Chapitre 7 : Résolution par substitution d’un système linéaire
Principe de la méthode de résolution par substitution On suppose dans un premier temps que ( ; ) est une solution - A pati d’une des é uations (celles ue l’on veut), on expime une inconnue (celle ue l’on veut) en fonction de l’aute
2 Automath : Systèmes linéaires, méthode par substitution
2 Automath - Système par substitution docxF de Verclos – Lycée Saint-Marc (Lyon) Le 28/10/2020 3 / 8 Pour se corriger Correction « Répondre aux questions » Question 1 On remplace x par 4,5 et y par 0 dans le premier membre : 2x 3y 2 4,5 3 0 9
Résolution de systèmes linéaires
4 Justifier et décrire l’algorithme de Cholesky pour la résolution des systèmes SDP 5 Donner l’ordre de grandeur du nombre d’opérations nécessaire à la résolution d’un système de grande taille, à l’inversion d’une matrice de grande taille 6 Décrire les algorithmes de Jacobi et de Gauss-Seidel 7 Faire un choix éclairé
RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES
et U de sorte que les deux équations sont satisfaites simultanément Exemple T L1, U L2 est une solution du système d'équations linéaires \ 2 E 3 L 8 3 F1 L1 En effet, lorsque les variables T et U sont substituées par 1 et 2 respectivement, les deux équations sont satisfaites, c'est‐à‐dire 21 E 32
Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes d’équations linéaires
Méthode de Cramer Si A x = b est un système de n équations avec n inconnues tel que det (A) ≠ 0 alors le système a une solution unique qui est x A A x A A x A n A n 1 1 2 = = 2 = det( ) det( ), det( ) det( ), , det( ) det( ) K avec A j la matrice obtenue en remplaçant la j ème colonne de A par le vecteur b Ordre de la méthode: O(n
Équations de droite Système d’équations
2 4Résolution par substitution Soit le système suivant : (3x 7y = 1 5x +2y = 29 La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l’autre et « substituer » cette inconnue par cette expression dans la seconde équation On isole, par exemple x dans la première équation, cela donne : 3x = 1 +7y x = 1 +7x 3
Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues
1 Présentation de la problématique 2 Résolution par la méthode de combinaison linéaire (Elimination ) 3 Résolution par la méthode de substitution 4 Résolution graphique 5 Diverses présentations de systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues 6 Mise en équation de problème Exercices divers
SYSTEMES D’EQUATIONS ET DROITES
A noter : Ici, la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en isolant une inconnue, on ramène les équations à des coefficients rationnels Ce qui compliquerait considérablement les calculs On multiplie la première équation par 5 et la deuxième équation par 3 dans le but
Utiliser l’inverse d’une matrice pour résoudre un système d
Utiliser l’inverse d’une matrice pour résoudre un système d’équations & courbes polynomiales Exercice 1 :Dansuneferme,ilyadeslapinsetdespoules Ondénombre58têteset160pattes
[PDF] Résolution de systèmes
[PDF] Resolution de systemes lineaires a deux inconnues
[PDF] Résolution de systèmes paramétriques URGENT! SVP
[PDF] résolution de triangle en topographie
[PDF] resolution definition
[PDF] résolution définition juridique
[PDF] Résolution des équations
[PDF] Résolution des équations ci dessous
[PDF] résolution des équations de la physique mathématique
[PDF] Résolution des Equations Différentielles
[PDF] résolution des inéquations
[PDF] resolution des nations unies sur israel
[PDF] résolution des systèmes d équations linéaires
[PDF] résolution du conseil de sécurité force obligatoire
1 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frSYSTÈMES D'ÉQUATIONS ET DROITES
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/sWaHnxqUve0Exemple d'introduction :
Soit deux équations à deux inconnues et :2-=0 et 3-4=-5.
Elles forment ce qu'on appelle un système de deux équations à deux inconnues.Et on note : *
2-=0
3-4=-5
Un couple de nombres qui vérifie les deux équations est appelé solution du système.Ici, le coupe (1 ; 2) est solution. En effet :
2×1-2=0
3×1-4×2=-5
Dans ce chapitre, on verra deux méthodes permettant de résoudre de tels systèmes.Partie 1 : Méthode de substitution
Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode de substitutionVidéo https://youtu.be/24VsDZK6bN0
Vidéo https://youtu.be/tzOCBkFZgUI
Résoudre le système d'équations par la méthode de substitution :*3+2=0
-4=14Correction :
3+2=0
-4=143+2=0
=14+4On isole facilement l'inconnue dans la 2
eéquation.
314+4
+2=0 =14+4On remplace par 14+4 dans la 1
reéquation (substitution).
42+12+2=0
=14+4On résout la 1
reéquation pour trouver y.
2 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr14=-42
=14+4 2 4214 =-3 =14+4 =-3 =14+4×(-3)
On remplace par -3 dans la 2
eéquation.
=-3 =2 La solution du système est le couple (2;-3) et on note : ={(2;-3)} Partie 2 : Méthode des combinaisons linéairesMéthode : Résoudre un système d'équations par la méthode des combinaisons linéaires
Vidéo https://youtu.be/Zw-qI9DFv54
Vidéo https://youtu.be/UPIz65G4f48
Vidéo https://youtu.be/V3yn_oEdgxc
Résoudre les systèmes d'équations par la méthode des combinaisons linéaires : a) *3-2=11
6+3=15
b) *3-2=7
5+3=-1
Correction
Remarque : Ici, la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en
isolant une inconnue, on ferait apparaitre des fractions. Ce qui complique les calculs. a) *3-2=11
6+3=15
3-2=11
6+3=15
6-4=22
6+3=15
... pour obtenir le même coefficient devant une des inconnues.× On multiplie la 1
reéquation par 2...
3 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr6-4=22
6+3=15
6-6-4-3=22-15
-4-3=22-15 -7=7 7 -7 =-1 3-2=11On remplace par -1 dans une des deux équations (au choix).3-2×(-1)=11
3+2=11 On résout l'équation pour trouver .
3=11-2
3=9
=3 La solution du système est le couple (3;-1) et on note : ={(3;-1)} b) *3-2=7
5+3=-1
3-2=7×5
5+3=-1×3
15-10=35
15+9=-3
... pour obtenir le même coefficient devant une des inconnues.15-10=35
15+9=-3
15-15-10-9=35+3
-10-9=35+3 -19=38 38-19 =-2
3-2=7 On remplace par -2 dans une des deux équations (au choix).
3-2×
-2 =73+4=7
3=7-4
3=3
=1 La solution du système est le couple (1;-2) et on note : ={(1;-2)} On soustrait les deux équations pour éliminer .On multiplie la 1
reéquation par 5,
et la 2 eéquation par 3...
On soustraie les deux équations pour éliminer .4 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Résolutions graphiques
1) Système admettant une unique solution
Méthode : Résoudre graphiquement un système d'équationsVidéo https://youtu.be/-LV_5rkW0RY
On considère le système d'équations : *
-2+=04-=4
Déterminer graphiquement le couple solution.
Correction
Le système équivaut à : *
=2 -=-4+4 =2 =4-4 =2 et =4-4 sont les équations de deux droites qu'on représente dans un repère. La solution du système est donc le couple (;) coordonnées du point d'intersection des deux droites. Par lecture graphique, on trouve le couple (2;4) comme solution du système.On note : ={(2;4)}
2) Système n'admettant pas de solution
Méthode : Démontrer qu'un système ne possède pas de solutionVidéo https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk
On considère le système d'équations : *
-3+=16-2=6
Démontrer que ce système n'admet pas de solution.Correction
Le système équivaut à : *
=3+1 -2=-6+60 1 1 =2 =4-4 2 4
5 sur 5
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2 =3+1 -6 -2 6 -2 =3+1 =3-3 Les droites d'équations =3+1 et =3-3 possèdent des coefficients directeurs égaux, elles sont donc parallèles, et même strictement parallèles. Elles n'ont pas de point d'intersection, donc le système n'a pas de solution.On note : =∅
3) Système admettant une infinité de solutions
Méthode : Démontrer qu'un système admet une infinité de solutionsVidéo https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk
Soit le système d'équations : *
-6-3=-62+=2
Démontrer que ce système admet une infinité de solutions.Correction
Le système équivaut à : *
-3=6-6 =-2+2 2 6 -3 6 -3 =-2+2 =-2+2 =-2+2 Les deux droites ont la même équation =-2+2, elles sont donc confondues et possèdent une infinité de points d'intersection. Le système admet donc une infinité de solutions : tous les couples (;) vérifiant =-2+2.Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales 0 1 1 =3+1 =3-3 0 1 1 =-2+2 2 =-2+2
quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49