Résolution approchée d’équations
Résolution approchée d’équations f(x)=0 Considérons une fonction f :[a;b]→ Rcontinue et supposons que f s’annule en une seule et unique valeur α ∈]a;b[et change de signe On ne peut pas forcément calculer explicitement α et on doit parfois utiliser des méthodes de calcul approché pour avoir une bonne estimation de la valeur de α
Résolution approchée des équations
nombres algébriques2 par la résolution d’équations polynomiales simples, à coefficients dans Par exemple, en appliquant une méthode de résolution approchée aux équations x2 – 2 = 0 ou x3 – 2 = 0, on obtiendra une valeur approchée de 2 ou 32
Résolution approchée déquations
Résolution approchée d'équations 1 732050807 Ce phénomène est sans doute dû à l'architecture interne de la machine [2] Chose étrange : L'élève croyait que son ordinateur était plus précis que les autres, puisque plus de chiffres sont
Résolution approchée d’équations EX 1
Résolution approchée d’équations EX 1 1 Résoudrel’équationE(x) = 0;5 dansR 2 PourtoutkréeldiscuterdessolutionsdeE(x) = ksuivantlesvaleursdek
Résolution approchée déquations différentielles
Le schéma numérique de résolution approchée est donc le suivant,pouruncalculdex i,valeurapprochéedex(t i) : (x 0 donné x i+1 = x i +(t i+1 −t i)f(x i,t i) Remarque On voit pourquoi cette méthode porte le nom d’explicite: contrairement à la formulation générale de l’introduction, le secondmembreicinecomportepasde
Résoudre une (in)équation ou pas - Seconde
Équations-produits Résolution approchée d’(in)équations Équation et opérations Propriété no 1: Opérations sur les équations Les opérations suivantes ne changent pas l’ensemble des solutions d’une équation : additionner un même nombre aux deux membres d’une équation; multiplier par un même nombre non nul les deux membres
Alternative dispute resolution approaches and their
3 A third party, a neutral, can also act as an arbitrator, hear the parties’ arguments and reach a decision which can be binding, or non-binding according to the agreement made beforehand
CHAPTER 3: APPROACHES TO DISPUTE RESOLUTION
CHAPTER 3: APPROACHES TO DISPUTE RESOLUTION Before You Begin Most disputes can be resolved, and most disputes are worth resolving By working together to resolve disputes, everyone benefits from the results
Indigenous Approaches to Conflict Resolution in Africa: A
Indigenous Approaches to Conflict Resolution in Africa: A Study of the Barolong People of the North-West Province, South Africa 11 Journal of Law and Judicial System V1 I1 2018
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Résolution approchée d'équations
Résolution approchée
d'équations - Algorithmique et programmation - Programmation Python en SecondeDate de mise en ligne : vendredi 18 novembre 2011
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Résolution approchée d'équations
Les langages objets permettent la surcharge de méthodes, qui rend presque automatique lechangement de cadre numérique : Le même algorithme peut presque sans changement s'appliquer à
des réels, des fractions ou des décimaux ayant un grand nombre de chiffres. L'idée est que l'algorithme de Heron permet avec très peu de modifications • De calculer une dizaine de décimales d'une racine carrée ; • D'afficher les fractions obtenues plutôt que les valeurs approchées • De calculer quelques milliers de décimales en moins d'une secondeLe secret est que les réels, les fractions, et les décimaux sont des objets qu'on peut choisir à la carte.
Pour calculer algorithmiquement une racine carrée en Seconde, le programme recommande la méthode par
dichotomie. Mais celle-ci est complexe à mettre en oeuvre parce qu'elle fait intervenir un test dans une boucle à
condition de sortie (comme l'algorithme d'Euclide d'ailleurs). La méthode par balayage est plus simple, puisqu'il n'y a
pas de test dans la boucle. Cependant en Python, au moment de la sortie de la boucle, on a effectué un pas de trop,
et il faut revenir en arrière de ce pas, avant de passer à la décimale suivante [1]Le travail de préparation en amont du TP étant long, et les élèves ayant encore trop peu l'habitude de rédiger leurs
démonstrations, le moment était idéal pour un DM de narration de recherche, dont le sujet était
Calculer[\sqrt{3}] à 6 décimales, en n'utilisant que les 4 opérations et l'élévation à une puissance.
Ceci pour éviter de bloquer les élèves qui ne savent pas qu'un carré est un produit ; ceci dit c'est un peu dangereux
puisque si un élève fait print(3**(0.5)) il a respecté la consigne...Au final,
• Deux élèves (mais qui ne semblent pas avoir travaillé de façon indépendante) ont utilisé l'algorithme de
balayage• Sept élèves (soit un élève sur cinq) ont accéléré le balayage par une ébauche de dichotomie
• Deux élèves (dont l'une a copié sur l'autre) ont appliqué le même mélange de dichotomie et balayage, mais sur
la racine de la racine de troisVoici quelques extraits de leur travail :
narration de recherche compte-rendu en pdfCopyright © IREM de la RéunionPage 2/4
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Ainsi, la dichotomie a été abandonnée et le balayage, décrit avec tableur lors du corrigé de la narration de recherche,
est devenu le hors-d'oeuvre du TP, essentiellement consacré à Heron, et dont voici le sujet : le sujet du TP en pdfLe passage de ce TP a été un peu particulier pour un des deux groupes d'élèves, puisqu'ils ont passé le TP lors du
salon de l'éducation, dans une salle numérique qu'ils ne connaissaient pas au préalable. L'opération a été une bonne
publicité pour Python, au vu des réactions des spectateurs.Problèmes d'affichage
Sur l'un des ordinateurs Â" POP » (offerts par le Conseil Régional aux élèves de Seconde), l'affichage produit par
le premier programme ressemblait à ceci :1.0000000000000000
1.7000000000000006
1.7300000000000006
1.7320000000000004
1.7320000000000004
1.7320500000000008
1.7320500000000008
1.7320508000000012
1.7320508000000012
1.7320508070000018
Alors que sur les autres, l'affichage est correctement arrondi : 1 1.7 1.73 1.732 1.7321.73205
1.73205
1.7320508
1.7320508
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Résolution approchée d'équations
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Ce phénomène est sans doute dû à l'architecture interne de la machine [2].Chose étrange : L'élève croyait que son ordinateur était plus précis que les autres, puisque plus de chiffres sont
affichés [3].Beaucoup d'élèves ont le réflexe d'ajouter des espaces avant les parenthèses, comme dans range (10) au lieu de
range(10) ; ils ne semblent pas conscients du fait que range et print sont des fonctions et n'ont donc pas tendance à
les noter ainsi. Mais Python est (pour une fois) assez permissif sur ce point.Deux élèves ont trouvé que les 10 décimales sont atteintes au bout de[\sqrt{3}] itérations !
La plupart des élèves interprêtent le tableau de variation comme si la fonction était croissante (ou alors, ils
connaissent mal le sens de l'expression Â" par défaut »). De façon générale, la notion de variations n'est visiblement
pas encore acquise à ce stade de l'année. Il faut dire que le cours sur les fonctions Â" carré » et Â" inverse » n'a
pas encore été fait. Et l'idée que deux nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés n'est visiblement
pas naturelle du tout.La moyenne obtenue à ce TP a été 12,2 ; les questions auxquelles les élèves ayant le plus rarement répondu étant
celles sur les valeurs approchées par défaut et par excès. Ceci dit, le calcul de la moyenne de deux fractions (même
lorsqu'elles sont décimales) n'est pas toujours maîtrisé par les élèves.[1] Pour les nostalgiques du langage Pascal, il faut une boucle repeat ... until au lieu d'une while ... do. Python et Algobox ne possèdent pas une
telle boucle, mais la calculatrice graphique, si (ainsi que JavaScript d'ailleurs...)[2] À l'attention de " AAA » : Une fois de plus, je n'ai pas eu le temps de photographier l'écran de l'ordinateur en question, on peut à nouveau me
soupçonner d'avoir imaginé de toutes mains cette erreur ; sauf qu'elle n'est pas dûe à l'élève...
[3] Pour beaucoup d'élèves de Seconde, tous les nombres sont décimaux, et les chiffres invisibles sont inexistants.