Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech
Algorithme de remontée Méthodes Méthodes (suite) Ce qu’il reste à faire Triangularisation Forme matricielle de la triangularisation Conditions Recherche de pivots maximaux Conditionnement Principe général des algorithmes - p 7/51 Les matrices triangulaires Pour certaines matrices, il est simple de calculer une solution
Résolution de systèmes linéaires
A la fin du chapitre, l’étudiant doit être capable de: 1 Faire la distinction entre méthode directe et itérative 2 Faire la distinction entre problème mal posé (pas de solution) et méthode peu robuste aux erreurs de troncature (solution imprécise) 3 Décrire l’algorithme de Gauss pour la résolution des systèmes linéaires 4
Système linéaire d’équations : méthode du pivot de Gauss
La deuxième étape de résolution du système correspond à la phase de remontée du système triangulaire : on résout les équations de bas en haut à partir de l’avant-dernière ligne, en substituant aux inconnues les valeurs obtenues dans les lignes inférieures 2 2 Vocabulaire et généralités On considère le système linéaire (S) :
Thème 5: Systèmes d’équations
Exercice 5 8: Une papeterie vend deux sortes de blocs-notes aux librairies des collèges, la première sorte au prix de gros de 1 et la seconde sorte à 1,40 La papeterie reçoit une commande de 500 blocs-notes, accompagnée d’un chèque de 572 Si la commande ne précise pas le nombre de blocs-notes de chaque sorte, comment la
Problèmes de mise en système d’équations linéaires
Pour aller de A vers B, un coureur cycliste met 1 h 30 mn; pour aller de B vers A, il met 1h 50 mn Sachant que sa vitesse moyenne horaire en montée est de 15 km/h et sa vitesse moyen-ne horaire en descente est de 45 km/h, déterminer les distance x et y Exercice 13 : Les deux tours
La résolution de problème aux cycles 2 et 3
peut se faire à partir d'un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation graphique) puis à partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs supports en 6e La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s'enrichit au cours du cycle
Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de
-une séance longue de découverte (30-45 min): échauffement (ex: furet), entraînement (ex: les doubles), recherche (ex: les presque doubles) -Des séances courtes: entraînement et appropriation puis fluence III Resolution de problemes et modelisation Dans les BO, triple objectif autour des problèmes: -Apprendre à résoudre des problèmes,
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SecondeSProblèmes de mise en système
d"équations linéairesExercice 1 :
Pêcheurs
Trois amis pêcheurs achètent des poches d"hameçons et des bouchons. Les poches sont toutes au même prix, les bouchons aussi. Le premier prend 3 poches et 2 bouchons. Le second, 2 poches et 4 bouchons. Le troisième, 4 poches et 1 bouchon. Le premier a dépensé 4,60e, le second 6e. Combien a dépensé le troisième?Exercice 2 :
Nombres
La somme de deux nombresxetyest 133.
Si on les augmente chacun de 5, leur rapport est47Quels sont ces nombres?
Exercice 3 :
Triangle
Le triangleABCci-contre est isocèle.
La droited, bissectrice de l"angleˆC
coupe [AB] enDetAD=DC.Trouvez les mesuresxetyen degrés des
anglesˆAetˆB.Exercice 4 :
Nombres
La somme de deux nombresxetyest 206. Si l"on divise le plus grandxpar le plus petity, le quotient est 4 et le reste est 1. Quels sont ces nombres?Exercice 5 :
Rapport de deux nombresxy
(avecy,0) est le rapport de deux nombres. Si on augmente le nombrexde 2, le rapport devient 3. Si on diminue le nombrexde 2, le rapport devient 4.Quels sont ces nombres?paul milan1/618 mai 2011
exercicesSecondeSExercice 6 :Diérence de carrés
La somme de deux nombresxetyest 29. La diérence de leurs carrés est 145. Quels sont ces nombres?Exercice 7 :
Systèmes se ramenant à un système linéaire 1) La diérencededeuxnombresxetyest6etleurproduit216.Quelssontcesnombres? 2) T rouverles dimensions d"un terrain rectangulaire de périmètre 44 m et d"aire 120 m 2. 3) T rouverles dimension d"un triangle rectangle d"h ypoténuse13 cm et d"aire 30 cm 2.Exercice 8 :
Tapis roulant
Dans une station de métro, les usagers ont à leur dispoition un tapis roulant de 300 m de long. Un piéton marchant à vitesse constante fait l"aller-retour. À l"aller, il met 1 minute et30 secondes. Au retour, à contresens, il met 4 minutes et 30 secondes.
Déterminez la vitesse du piéton et celle du tapis roulant.Exercice 9 :
Y-a-t-il des perroquets intelligents?
Un marchant de glaces, heureux propriétaire d"un perroquet, vend des glaces à la vanille au prix unitaire de 0,50eet des glaces au chocolat 0,75e. 1) À la fin de la journée, s"adressant à son v olatile,il a rme : "Si j"avais vendu les glaces à la vanille 0,75eet les glaces au chocolat 0,50e, j"aurai fait la même recette : 108,25e." "Impossible!" lui répond le perroquet.Qu"en pensez-vous?
2) Le lendemain, n"ayant pas changé ses prix, pour vérifier les connaissances de son compagnon à plumes, il arme, à la fin de la journée : "La recette du jour est de 71,25e. Si j"avais vendu les glaces à la vanille 0,75eet les glaces au chocolat 0,50e, j"aurai fait la même recette qu"hier!" "Impossible!" lui répond le perroquet.Qu"en pensez-vous?paul milan2/618 mai 2011
exercicesSecondeSAutres problèmesExercice 10 :
La balance
Trouver la masse de chaque objet (boule, cylindre et cône) sachant que dans chaque cas la balance est en équilibre.Exercice 11 :Voyage
Le responsable d"un groupe d"adultes et d"enfants désire organiser un voyage et de- mande les tarifs à deux compagnies de transport A et B qui proposent les conditions suivantes :Prix adultePrix enfantsPrix totalCompagnie A280 euros200 euros13 360 euros
Compagnie B320 euros160 euros14 720 euros
Déterminer le nombre d"adultes et d"enfants qui participent au voyage.Exercice 12 :
Col Pour aller de la ville A à la ville B, on doit gravir un col dont le sommet S est situé à xkm de A etykm de B.paul milan3/618 mai 2011exercicesSecondeSPour aller de A vers B, un coureur cycliste met 1 h 30 mn; pour aller de B vers A, il
met 1h 50 mn. Sachant que sa vitesse moyenne horaire en montée est de 15 km/h et sa vitesse moyen- ne horaire en descente est de 45 km/h, déterminer les distancexety.Exercice 13 :
Les deux tours
Léonard de Pise, connu sous le nom de Fibonacci (XII esiècle), raconte : " Deux tours élevées l"une de 30 pas et l"autre de 40 pas sont distantes de 50 pas. Entre les deux se trouve une fontaine F vers laquelle deux oiseaux descendant des sommets des deux tours se dirigent du même vol et parviennent dans le même temps. » Quelles sont les distances horizontales du centre de la fontaine aux deux tours? Sousquel angle voit-on de la fontaine F chacune des deux tours?AIDE : L"expression du même vol signifie que les deux oiseaux volent à la même
vitesse et en ligne droite.paul milan4/618 mai 2011 exercicesSecondeSRéponses