Programmation Lin aire Cours 1 : programmes lin aires, mod
Exemples Programme lin´eaire R´esolution graphique Points extrˆemes Forme standard, bases Bilan Forme normale d’un programme lin´eaire Tout programme lin´eaire peut s’´ecrire sous forme normale max P n i=1 c ix i sous les contraintes P n i=1 a ijx i ≤b j,(j= 1, ,m) x i ≥0,x i ∈R,(i= 1, ,n) Si on a une variable x i ∈R, on
Programmation Linéaire - École nationale supérieure d
•Définition d’un programme linéaire •Résolution graphique •Algorithme du simplexe •Méthode des tableaux •Méthode des 2 phases •Utilisation du « solveur » Excel •Conclusion •Annexes 2
Programmation linéaire
2 CHAPITRE 1 INTRODUCTION 1 2 Un exemple résolu par voie graphique Problème: La direction d’une usine de meubles a constaté qu’il y a des temps morts dans chacun des départements de l’usine
Chapitre I : Programmation linéaire
déterminer un plan de production de chaises et de tables optimal Pour ce faire, une modélisation sous forme dun programme linéaire simpose b) Modélisation La construction d¶un modèle est, en général, une opération en trois étapes : 1- Le choix des variables de décision 2- Lexpression de l¶objectif en fonction de ces variables
De lintérêt du théorème de la forme globale en programmation
2 3 Résolution graphique La méthode de résolution graphIque est une mélhode qui s'applique aux programmes linéaires comportant deux ou trois vaoables pour en fournir le (ou les) soJulion(s) optimale(s) si ellc(s) exi,tetnt), Le processus de rés o luuon graphique d'un rogramme linéaire à deux variables peut se résumer 8 lnsi :
Programmation lin eaire et Optimisation
Un probl eme d’optimisation lin eaire en dimension sup erieure Dans ce chapitre, nous allons d ecrire un probl eme de transport optimal assimilable a un probl eme d’optimisation lin eaire en dimension 6 De ce fait, il ne sera plus possible de le r esoudre au moyen de la m ethode graphique du chapitre pr ec edent
Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech
On ne change pas la solution d’un système linéaire lorsque : on permute deux lignes, on permute deux colonnes, on multiplie une ligne par un réel non nul, on ajoute une ligne à une autre Nous allons donc utiliser ces transformations pour se ramener à un cas simple
Recherche op erationnelle - Université du Littoral Côte dOpale
Beaucoup d’autres probl`emes de recherche op´erationnelle peuvent ˆetre exprim´es comme des probl`emes d’optimisation lin´eaire En optimisation, qui est une branche des math´ematiques, un probl`eme d’optimisation lin´eaire est un probl`eme d’optimisation dans lequel on minimise une fonction lin´eaire sur un poly`edre convexe
LAIRET CONSEIL DADMINISTRATIONCONSEIL DADMINISTRATION
cette activité Il s’agit d’une facture au montant de 67,72 $ à l’ordre du Lydie Colaye, graphiste RÉSOLUTION 10RÉSOLUTION 10- ---CACCAACA- ---15115515 concernant concernant le paiement pour les frais le paiement pour les fraisle paiement pour les frais d'adaptation graphique de la d'adaptation graphique de la
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ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan
Programmation Lin´eaire
Cours 1 : programmes lin´eaires, mod´elisation et r´esolution graphiqueF. Clautiaux
francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.frUniversit´e Bordeaux 1
Bˆat A33
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMotivation et objectif du cours
Introduction `a la programmation lin´eaire
Un outil qui permet de :
•mod´eliser •r´esoudre toute une classe de probl`emes d"optimisation.Existence de solveurs efficace pour la PL
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanOuvrages de r´ef´erence
V. Chv´atal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983. •R. J. Vanderbei - Linear Programming, Foundations and Extensions,Springer-Verlag, 2008.
•C. Gu´eret, C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire :65 probl`emes d"optimisation mod´elis´es et r´esolus avec Visual Xpress,Eyrolles, 2000.
•C. Prins et M. Sevaux - Programmation lin´eaire avec Excel : 55 probl`emes d"optimisation mod´elis´es pas `a pas et r´esolus avec Excel,Eyrolles, 2011.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Exemple 1 : Production
Exemple 2 : Transport
Exemple 3 : Planification
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de production
Un fabricant produit 2 types de yaourts `a la fraise A et B `a partir de Fraise, de Lait et de Sucre. Chaque yaourt doit respecter les proportions suivantes de mati`eres premi`eres. ABFraise21
Lait12
Sucre01
On dispose de 800 Kg de Fraises, 700 Kg de Lait et 300 Kg de sucre. La vente de 1 Kg de yaourts A et B rapporte respectivement 4eet 5e.Le fabricant cherche `a maximiser son profit.
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Seules valeurs non constantes : les quantit´es de yaourtsAetB produites •On parle devariables •On les noteraxAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •Le profitz •Calcul´e `a partir dexAetxB •On parle defonction objectif •z= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? •Premi`ere contrainte : 800 Kg de fraises disponibles •la quantit´e utilis´ee d´epend de la production : 2xA+xB ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Sur quelles quantit´es peut-on travailler?
•Variables :xAetxB •Que cherche-t-on `a optimiser? •maxz= 4xA+ 5xB •Quelles sont les contraintes du probl`eme? x x xA,xB≥0
positivit´e! ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMon premier programme lin´eaire
max4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de transport
Approvisionner au moindre coˆut les clients `a partir des usines.Usines (i?I)BordeauxBiarritzToulouse
Productions (pi)251520
Clients (j?J)PauBayonneBordeauxLibourne
Demandes (dj)2012914
Prix/unit´e (ci,j)PauBayonneBordeauxLibourne
Bordeaux261904
Biarritz1222024
Toulouse19302428
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x i,j: quantit´e transport´ee dei`aj •Objectif :Minimiser?
i?I? j?Jci,jxi,j •Contraintes :? i?Ixi,j=dj,?j?J(Demandes `a satisfaire) x i,j≥0,?i?I,j?J ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanProbl`eme de planification
Planifier la production d"articles `a moindre coˆut pour les 4 prochains mois. Production maximale normale : 1200 articles / mois Production maximale en heure sup : 400 articles / moisSurcoˆut heures sup : 7 euros / article
Stockage : 3 euros / article / mois
mois 1mois 2mois 3mois 4Demandes900110017001300
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanMod´elisation
Variables :
x t: production normale en p´eriodet= 1,...,4 y t: production en heure sup en periodet= 1,...,4 s t: stock en fin de p´eriodet= 1,...,3 •Objectif :Minimiser 7?t=4
t=1yt+ 3?t=3 t=1st •Contraintes : x1+y1= 900+s1
s1+x2+y2= 1100+s2
s2+x3+y3= 1700+s3
s3+x4+y4= 1300
s t≥0,t= 1, ...,3 ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR`egles de r´e´ecriture (1)
Toute contrainte d"´egalit´e peut s"´ecrire comme deux in´egalit´es : n i=1a ixi=b≡? n i=1a ixi≥b≡n? Tout probl`eme de minimisation peut s"´ecrire comme un probl`eme de maximisation : max n? i=1c ixi≡minn? i=1-cixi ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Ecriture g´en´erale d"un programmation lin´eaire On peut ´ecrire ainsi un programme lin´eaire avecnvariables x1,...,xnetmcontraintes.
max ?ni=1cixi x i?R,(i= 1,...,n) •Lin´earit´e :Objectif et contraintes sont des fonctions lin´eaires des variables de d´ecision (les coefficientscietaijdes variables sont constants) •Continuit´e :Les variables peuvent prendre n"importe quelle valeur r´eelle respectant les contraintes linaires ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (1) min?ni=1xixi x i?R,(i= 1,...,n) min ?ni=1xi x i?N,(i= 1,...,n)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan Exemples simples de programmes non lin´eaires (2) min?ni=1cixi x i?R∩[l1,u1]∩[l2,u2],(i= 1,...,n)
min ?ni=1cixi x 1=x2 oux1=x3 x i?R,(i= 1,...,n) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanForme normale d"un programme lin´eaire
Tout programme lin´eaire peut s"´ecrire sousforme normale. max ?ni=1cixi x i≥0,xi?R,(i= 1,...,n)Si on a une variablexi?R, on introduitx+
i≥0 etx- i≥0 et on posexi=x+ i+x- i. ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanSommaire
Introduction par l"exemple
Programme lin´eaire
R´esolution graphique
Repr´esentation graphique d"un PL
R´esolution graphique
Points extrˆemes
Forme standard, bases
Bilan ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanR´esolution graphique
On dispose d"un outil (la PL) pour mod´eliser des probl`emes •Comment r´esoudre les probl`emes `a l"aide de la PL? •Plusieurs algorithmes existent, dont le simplexe (prochain cours)•Pour des probl`emes avec deux variables, on peut r´esoudregraphiquement (aide `a comprendre la structure du probl`eme)
ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
x xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
xAx B ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x x xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanRepr´esentation graphique
max 4xA+ 5xB x x xA,xB≥0
xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanTerminologie
Solution :
affectation de valeurs aux variables•Solution r´ealisable :solution r´ealisable si les valeurssatisfont l"ensemble descontraintes
•R´egion r´ealisable :ensemble des solutionsr´ealisables. xAx B x x= (80,150) ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilanTerminologie
Solution :
affectation de valeurs aux variables•Solution r´ealisable :solution r´ealisable si les valeurssatisfont l"ensemble descontraintes
•R´egion r´ealisable :ensemble des solutionsr´ealisables. xAx B x ExemplesProgramme lin´eaireR´esolution graphiquePoints extrˆemesForme standard, basesBilan