ÉQUATIONS

Exemples 1 7 Les équations suivantes sont des équations produits-nuls : — (5x+ 3)(3x 2) = 0 — 7(3x+ 4)(7x+ 1) = 0 PROPRIÉTÉ 1 8 Si l’un des facteurs d’un produit est nul alors ce produit est nul Donc, pour tout nombre réel a, on peut écrire : 0 a= 0 ou a 0 = 0: La réciproque de cette propriété est vraie : PROPRIÉTÉ 1 9 Si

Résolutions déquations produits (NC7)

Résolutions d'équations produits (NC7) Vous savez résoudre facilement des équations du premier degré à une inconnue (leçon NC6) Par exemple résoudre l'équation 2x – 5 = 0 n'a plus de secret pour vous Dans cette leçon, nous allons découvrir un autre type d'équations Voici quatre problèmes permettant d'introduire les équations

Fiche dexercices : Équations produit nul

Fiche d'exercices : Équations produit nul Fiche d'exercices : Équations produit nul Exercice 2 Résoudre chaque équation Exercice 1 Résoudre chaque équation

Fiche dexercices: les équations produit nul EXERCICE 1

Fiche d'exercices: les équations produit nul E XERCICE 1 : Parmi les équations suivantes, entourer la (ou les) « équation(s) produit nul » 3"+2+"–7=0

Seconde Cours résolution déquations - hmalherbefr

Seconde Cours résolution d'équations 4 II Résolutions graphiques Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère Equation f(x) = k (avec k réel) Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de Cf avec la droite d’équation y = k Equation f(x) = g(x) Les solutions sont les abscisses des points

ÉQUATIONS - maths et tiques

Les deux champs étant de surface égale, le problème peut se ramener à résoudre l’équation : x2 = 50x Soit x2 – 50x = 0 x (x – 50) = 0 Si un produit de facteurs est nul alors l’un au moins des facteurs est nul Alors x = 0 ou x – 50 = 0 x = 0 ou x = 50 La première solution ne convient pas à la situation du problème, on en

Introduction à la résolution d’équations

Introduction à la résolution d’équations Objectifs : Comprendre l’intérêt de la résolution d’une équation Connaître le vocabulaire relatif à la résolution d’équations : solution, membre, degré Analyser la structure algébrique d’une équation

2 – Chapitre III – Résolutions d’équations à une inconnue

2nde – Chapitre III – Résolutions d’équations à une inconnue I- Généralités Une équation : Résoudre une équation d’inconnue x = déterminer l’ensemble des valeurs de x qui rendent l’égalité vraie (On note S cet ensemble) Equations équivalentes = Equations qui ont le même

Chapitre 6 : Équations, Inéquations

I – Résolution graphique d'équations, d'inéquations : Soit f et g deux fonctions définies sur un ensemble D, de courbes représentatives respectives Cf et Cg,et soit k un nombre réel 1 Des équations du type f x =k Résoudre l'équation f x =k revient à déterminer l'abscisse du ou des points de la courbe Cf dont l'ordonnée est k

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/WoTpA2RyuVU

TP info : Al Khwarizmi

La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn

Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en :

- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd'hui.

Dans l'équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s'attache à s'en débarrasser au plus vite.

Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l'équation. - al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)

Les termes semblables sont réduits.

A cette époque, la " famille des nombres » est appelée dirham et la " famille des x » est appelée chay

(=chose), devenu plus tard xay en espagnol qui explique l'origine du x dans les équations.

Partie 1 : Notion d'équation

INCONNUE : C'est une lettre qui cache un nombre cherché :

EQUATION : C'est une opération " à trous » dont " les trous » sont remplacés par une inconnue :

→ 10��-2=2��+3 RESOUDRE UNE EQUATION : C'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue. SOLUTION : C'est le nombre caché sous l'inconnue : → ��=0,625 VÉRIFICATION : On remplace la solution dans l'équation. → 10×0,625-2=2×0,625+3, donc 0,625 est solution. Méthode : Vérifier si un nombre est solution d'une équation

Vidéo https://youtu.be/PLuSPM6rJKI

Vérifier si 14 est solution de l'équation 4

��-2 =3��+6

Correction

On remplace la valeur 14 dans les deux membres de l'équation. • D'une part : 4 ��-2 = 4(14-2)=4×12=48 • D'autre part :

3��+6=

3×14+6=42+6=48

14 vérifie l'équation 4

��-2 =3��+6 donc 14 est solution ! 2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr TP info : " Recherche de la solution d'une équation » http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Rech_sol.ods (Feuille de calcul OOo)

Partie 2 : Résolution d'équations

But : Trouver ��!

C'est-à-dire : isoler ��dans l'équation pour arriver à : �� = nombre

1) Rappels sur les équations vues en 4

Méthode : Résoudre une équation

Vidéo https://youtu.be/quzC5C3a9jM

Résoudre les équations : 1) -5��+3=-3��+2 2) 3 ��+4 ��+5 +2

Correction

1) -5��+3=-3��+2

-5��+3��=2-3 -2��=-1 -1 -2 1 2 2) 3 ��+4 ��+5 +2

3��+12=-��-5+2 On applique la distributivité

3��+��=-12-5+2

4��=-15

15 4

2) Équation produit

Si ��×��=0, que peut-on dire de �� et �� ? " Faire des essais sur des exemples, puis conclure ... ! » Propriété : Si ��×��=0 alors ��=0 ou ��=0. Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul. ← On ramène les " �� » à gauche et les " nombres » à droite. ← Réduire ← On divise par -2. 3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Méthode : Résoudre une équation-produit

Vidéo https://youtu.be/APj1WPPNUgo

Vidéo https://youtu.be/VNGFmMt1W3Y

Résoudre les équations :

a) (4��+6)(3-7��)=0 b) 4�� +��=0 c) �� -25=0 d) �� -3=0

Correction

a) Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul. Alors : 4��+6=0 ou 3-7��=0

4��=-6 -7��=-3

3 2 3 7 7 b) 4�� +��=0 ��(4��+1)=0 Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.

Alors : ��=0 ou 4��+1=0

4��=-1

��=8- 1 4 ;0: c) �� -25=0 -5 =0 (��-5)(��+5)=0 Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.

Alors : ��-5=0 ou ��+5=0

��=5 ��=-5 -5;5 d) �� -3=0

3?=��+

3?=0 Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.

Alors : ��-

3=0 ou ��+

3=��

3 ��=-

3 3; 3B 4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Partie 3 : Application à la résolution de problèmes

Méthode : Mettre un problème en équation

Vidéo https://youtu.be/flObKE_CyHw

Deux agriculteurs possèdent des champs ayant un côté commun de longueur inconnue. L'un est de forme carrée, l'autre à la forme d'un triangle rectangle de base 100m. Sachant que les deux champs sont de surface égale, calculer leurs dimensions.

Correction

On désigne par �� la longueur du côté commun. Les données sont représentées sur la figure suivante :

L'aire du champ carré est égale à ��

L'aire du champ triangulaire est égale à

=50��

Les deux champs étant de surface égale, le problème peut se ramener à résoudre l'équation :

=50��

Soit ��

-50��=0 ��(��-50)=0 Si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins des facteurs est nul.

Alors ��=0 ou ��-50=0

��=0 ou ��=50

La première solution ne convient pas à la situation du problème. On en déduit que le premier champ

est un carré de côté de longueur 50�� et le deuxième est un triangle rectangle dont les côtés de

l'angle droit mesurent 100�� et 50��.

Activité de groupe : Moquettes !

x 100 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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ÉQUATIONS

TP info : Al Khwarizmi

Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850) consiste en :

Les termes semblables sont réduits.

Partie 1 : Notion d'équation

Vidéo https://youtu.be/PLuSPM6rJKI

Vérifier si 14 est solution de l'équation 4

Correction

3���+6=

3×14+6=42+6=48

14 vérifie l'équation 4

Partie 2 : Résolution d'équations

But : Trouver ���!

1) Rappels sur les équations vues en 4

Méthode : Résoudre une équation

Vidéo https://youtu.be/quzC5C3a9jM

Correction

1) -5���+3=-3���+2

3���+12=-���-5+2 On applique la distributivité

3���+���=-12-5+2

4���=-15

2) Équation produit

Méthode : Résoudre une équation-produit

Vidéo https://youtu.be/APj1WPPNUgo

Vidéo https://youtu.be/VNGFmMt1W3Y

Résoudre les équations :

Correction

4���=-6 -7���=-3

Alors : ���=0 ou 4���+1=0

4���=-1

Alors : ���-5=0 ou ���+5=0

3?=���+

Alors : ���-

3=0 ou ���+

3=���

3 ���=-

Méthode : Mettre un problème en équation

Vidéo https://youtu.be/flObKE_CyHw

Correction

L'aire du champ carré est égale à ���

L'aire du champ triangulaire est égale à

Soit ���

Alors ���=0 ou ���-50=0

Activité de groupe : Moquettes !

3��+6=

But : Trouver ��!

1) -5��+3=-3��+2

3��+12=-��-5+2 On applique la distributivité

3��+��=-12-5+2

4��=-15

4��=-6 -7��=-3

Alors : ��=0 ou 4��+1=0

4��=-1

Alors : ��-5=0 ou ��+5=0

3?=��+

Alors : ��-

3=0 ou ��+

3=��

3 ��=-

L'aire du champ carré est égale à ��

Soit ��

Alors ��=0 ou ��-50=0