[PDF] SYSTEMES D’EQUATIONS ET DROITES



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Chapitre 7 : Résolution par substitution d’un système linéaire

Principe de la méthode de résolution par substitution On suppose dans un premier temps que ( ; ) est une solution - A pati d’une des é uations (celles ue l’on veut), on expime une inconnue (celle ue l’on veut) en fonction de l’aute



2 Automath : Systèmes linéaires, méthode par substitution

2 Automath - Système par substitution docxF de Verclos – Lycée Saint-Marc (Lyon) Le 28/10/2020 3 / 8 Pour se corriger Correction « Répondre aux questions » Question 1 On remplace x par 4,5 et y par 0 dans le premier membre : 2x 3y 2 4,5 3 0 9



Résolution de systèmes linéaires

4 Justifier et décrire l’algorithme de Cholesky pour la résolution des systèmes SDP 5 Donner l’ordre de grandeur du nombre d’opérations nécessaire à la résolution d’un système de grande taille, à l’inversion d’une matrice de grande taille 6 Décrire les algorithmes de Jacobi et de Gauss-Seidel 7 Faire un choix éclairé



RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

et U de sorte que les deux équations sont satisfaites simultanément Exemple T L1, U L2 est une solution du système d'équations linéaires \ 2 E 3 L 8 3 F1 L1 En effet, lorsque les variables T et U sont substituées par 1 et 2 respectivement, les deux équations sont satisfaites, c'est‐à‐dire 21 E 32



Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes d’équations linéaires

Méthode de Cramer Si A x = b est un système de n équations avec n inconnues tel que det (A) ≠ 0 alors le système a une solution unique qui est x A A x A A x A n A n 1 1 2 = = 2 = det( ) det( ), det( ) det( ), , det( ) det( ) K avec A j la matrice obtenue en remplaçant la j ème colonne de A par le vecteur b Ordre de la méthode: O(n



Équations de droite Système d’équations

2 4Résolution par substitution Soit le système suivant : (3x 7y = 1 5x +2y = 29 La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l’autre et « substituer » cette inconnue par cette expression dans la seconde équation On isole, par exemple x dans la première équation, cela donne : 3x = 1 +7y x = 1 +7x 3



Systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues

1 Présentation de la problématique 2 Résolution par la méthode de combinaison linéaire (Elimination ) 3 Résolution par la méthode de substitution 4 Résolution graphique 5 Diverses présentations de systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues 6 Mise en équation de problème Exercices divers



SYSTEMES D’EQUATIONS ET DROITES

A noter : Ici, la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en isolant une inconnue, on ramène les équations à des coefficients rationnels Ce qui compliquerait considérablement les calculs On multiplie la première équation par 5 et la deuxième équation par 3 dans le but



Utiliser l’inverse d’une matrice pour résoudre un système d

Utiliser l’inverse d’une matrice pour résoudre un système d’équations & courbes polynomiales Exercice 1 :Dansuneferme,ilyadeslapinsetdespoules Ondénombre58têteset160pattes

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SYSTÈMES D'ÉQUATIONS ET DROITES

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/sWaHnxqUve0

Exemple d'introduction :

Soit deux équations à deux inconnues et :

2-=0 et 3-4=-5.

Elles forment ce qu'on appelle un système de deux équations à deux inconnues.

Et on note : *

2-=0

3-4=-5

Un couple de nombres qui vérifie les deux équations est appelé solution du système.

Ici, le coupe (1 ; 2) est solution. En effet :

2×1-2=0

3×1-4×2=-5

Dans ce chapitre, on verra deux méthodes permettant de résoudre de tels systèmes.

Partie 1 : Méthode de substitution

Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution

Vidéo https://youtu.be/24VsDZK6bN0

Vidéo https://youtu.be/tzOCBkFZgUI

Résoudre le système d'équations par la méthode de substitution :*

3+2=0

-4=14

Correction :

3+2=0

-4=14

3+2=0

=14+4

On isole facilement l'inconnue dans la 2

e

équation.

3

14+4

+2=0 =14+4

On remplace par 14+4 dans la 1

re

équation (substitution).

42+12+2=0

=14+4

On résout la 1

re

équation pour trouver y.

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14=-42

=14+4 2 42
14 =-3 =14+4 =-3 =14+4×(-3)

On remplace par -3 dans la 2

e

équation.

=-3 =2 La solution du système est le couple (2;-3) et on note : ={(2;-3)} Partie 2 : Méthode des combinaisons linéaires

Méthode : Résoudre un système d'équations par la méthode des combinaisons linéaires

Vidéo https://youtu.be/Zw-qI9DFv54

Vidéo https://youtu.be/UPIz65G4f48

Vidéo https://youtu.be/V3yn_oEdgxc

Résoudre les systèmes d'équations par la méthode des combinaisons linéaires : a) *

3-2=11

6+3=15

b) *

3-2=7

5+3=-1

Correction

Remarque : Ici, la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en

isolant une inconnue, on ferait apparaitre des fractions. Ce qui complique les calculs. a) *

3-2=11

6+3=15

3-2=11

6+3=15

6-4=22

6+3=15

... pour obtenir le même coefficient devant une des inconnues.

× On multiplie la 1

re

équation par 2...

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6-4=22

6+3=15

6-6-4-3=22-15

-4-3=22-15 -7=7 7 -7 =-1 3-2=11On remplace par -1 dans une des deux équations (au choix).

3-2×(-1)=11

3+2=11 On résout l'équation pour trouver .

3=11-2

3=9

=3 La solution du système est le couple (3;-1) et on note : ={(3;-1)} b) *

3-2=7

5+3=-1

3-2=7×5

5+3=-1×3

15-10=35

15+9=-3

... pour obtenir le même coefficient devant une des inconnues.

15-10=35

15+9=-3

15-15-10-9=35+3

-10-9=35+3 -19=38 38
-19 =-2

3-2=7 On remplace par -2 dans une des deux équations (au choix).

3-2×

-2 =7

3+4=7

3=7-4

3=3

=1 La solution du système est le couple (1;-2) et on note : ={(1;-2)} On soustrait les deux équations pour éliminer .

On multiplie la 1

re

équation par 5,

et la 2 e

équation par 3...

On soustraie les deux équations pour éliminer .

4 sur 5

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Partie 3 : Résolutions graphiques

1) Système admettant une unique solution

Méthode : Résoudre graphiquement un système d'équations

Vidéo https://youtu.be/-LV_5rkW0RY

On considère le système d'équations : *

-2+=0

4-=4

Déterminer graphiquement le couple solution.

Correction

Le système équivaut à : *

=2 -=-4+4 =2 =4-4 =2 et =4-4 sont les équations de deux droites qu'on représente dans un repère. La solution du système est donc le couple (;) coordonnées du point d'intersection des deux droites. Par lecture graphique, on trouve le couple (2;4) comme solution du système.

On note : ={(2;4)}

2) Système n'admettant pas de solution

Méthode : Démontrer qu'un système ne possède pas de solution

Vidéo https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk

On considère le système d'équations : *

-3+=1

6-2=6

Démontrer que ce système n'admet pas de solution.

Correction

Le système équivaut à : *

=3+1 -2=-6+6

0 1 1 =2 =4-4 2 4

5 sur 5

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2 =3+1 -6 -2 6 -2 =3+1 =3-3 Les droites d'équations =3+1 et =3-3 possèdent des coefficients directeurs égaux, elles sont donc parallèles, et même strictement parallèles. Elles n'ont pas de point d'intersection, donc le système n'a pas de solution.

On note : =∅

3) Système admettant une infinité de solutions

Méthode : Démontrer qu'un système admet une infinité de solutions

Vidéo https://youtu.be/IYzK0zVr-Lk

Soit le système d'équations : *

-6-3=-6

2+=2

Démontrer que ce système admet une infinité de solutions.

Correction

Le système équivaut à : *

-3=6-6 =-2+2 2 6 -3 6 -3 =-2+2 =-2+2 =-2+2 Les deux droites ont la même équation =-2+2, elles sont donc confondues et possèdent une infinité de points d'intersection. Le système admet donc une infinité de solutions : tous les couples (;) vérifiant =-2+2.

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