Calcul d’aire et intégrale

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Intégrale et aire

Primitives d"une fonction continue

Intégrale d"une fonction continue

Propriétés de l"intégrale

Intégrale et moyenne

?Calcul d"aire et intégrale?

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Année 2016/2017

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1Intégrale et aire

Unité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative

2Primitives d"une fonction continue

Définition

Ensemble des primitives d"une fonction

Primitive vérifiant une condition

Calcul de primitives

3Intégrale d"une fonction continue

Définition

Premières propriétés

4Propriétés de l"intégrale

Positivité et linéarité

Relation de Chasles

Ordre

5Intégrale et moyenne

Inégalités de la moyenne

Valeur moyenne

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Propriétés de l"intégrale

Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative

I) Intégrale et aire

a) Unité d"aire

Soit (O;I,J) un repère orthogonal du plan.

L"unité d"aire, notée u.a, est l"aire du rectangle unitaire OIJK avec I(0;1), J(0;1) et

K(1;1).

01 0 1 0xy I J K u.a.

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Propriétés de l"intégrale

Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative b) Intégrale d"une fonction continue et positive

Définition

Soitfune fonction définie, continue et positive sur un intervalle [a;b] etCfsa courbe représentative

dans le plan muni d"un repère orthogonal (O;I,J).

L"intégrale defentreaetbest l"aire, exprimée en unités d"aire, du domaineDfcompris entre la courbe

C f, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=b

Ce nombre est noté :?

b a f(x)dx 0xy 1 1ab

Cf1 u.a

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative

Remarques

?b a f(x)dxse lit " intégrale deaàbdef(x)dx» ou encore " somme deaàbdef(x)dx». Les réelsaetbsont appelés lesbornes de l"intégrale ?b a f(x)dx. La variablexest dite "muette», elle n"intervient pas dans le résultat. C"est à dire qu"on peut la remplacer par n"importe quelle autre variable distincte des lettresaetb:? b a f(x)dx=? b a f(t)dt=? b a f(u)du ?a a f(x)dx=0, car le domaineDfest alors réduit à un segment.

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative

Exemple 1

On considère la fonctionf:x?→-0,4x+3,6 dont la courbe représentative est donnée ci-dessous : 1234

1 2 3 4-1Oxy

A BCD Cf

Calculons?

4 -1(-0,4x+3,6)dx.

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative La fonctionfest une fonction affine, elle est continue et positive sur l"intervalle [-1;4]

L"intégrale?

4 -1(-0,4x+3,6)dxest égale à l"aire du trapèzeABCD. 4 -1(-0,4x+3,6)dx=(AD+BC)×AB 2 (4+2)×5 2 =15 1234

1 2 3 4-1Oxy

A BCD Cf

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative

Exemple 2

Soitfla fonction définie pour tout réelxparf(x)=6x2-4x+7dont la courbeCfest représentée ci-dessous. Déterminer un encadrement de l"intégrale 3 -1f(x)dx. 12

1 2 3-1Oxy

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Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative

Exemple 2

1 2 3-1Oxy

Cf Sur l"intervalle [-1;3], la fonctionfest continue et positive. L"intégrale? 3 -1f(x)dxest égale à l"aire, en

unités d"aire, du domaineDfcompris entre la courbeCf, l"axe des abscisses et les droites d"équations

x=-1 etx=3. On peut déterminer un encadrement de l"intégrale? 3 -1f(x)dxà l"aide du quadrillage.

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Intégrale d"une fonction continue et négative

Exemple 2

1 2 3-1Oxy

D"où l"encadrement

75
16?? 3 -1f(x)dx?6

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Intégrale et moyenneUnité d"aireIntégrale d"une fonction continue et positive Intégrale d"une fonction continue et négative c) Intégrale d"une fonction continue et négative

Sifest une fonction continue et négative sur un intervalle [a;b] alors, la fonctiongdéfinie sur

l"intervalle [a;b] parg=-fest une fonction continue et positive sur cet intervalle.

Par symétrie par rapport à l"axe des abscisses, l"aire du domaineDfcompris entre la courbeCf, l"axe

des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=best égale à l"aire du domaineDgcompris entre la

courbeCg, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=b. 0xy I J Kab Cf Cg 1 u.a

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Intégrale et moyenneUnité d"aireIntégrale d"une fonction continue et positive Intégrale d"une fonction continue et négative c) Intégrale d"une fonction continue et négative

Définition

Soitfune fonction définie, continue et négative sur un intervalle [a;b] etCfsa courbe représentative dans le plan muni d"un repère orthogonal?

O,-→ı,-→??

L"intégrale de la fonctionfentreaetbest égale à l"opposé de l"aireA, exprimée en unités d"aire, du domaineDfcompris entre la courbeCf, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=b: b a f(x)dx=-Aquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

[PDF] Calcul d’aire et intégrale

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1Intégrale et aire

Unité d"aire

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2Primitives d"une fonction continue

Définition

Ensemble des primitives d"une fonction

Primitive vérifiant une condition

Calcul de primitives

3Intégrale d"une fonction continue

Définition

Premières propriétés

4Propriétés de l"intégrale

Positivité et linéarité

Relation de Chasles

5Intégrale et moyenne

Inégalités de la moyenne

Valeur moyenne

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

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I) Intégrale et aire

Soit (O;I,J) un repère orthogonal du plan.

K(1;1).

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

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Définition

Ce nombre est noté :?

Cf1 u.a

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Remarques

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Intégrale et moyenneUnité d"aire

Intégrale d"une fonction continue et positive

Exemple 1

1 2 3 4-1Oxy

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L"intégrale?

1 2 3 4-1Oxy

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