Note sur la résolution de l’équation de degré 3
2 La résolution de l’équation de degré 3 La résolution de l’équation de degré 3 proposée pour la première fois par Tartaglia et Cardan repose sur deux astuces successives On part pour le moment d’une équation du troisième degré du type : x3 +ax2 + bx +g = 0 (1) 2 1 Réduction au cas simplifié
Résolution des équations algébriques de degré 3 et 4
exemples Prenons d’abord une équation de degré 1, par exemple 3x+2=0 La solution est alors x=−2/3 Pour la résoudre nous n’avons pas eu besoin d’autre chose que les quatre opérations de base : +,−,× et ÷ Si nous essayons de faire la même chose pour l’équation x2+2x−1=0 de degré 2, nous n’y arriverons pas
L’équation du troisième degré - Lycée dAdultes
L’équation du troisième degré Question: Comment trouver une solution à une équation de troisième degré 1 Mise en forme Soit une équation du troisième degré : (E) : ax3 +bx2 +cx +d = 0 avec a ,0 •Comme a est non nul, on divise par a : (E) : x3 + b a x2 + c a x + d a = 0 On pose alors : b′ = b a, c′ = c a, d′ = d a,
RÉSOLUTION DÉQUATIONS ET DINÉQUATIONS - Université de Lille
inférieur ou égal à 4, il est théoriquement possible de donner une solution à l'aide de radicaux Au delà de 5, c'est exceptionnel Polynôme de degré inférieur ou égal à 3 La commande solve(Xp=0,x) où Xp est une expression polynômiale de degré inférieur ou égal à 3 de la variable x renvoie les racines réelles et complexes
Équations du troisième degré - DES DEVOIRS CORRIGES DE
Équations du troisième degré L’objet de cet article est d’exposer deux méthodes pour trouver des solutions à une équation du troisième degré : la recherche de racines évidentes d’une part, et la formule de Cardan d’autre part La première méthode est accessible en 1re S, la deuxième concerne davantage la Terminale S 1
Introduction à la résolution d’équations
la résolution d’une équation du premier degré Dire : « on peut ajouter un même nombre à chaque membre d’une égalité » correspond bien à une règle opératoire Dire : « on passe de l’autre côté en changeant de signe » ou « on change de membre, on change de signe », est source d’erreurs ( devient ou
Résolution d’équations et d’inéquations
I 1 Équations du premier degré Propriété : Si l’on ajoute ou que l’on soustrait un même nombre à chaque membre d’une équation, on obtient une équation équivalente (c’est à dire qui a les mêmes solutions) x+4=7 x+4−4=7−4 x=3 NB : On peut voir les deux membres d’une équation comme les deux plateaux d’une
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques III Forme factorisée d’une fonction polynôme de degré 3 Exemple : La fonction f définie par (#)=5(#−4)(#−1)(#+3) est une fonction polynôme de degré 3 sous sa forme factorisée Si on développe l’expression de f à l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient
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L"équation du troisième degré
Question: Comment trouver une solution à une équation de troisième degré1 Mise en forme
Soit une équation du troisième degré : (E) :ax3+bx2+cx+d=0 aveca?0 •Commeaest non nul, on divise para: (E) :x3+bax2+cax+da=0On pose alors :b?=b
a,c?=ca,d?=da, l'équation devient alors : (E) :x3+b?x2+c?x+d?=0 •On fait un changement de variable pour éliminer le coefficient devantx2. On pose :X=x+b?
3?x=X-b?3
On remplace alors dans l'équation (E)
X-b? 3? 3 +b??X-b?3?
2 +c??X-b?3?
+d?=0 X3-b?X2+b?2
3X-b?327+b?X2-2b?3X+b?39+c?X-b?c?3+d?=0
X3+?b?2
3-2b?23+c??
X-b?327+b?39-b?c?3+d?=0
X 3+? -b?2 3+c??X+2b?327-b?c?3+d?=0
On pose alors :p=-b?2
3+c?etq=2b?327-b?c?3+d?
On obtient alors : (E') :X3+pX+q=0
On appelleéquation réduitedu 3edegré, l'équation du type :x3+px+q=02 L'équation du 3
edegré a au moins une solution On pose la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=x3+px+q •On calcule les limites en+∞et-∞ lim x→+∞f(x)=limx→+∞x3= +∞et limx→-∞f(x)=limx→-∞x3=-∞ •La fonctionfest continue surR(car c'est un polynôme) et 0?f(R)=R, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution à l'équation f(x)=0 paul milan1 TerminaleSPour en savoir plus
3 La formule de Cardan
Au XVIesiècle, des algébristes italiens ont découvert une méthodepour calculer une racine d'un polynôme du 3 edegré donné sous la forme réduite :x3+px+q •Pour tous réeluetvon a : (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 =3uv(u+v)+(u3+v3) (R) (u+v)3-3uv(u+v)-(u3+v3)=0•L'observation de cette relation (R), semblable à la forme réduite conduit à poser comme
changement de variablex=u+v En identifiant cette relation (R) avec (u+v)3+p(u+v)+q=0 permet de poser : p=-3uvetq=-(u3+v3) Pour des raisons d'homogénéité, on préfère poser : u3v3=-p3
27et (u3+v3)=-q
Enfin pour simplifier les calculs on pose :a=u3etb=v3, on a alors : ab=-p327eta+b=-q
•On est revenu à un problème où l'on connaît la sommeS=a+bet le produitP=ab. On sait queaetbsont alors solution de l'équation du second degré :X2-SX+POn calcule de discriminant :Δ =S2-4P=q2+4p3
27=4p3+27q227
•Si 4p3+27q2?0, on obtient alors les solutions : a=S-⎷2=-q-?
q2+4p3272etb=S+⎷
2=-q+?
q2+4p327 2 Commeaetbsont les cubes respectifs deuetvet commex=u+v, on obtient alors : x=3? -q2-12?q2+4p327+3?-q2+12?q2+4p327En rentrant le
12dans la racine, on obtient alors :
x=3? -q2-? ?q 2?2+?p3?
3+3?-q2+?
?q 2?2+?p3?
3 •Exemple : résoudrex3+3x+2=0 On a alors :p=3 etq=2 la formule de Cardan donne : x=3? -1-⎷1+1+3?-1+⎷1+1=3?-1-⎷2+3?-1+⎷2? -0,596071... paul milan2 TerminaleSPour en savoir plus
4 L'astuce de Bombelli
Nous avons vu dans la partie B que toute équation du troisièmedegré admet au moins une solution. Comment faire pour trouver cette solution quand4p3+27q2<0
Bombelli est parti d'une équation où il connaissait une solution évidente.Soitx3-15x-4=0
•x=4 est solution de cette équation en effet : 43-15×4-4=0 •4p3+27q2=4×(-15)3+27×(-4)2=-13 068<0 En appliquant malgré tout la formule de Cardan, on obtient : x=3?2-⎷4-125+3?2+⎷4-125
3?2-⎷-121+3?2+⎷-121
3?2-11⎷-1+3?2+11⎷-1
Bombelli ne se décourage pas et décide provisoirement pour les calculs de poser : -12=-1. Il obtient alors après des calculs sur les cubes : x=2-⎷ -1+2+⎷-1=4 •En application de la formule de Cardan, on peut toujours essayer de résoudre : x3-14x-12=0
Pour la petite histoire cette équation figurait parmi les questions auxquelles Einstein a répondu à l'occasion de l'épreuve d'algèbre de son baccalauréat en 1896!Biographie
On ne sait pratiquement rien de la vie de Bombelli, sinon qu'ilest né à Bologne en 1526. Il fut le premier des grands mathématiciens italiens du XVI esiècle à apporter une impor- tante contribution à l'étude des équations algébriques du 3 eet du 4edegré. Peu de temps avant sa mort, il publie un ouvrage,Algebra, parte maggiore dell'aritmetica, divisa in tre libri(Bologne, 1572), qui contient un exposé systématique des récentes découvertesen algèbre. Dans la préface du livre, il trace l'histoire de l'algèbre, parlant de Diophante,
encore inconnu en Europe. Il traite de la théorie des équations dont il étudie les racines, réelles et complexes, et montre que, dans le cas d'une équation cubique irréductible, les trois racines sont réelles. La définition qu'il donne des nombres négatifs et des nombres complexes et les règles de calcul qu'il utilise sont d'une forme très voisine de celle qu'on leur donne à notre époque. Il faut remarquer aussi que Bombelli, dans cet ouvrage, utilise une notation symbolique, premier essai de syntaxe algébrique moderne; il désigne uneinconnue par le symbole