de niveau k d’une fonction f est l’ensemble des points d’affixe z tels que : f (z) = k Les principales lignes de niveau dans ℂ sont : La ligne de niveau k de la fonction z→ ℜe(z) est l’ensemble des points M du
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2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
Chapitre 1 - Repérage et configurations du planActivités d"approche
1. (a) Deux pointsAetBont pour abscisses7
3et 2 sur une droite graduée d"origineO. PlacerA
etB. Calculer la distanceAB. (b) Lire graphiquement : les coordonnées deC, l"ordonnée deD, l"abscisse deE. 0 11 C× D× E xy2. Calculer (sans calculatrice) :
(a) (6-3)2(b) 62-32(c)⎷32+ 42(d)2 +43
2(e)1 2-542(f) (3×⎷2)2
3. (a) Reconnaître ces configurations particulières. Donner les hypothèses et la (ou les) conclu-
sion(s) que l"on peut en tirer. (b) Quelle est la nature du triangleABC: i. siCappartient à la médiatrice de [AB]? ii. siAB= 12 cm,BC= 9 cm,AC= 15 cm? -1-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
I Rappels
I.1 Les triangles
I.1.1 Droites remarquables dans un triangle
Définition 1
Lamédiatriced"un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui perpendi- culaire à ce segment. A BPropriété
La médiatrice d"un segment est l"axe de symétrie de ce segment. La médiatrice du segment [AB] est l"ensemble des pointsMéquidistants deAet deB(c"est à dire tels queAM=BM).Les médiatrices des côtés d"un triangle sont concourantes en un pointOqui est lecentre du cercle
circonscrità ce triangle. A BC O -2-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
Définition 2
Labissectriced"un angle?BACest la demi-droite qui partage l"angle en deux angles adjacents de même mesure.Propriété
Tout point de la bissectrice de l"angle?BACest équidistant des côtés (AB) et (AC). B C A Les bissectrices des trois angles d"un triangle sont concourantes en un pointIqui est lecentre du cercle inscritdans le triangle. A BC IDéfinition 3
Dans un triangleABClamédianeissue du sommetAest la droite passant parAet par le milieuIdu côté opposé[BC].
A BC I -3-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
Définition 4
Lahauteurissue du sommetAdu triangleABCest la perpendiculaire à(BC)passant parA. A BC I.1.2 Proportionnalité dans le triangle. Théorème de ThalèsThéorème (de Thalès :-627 et-547)
O,A,Bsont trois points du plan non alignés,MetNappartiennent respectivement aux droites (OA) et (OB). - Si les droites (AB) et (MN) sont parallèles alorsOAOM=OBON=ABMN.
- Si OA OM=OBONet si les pointsO,A,MetO,B,Nsont alignés dans le même ordre alors les droites (AB) et (MN) sont parallèles. ?O?A? B M? N O?A? B M NThéorème (des milieux)
On se place dans un triangle quelconque.
- La droite passant par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté
- Si une droite passe par le milieu d"un premier côté et est parallèle au second côté alors elle passe
par le milieu du troisième côté. -4-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
?A?B? C? D? E on a :Dmilieu de [AB]Emilieu de [AC]
alors : (DE)?(BC) etDE=1 2BCI.1.3 Triangle rectangle
Définition 5
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.Théorème (de Pythagore :-580,-500)
Si le triangleABCest rectangle enAalorsBC2=AC2+AB2. ABC KPropriété
- Le centre du cercle circonscrit au triangleABCest le milieu de [BC] on a :BK=CK=AK - cos ?B=côté adjacent hypoténuse=ABBC - sin ?B=côté opposé hypoténuse=ACBC - tan ?B=côté opposé côté adjacent=ACAB -5-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
I.1.4 Triangle isocèle
Définition 6
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la mêmelongueur. B CA KPropriété
SiABCest un triangle isocèle enAalors :
- La médiane issue deAest aussi médiatrice de [BC], hauteur issue deA, bissectrice de?A. - Cette droite est un axe de symétrie du triangle donc ?B=?C.I.1.5 Triangle équilatéral
Définition 7
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtésde la même longueur. B C APropriété
SiABCest équilatéral alors :
- Les médianes sont aussi hauteurs, médiatrices, bissectrices des angles et axes de symétrie du triangle
ABC. ?A=?B=?C= 60°. -6-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
I.2 Le cercle
Définition 8
Le cercle de centreOet de rayonr(r >0) est l"ensemble des pointsMdu plan tels queOM=r.I.3 Le parallélogramme
Définition 9
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux. A B C DOPropriété
SiABCDest un parallélogramme alors :
- Les diagonales ont le même milieu. Ce milieu est le centre desymétrie du parallélogramme. -ABCDa ses côtés opposés de même longueur et ses angles opposé de même longueur.I.4 Rectangle, losange, carré
I.4.1 Rectangle
Définition 10
Un rectangle est quadrilatère qui a quatre angles droits. AB C DO -7-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
Propriété
SiABCDest un rectangle alors :
-ABCDest un parallélogramme (donc il en a toutes les propriétés). - Ses diagonales ont la même longueur.I.4.2 Losange
Définition 11
Un losange est un quadrilatère qui a ses côtés de la même longueur. C DB AOPropriété
SiABCDest un losange alors :
-ABCDest un parallélogramme. - Ses diagonales sont perpendiculaires.I.4.3 Carré
Définition 12
Un carré est un quadrilatère qui a ses côtés de la même longueur et quatre angles droits.
Propriété
Un carré est à la fois un rectangle et un losange (donc il a les mêmes propriétés). -8-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
II Coordonnées dans le plan
Définition 13
Définir unrepèredu plan, c"est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis :O,I,J.On note ce repère(O,I,J), et :
- le pointOestl"origine du repère; - la droite(OI)estl"axe des abscisseset le pointIdonne l"unité sur cet axe; - la droite(OJ)estl"axe des ordonnéeset le pointJdonne l"unité sur cet axe.Remarque
- L"axe des abscisses est souvent horizontal mais ce n"est pas une obligation.- Si le triangleOIJest rectangle enOalors le repère (O,I,J) est ditorthogonal. Les axes du repère
sont perpendiculaires.- Si le triangleOIJest rectangle et isocèle enOalors le repère (O,I,J) est ditorthonormé. Les
axes du repère sont perpendiculaires et l"unité est la même sur les deux axes.Définition 14
On considère un repère(O,I,J)du plan et un point quelconqueM. - En traçant la parallèle à la droite(OJ)passant parM, on obtient sur l"axe(OI)l"abscissexM du pointM.- En traçant la parallèle à la droite(OI)passant parM, on obtient sur l"axe(OJ)l"ordonnée
yMdu pointM.
- Le couple de réels(xM;yM)est le couple descoordonnéesdu pointMdans le repère(O,I,J). xMy M ?O? I? J ?M -9-2ndeChapitre 1 - Repérage et configurations du plan2012-2013
III Calcul de distances dans un repère orthonormé TD :On considère le plan muni d"un repère orthonormé (O,I,J).1. Placer les pointsA(2;5) etB(6;2).
2. Tracer la droite parallèle à (OJ) passant par le pointAet la droite parallèle à (OI) passant par
le pointB. Elles se coupent enC.3. Déterminer la longueurACet la longueurBC.
4. Déterminer la nature du triangleABC. En déduire la longueurAB.
Propriété
On considère dans le plan muni d"un repère orthonormé (O,I,J) les pointsA(xA;yA) etB(xB;yB).
La distance entre les pointsAetBest :
AB=? (xB-xA)2+ (yB-yA)2 l"unité de longueur étant l"unité commune aux deux axes.Remarque
Dans la formule ci-dessus (xB-xA)2peut être remplacé par (xA-xB)2, car les nombresxB-xAet x A-xBsont opposés et ont par conséquent le même carré. De même pourle terme eny.Démonstration :
On raisonne dans le casxA< xBetyA> yB.
On place le pointCayant même abscisse queAet même ordonnée queB. Les axes du repère étant
perpendiculaires, le triangleABCest rectangle enC. yA x AxB y B O? I? J ?A B? C D"après le théorème de Pythagore,AB2=AC2+BC2.