[PDF] Programmation Lin aire Cours 1 : programmes lin aires, mod



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Programmation Lin aire Cours 1 : programmes lin aires, mod

Exemples Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Forme normale d’un programme lin´eaire Tout programme lin´eaire peut s’´ecrire sous forme normale max P n i=1 c ix i sous les contraintes P n i=1 a ijx i ≤b j,(j= 1, ,m) x i ≥0,x i ∈R,(i= 1, ,n) Si on a une variable x i ∈R, on



Programmation Linéaire - École nationale supérieure d

•Définition d’un programme linéaire •Résolution graphique •Algorithme du simplexe •Méthode des tableaux •Méthode des 2 phases •Utilisation du « solveur » Excel •Conclusion •Annexes 2



Programmation linéaire

2 CHAPITRE 1 INTRODUCTION 1 2 Un exemple résolu par voie graphique Problème: La direction d’une usine de meubles a constaté qu’il y a des temps morts dans chacun des départements de l’usine



Chapitre I : Programmation linéaire

déterminer un plan de production de chaises et de tables optimal Pour ce faire, une modélisation sous forme dun programme linéaire simpose b) Modélisation La construction d¶un modèle est, en général, une opération en trois étapes : 1- Le choix des variables de décision 2- Lexpression de l¶objectif en fonction de ces variables



De lintérêt du théorème de la forme globale en programmation

2 3 Résolution graphique La méthode de résolution graphIque est une mélhode qui s'applique aux programmes linéaires comportant deux ou trois vaoables pour en fournir le (ou les) soJulion(s) optimale(s) si ellc(s) exi,tetnt), Le processus de rés o luuon graphique d'un rogramme linéaire à deux variables peut se résumer 8 lnsi :



Programmation lin eaire et Optimisation

Un probl eme d’optimisation lin eaire en dimension sup erieure Dans ce chapitre, nous allons d ecrire un probl eme de transport optimal assimilable a un probl eme d’optimisation lin eaire en dimension 6 De ce fait, il ne sera plus possible de le r esoudre au moyen de la m ethode graphique du chapitre pr ec edent



Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech

On ne change pas la solution d’un système linéaire lorsque : on permute deux lignes, on permute deux colonnes, on multiplie une ligne par un réel non nul, on ajoute une ligne à une autre Nous allons donc utiliser ces transformations pour se ramener à un cas simple



Recherche op erationnelle - Université du Littoral Côte dOpale

Beaucoup d’autres probl`emes de recherche op´erationnelle peuvent ˆetre exprim´es comme des probl`emes d’optimisation lin´eaire En optimisation, qui est une branche des math´ematiques, un probl`eme d’optimisation lin´eaire est un probl`eme d’optimisation dans lequel on minimise une fonction lin´eaire sur un poly`edre convexe



LAIRET CONSEIL DADMINISTRATIONCONSEIL DADMINISTRATION

cette activité Il s’agit d’une facture au montant de 67,72 $ à l’ordre du Lydie Colaye, graphiste RÉSOLUTION 10RÉSOLUTION 10- ---CACCAACA- ---15115515 concernant concernant le paiement pour les frais le paiement pour les fraisle paiement pour les frais d'adaptation graphique de la d'adaptation graphique de la

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ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Programmation Lin´eaire

Cours 1 : programmes lin´eaires, mod´elisation et r´esolution graphique

F. Clautiaux

francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr

Universit´e Bordeaux 1

Bˆat A33

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Motivation et objectif du cours

Introduction `a la programmation lin´eaire

Un outil qui permet de :

•mod´eliser •r´esoudre toute une classe de probl`emes d"optimisation.

Existence de solveurs efficace pour la PL

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Ouvrages de r´ef´erence

V. Chv´atal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983. •R. J. Vanderbei - Linear Programming, Foundations and Extensions,

Springer-Verlag, 2008.

•C. Gu´eret, C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire :65 probl`emes d"optimisation mod´elis´es et r´esolus avec Visual Xpress,

Eyrolles, 2000.

•C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire avec Excel : 55 probl`emes d"optimisation mod´elis´es pas `a pas et r´esolus avec Excel,

Eyrolles, 2011.

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Sommaire

Introduction par l"exemple

Exemple 1 : Production

Exemple 2 : Transport

Exemple 3 : Planification

Programme lin´eaire

R´esolution graphique

Points extrˆemes

Forme standard, bases

Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Probl`eme de production

Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions suivantes de mati`eres premi`eres. AB

Fraise21

Lait12

Sucre01

On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4eet 5e.

Le fabricant cherche `a maximiser son profit.

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Seules valeurs non constantes : les quantit´es de yaourtsAetB produites •On parle devariables •On les noteraxAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Le profitz •Calcul´e `a partir dexAetxB •On parle defonction objectif •z= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? •Premi`ere contrainte : 800 Kg de fraises disponibles •la quantit´e utilis´ee d´epend de la production : 2xA+xB ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Sur quelles quantit´es peut-on travailler?

•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x x

A,xB≥0

positivit´e! ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mon premier programme lin´eaire

max4xA+ 5xB x x x

A,xB≥0

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Probl`eme de transport

Approvisionner au moindre coˆut les clients `a partir des usines.

Usines (i?I)BordeauxBiarritzToulouse

Productions (pi)251520

Clients (j?J)PauBayonneBordeauxLibourne

Demandes (dj)2012914

Prix/unit´e (ci,j)PauBayonneBordeauxLibourne

Bordeaux261904

Biarritz1222024

Toulouse19302428

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :

Minimiser?

i?I? j?Jci,jxi,j ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :

Minimiser?

i?I? j?Jci,jxi,j •Contraintes :? i?Ixi,j=dj,?j?J(Demandes `a satisfaire) x i,j≥0,?i?I,j?J ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Probl`eme de planification

Planifier la production d"articles `a moindre coˆut pour les 4 prochains mois. Production maximale normale : 1200 articles / mois Production maximale en heure sup : 400 articles / mois

Surcoˆut heures sup : 7 euros / article

Stockage : 3 euros / article / mois

mois 1mois 2mois 3mois 4

Demandes900110017001300

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Mod´elisation

Variables :

x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 •Objectif :

Minimiser 7?t=4

t=1yt+ 3?t=3 t=1st •Contraintes : x

1+y1= 900+s1

s

1+x2+y2= 1100+s2

s

2+x3+y3= 1700+s3

s

3+x4+y4= 1300

s t≥0,t= 1, ...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Sommaire

Introduction par l"exemple

Programme lin´eaire

R´esolution graphique

Points extrˆemes

Forme standard, bases

Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R`egles de r´e´ecriture (1)

Toute contrainte d"´egalit´e peut s"´ecrire comme deux in´egalit´es : n i=1a ixi=b≡? n i=1a ixi≥b≡n? Tout probl`eme de minimisation peut s"´ecrire comme un probl`eme de maximisation : max n? i=1c ixi≡minn? i=1-cixi ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Ecriture g´en´erale d"un programmation lin´eaire On peut ´ecrire ainsi un programme lin´eaire avecnvariables x

1,...,xnetmcontraintes.

max ?ni=1cixi x i?R,(i= 1,...,n) •Lin´earit´e :Objectif et contraintes sont des fonctions lin´eaires des variables de d´ecision (les coefficientscietaijdes variables sont constants) •Continuit´e :Les variables peuvent prendre n"importe quelle valeur r´eelle respectant les contraintes linaires ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (1) min?ni=1xixi x i?R,(i= 1,...,n) min ?ni=1xi x i?

N,(i= 1,...,n)

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (2) min?ni=1cixi x i?

R∩[l1,u1]∩[l2,u2],(i= 1,...,n)

min ?ni=1cixi x 1=x2 oux1=x3 x i?R,(i= 1,...,n) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Forme normale d"un programme lin´eaire

Tout programme lin´eaire peut s"´ecrire sousforme normale. max ?ni=1cixi x i≥0,xi?R,(i= 1,...,n)

Si on a une variablexi?R, on introduitx+

i≥0 etx- i≥0 et on posexi=x+ i+x- i. ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Sommaire

Introduction par l"exemple

Programme lin´eaire

R´esolution graphique

Repr´esentation graphique d"un PL

R´esolution graphique

Points extrˆemes

Forme standard, bases

Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R´esolution graphique

On dispose d"un outil (la PL) pour mod´eliser des probl`emes •Comment r´esoudre les probl`emes `a l"aide de la PL? •Plusieurs algorithmes existent, dont le simplexe (prochain cours)

•Pour des probl`emes avec deux variables, on peut r´esoudregraphiquement (aide `a comprendre la structure du probl`eme)

ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Repr´esentation graphique

max 4xA+ 5xB x x x

A,xB≥0

x xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Repr´esentation graphique

max 4xA+ 5xB x x x

A,xB≥0

xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Repr´esentation graphique

max 4xA+ 5xB x x x xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Repr´esentation graphique

max 4xA+ 5xB x x x

A,xB≥0

xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Terminologie

Solution :

affectation de valeurs aux variables

•Solution r´ealisable :solution r´ealisable si les valeurssatisfont l"ensemble descontraintes

•R´egion r´ealisable :ensemble des solutionsr´ealisables. xAx B x x= (80,150) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Terminologie

Solution :

affectation de valeurs aux variables

•Solution r´ealisable :solution r´ealisable si les valeurssatisfont l"ensemble descontraintes

•R´egion r´ealisable :ensemble des solutionsr´ealisables. xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R´esolution graphique

Max 4xA+ 5xB

x x x

A,xB≥0

xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R´esolution graphique

Max 4xA+ 5xB

x x x

A,xB≥0

x

4xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900

4xA+ 5xB= 0x

Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R´esolution graphique

Max 4xA+ 5xB

x x x

A,xB≥0

x

4xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900

4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 1000xAx

B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R´esolution graphique

Max 4xA+ 5xB

x x x

A,xB≥0

x

4xA+ 5xB= 2900

4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 2200

x Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

R´esolution graphique

Max 4xA+ 5xB

x x x

A,xB≥0

x

4xA+ 5xB= 04xA+ 5xB= 10004xA+ 5xB= 22004xA+ 5xB= 2900

x Ax B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Existence d"une solution (optimale)

Quatre possibilit´es

minx+ 2y x+y≥3 x,y≥0

Une solution optimale unique.

?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Existence d"une solution (optimale)

Quatre possibilit´es

maxx+ 2y x+y≥3 x,y≥0

Solution non born´ee.

?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Existence d"une solution (optimale)

Quatre possibilit´es

maxx+ 2y x+y≥3 x,y≥0

Pas de solution.

?x ?y ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan

Existence d"une solution (optimale)

Quatre possibilit´es

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