The Project Gutenberg eBook 昆: Mémoire sur les Équations

et qu’il démontra l’impossibilité de résoudre algébriquement des équations générales de degré supérieur au quatrième(4) (1) Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, année 1771 (2) Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin, années 1770–71 (3) Oeuvres complètes d’Abel, 2e vol , p 265

TD 4 (4 PAGES - WordPresscom

Résoudre algébriquement l’équation 0,1+0,2+0,3=0,8 Interpréter le résultat 5) Par lecture graphique, déterminer la quantité d’objets à fabriquer pour que l’artisan réalise des bénéfices

I) Résoudre algébriquement des équations, des inéquations

Résoudre dans l’intervalle ] −π π;]l’inéquation 2 cos 2 x > Exercice 6 Résoudre dans l’intervalle ] −π π;]l’inéquation 2 sin 2 x ≤ Exercice 7 Résoudre dans l’intervalle [0 ;2 π]l’inéquation 1 sin 2 x < Exercice 8 Résoudre dans l’intervalle [0 ;2 π] l’inéquation cos 0x > II) Résoudre graphiquement des

2

On a tracé sur l’intervalle [ ] 0 ;2 π la représentation graphique de la fonction cosinus Résoudre graphiquement dans l’intervalle [ ] 0 ;2 π l’équation 1 cos 2 x = Correction : Graphiquement, on lit que les solutions sont € x 1 ≈1,05 (soit € x 1 = π 3) et € x 2 ≈ 5,25 (soit € x 2 = 5π 3) Exercice 10 On a

CTM 9 Equations - Wahamaths

On dit que l’équation est du 1er degré si le plus grand exposant de l’inconnue est 1 De même, l’équation sera du second degré si le plus grand exposant de l’inconnue est 2 et ainsi de suite Ex : x+ =1 2 est du 1 er degré car le plus grand exposant de l’inconnue est 1

TD :FONCTIONS - Généralités

2- puis l’inéquation fx3 3- Résoudre graphiquement l’équation fx 0 et l’inéquation fx 0t - Résoudre graphiqu em nt l’équation x 3 puis l’inéquation f x xd 3 Exercice28 : R par : f x x x 2 34 et g x x 3 12 1) Tracer Les courbes représentatives et C g Résoudre graphiquement et algébriquement l’équation f x g x

SUJETEXA

Soit dans C l'équation(E) — complexe du repère orthonormé direct (O; ï7, V) 1 a) Montrer que l'équaiion (E) admet deux racines réelles que l'on déterminera b) Résoudre dans C l'équation(E) 2 L'on désigne par A, Bet C les points d'affixes respectives l, 3, 2+ifi et —L a) Démontrer que le triangle IAB est un triangle

Exercices corrigés – Révisions – Thème : Second degré

L’aire totale de mon terrain étant de 525 m², déterminer la valeur de x en résolvant une équation du 2 nd degré Exercice 4 : 1°) Factoriser le polynôme P x( ) =5x3 −10 x² +5xà l’aide d’un facteur commun 2°) Résoudre l’équation x² −2x +1=0 3°) Résoudre l’équation P x( ) =0, en vous aidant des questions précédentes

Fonctions affines Exercices corrigés

L’ordonnée U du point $ se lit sur l’axe vertical des ordonnées du repère L’ordonnée U de $ est 5 L’abscisse T du point $ se lit sur l’axe horizontal des abscisses du repère L’abscisse T de $ est Ú Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Correction de l’exercice 2

Exercices chap 1 barbazo

etjustifier la réponse à l'aide de l'une des formes pré- cédentes def(x) -6 est l'image de 0 par f L'équationf(x) = 0 admet exactement deux solutions est le minimum de la fonction La parabole ci-dessous tracée dans un repère ortho- normé, représente une fonction polynôme du second degréf

[PDF] resoudre algebriquement l'equation f(x)=0

[PDF] resoudre algebriquement l'equation f(x)=g(x)

[PDF] résoudre algébriquement l'inéquation f(x) g(x)

[PDF] résoudre algébriquement l'inéquation f(x)>g(x)

[PDF] résoudre algébriquement un système d'équation

[PDF] Résoudre Algébriquement une Equation

[PDF] résoudre algébriquement une équation du second degré

[PDF] résoudre algébriquement une inéquation

[PDF] résoudre algébriquement une inéquation du second degré

[PDF] résoudre algébriquement une inéquation seconde

[PDF] resoudre avec une calculatrice

[PDF] resoudre ce proble par une equation

[PDF] Résoudre ces équation Urgent c'est pour DEMAIN !

[PDF] Résoudre ces équations

[PDF] résoudre ces inéquation ? l'aide d'un tableau de signes

The Project Gutenberg EBook of Mémoire sur les équations résolubles algébriquement, by M. Despeyrous This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project GutenbergLicenseincluded with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Mémoire sur les équations résolubles algébriquement

Author: M. Despeyrous

Release Date: July 24, 2008 [EBook #26118]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS***

MÉMOIRE

SUR

LES ÉQUATIONS

RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENTPAR

M. DESPEYROUS

Ancien professeur à la Faculté des sciences de Toulouse.?Paris, 1887 Produced by Joshua Hutchinson, David Wilson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This etext was produced using images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.)

Transcriber"s notes

This e-text was created from scans of the book published at Paris in

1887 by A. Hermann as part of theLibrairie Scientifiqueseries. The

book was printed by G. Gounouilhou of Bordeaux.

The author"s footnotes are labelled numerically(

1) and are in French;

footnotes showing where corrections to the text have been made are labelled using printer"s marks *and are in English. The author uses a vinculumn-1pwhere modern usage would be to use parentheses(n-1)p. Details of minor typographical corrections are documented in the L ATEX source. This document is designed for two-sided printing. It can be recompiled for on-screen viewing: see comments in source L

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MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS

RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENTLa solution de cette question générale,trouver toutes les équations de degré

premier résolubles algébriquement, fait l"objet de ce mémoire. Nous croyons que notre solution est exacte et complète, et nous avons l"espoir qu"elle sera jugée telle par les géomètres. La résolution des équations des quatre premiers degrés était connue depuis longtemps, lorsque Vandermonde et Lagrange lurent presque en même temps, l"un

à l"Académie des Sciences de Paris(

1), l"autre à l"Académie des Sciences de Berlin(2),

leurs savantes recherches sur la résolution générale des équations. Par des méthodes différentes, ces deux grands géomètres arrivèrent à des résultats identiques; et,

en particulier à celui-ci : "La résolution de l"équation générale du cinquième degré

dépend en dernière analyse d"une équation du sixième degré; et la résolution de

celle-ci d"une équation du quinzième ou du dixième degré.» Mais est-ce là le dernier

degré de réduction auquel on puisse parvenir? On en était là lorsque le célèbre Gauss publia en 1801 sesDisquisitiones arith- meticae, qui contiennent dans la septième section la résolution algébrique des équa- tions binômes. Vingt-cinq ans plus tard l"illustre Abel s"occupa à son tour de la résolution algébrique des équations, comme le prouve la lettre qu"il écrivait, trois ans avant sa mort, à M. Holmboe : "Depuis mon arrivée à Berlin, je me suis occupé de la

solution du problème général suivant :trouver toutes les équations qui sont résolubles

algébriquement; ma solution n"est pas encore complète, mais autant que j"en puis juger, elle aboutira. Tant que le degré de l"équation est un nombre premier, la difficulté n"est pas très grande, mais lorsque ce nombre est composé, le diable s"en mêle(

3).»

Nous devons ajouter qu"il ne réussit même pas lorsque le degré est premier, mais qu"il trouva, en généralisant les résultats de Gauss sur les équations binômes, une classe d"équations résolubles algébriquement, appelées aujourd"huiabéliennes,

et qu"il démontra l"impossibilité de résoudre algébriquement des équations générales

de degré supérieur au quatrième( 4).(

1)Mémoires de l"Académie des Sciences de Paris, année 1771.

2)Mémoires de l"Académie des Sciences de Berlin, années 1770-71.

3)Oeuvres complètes d"Abel, 2evol., p. 265.

4)Id., p. 5 et 114 du premier volume.1

2 MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS

Enfin M. Liouville a publié en 1846, dans son journal, les oeuvres mathématiques de Gallois, dont la mort prématurée a été une véritable perte pour la science. Dans ces oeuvres, se trouve la démonstration de ce beau théorème : "Pour qu"une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes les racines soient des fonctions rationnelles de deux quelconques d"entre elles.» Mais la démonstration laisse beaucoup à désirer, elle a des lacunes, et il a fallu toute l"autorité de M. Liouville pour faire admettre l"existence du théorème. Nous avons encore de Gallois unfragmentsur les conditions de résolubilité des équations de degré composé; mais il est inintelligible, à l"exception des trois premières pages. Les remarquables travaux dont nous venons de parler nous ont fait hésiter longtemps à nous occuper de la question générale ci-dessus énoncée, mais nos recherches(

1) sur lathéorie de l"ordreet sur l"application que nous en avons faite à

la classification des permutations qu"offrentmlettres en groupes de permutations inséparables quels que soient les échanges de ces lettres, fournissent une méthode pour la solution de cette question générale, et c"est le résultat des applications de cette méthode que nous soumettons au jugement des géomètres. Notre travail est divisé en deux sections : dans la première, après avoir rappelé l"indispensable théorie de Lagrange sur les fonctions semblables et dissemblables, nous exposons les principes de notre théorie sur les équations résolubles par radi- caux. Ces principes se composent de six théorèmes dont un seul, le cinquième, était connu et appartient à Gallois.

Le but de ces principes est d"établir : 1

oque la résolution de toute équation algébrique, irréductible et soluble par radicaux dépendnécessairementde la résolu- tion d"une équation auxiliaire appeléerésolvante, dont les racines sont des fonctions rationnelles de celles de la proposée; 2 oque cette équation résolvante n"est décom- posable en facteurs de degrés moindres, qu"autant que les groupes de permutations

des racines de l"équation proposée, relatifs à celles de l"équation résolvante, peuvent

être partagés en nouveaux groupes de permutationsinséparables. Ces deux théorèmes contiennent en germe la méthode qu"on doit suivre pour la détermination des conditions nécessaires et suffisantes pour qu"une équation al- gébrique et irréductible soit soluble par radicaux. Dans la deuxième section, nous développons cette méthode, et nous démontrons

que les deux théorèmes de Lagrange, sur la théorie générale des équations, sont des

conséquences nécessaires de la théorie des équations, vérité(

2) aperçue par ce grand

géomètre, et que nous mettons, ce nous semble, hors de doute.

Ainsi nous démontrons : 1

oque pour résoudre une équation algébrique irré- ductible et de degré premiern, il est nécessaire et suffisant de résoudre deux équa-

tions, l"une de degrén-1et l"autre de degré1·2·3···(n-2); 2oque pour résoudre

une équation algébrique irréductible et de degré composém=nq(nétant pre- mier) il est nécessaire et suffisant de résoudrenéquations de degréqet deux autres équations, l"une de degrén-1et l"autre de degréγdonné par la formule

1)Journal de Mathématiques pures et appliquées, deuxième série, t. VI, p. 417; t. X, p. 55 et 177.

2)Traité de la résolution des équations numériques, 2eéd., p. 274.

RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT 3

De là, et de notre théorème de la classification des permutations(

1) nous déduisons

d"une manièredirecte, qu"il est impossible de résoudre algébriquement les équations

générales de degré supérieur au quatrième. Ce théorème, dû à Abel, comme nous

l"avons déjà dit, a été démontré par ce géomètre par la réduction à l"absurde;

plus tard, Wantzel en a donné une démonstration plus simple, mais ayant le même caractère. Notre démonstration est directe et elle est déduite de la nature même des choses, aussi est-elle simple et facile. Puisqu"il est impossible de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième, on doit chercher les conditions nécessaires et suff-

isantes pour qu"une équation irréductible, de degré supérieur à quatre, soit résoluble

algébriquement, c"est-à-dire soluble par radicaux. Notre théorie de la classification des permutations nous fait d"abord retrouver une classe d"équations résolubles algébriquement, c"est celle des équations dites abéliennes, et la décomposition de ces équations en d"autres, de degrés moindres, selon la loi de Gauss. Puis nous distinguons dans cette recherche deux cas, celui où le degré est un nombre premier, et celui où il est composé. Dans le premier cas nous démontrons ce théorème :Pour qu"une équation irréductible et de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que, deux racines étant données, les autres s"en déduisent rationnellement suivant une loi que nous faisons connaître. Ce théorème, tel que Gallois l"avait énoncé, ne faisait pas connaître cette loi de dérivation des racines; c"est peut-être pour cette raison que la démonstration de ce

géomètre laissait beaucoup à désirer : nous espérons que la nôtre sera à l"abri de ce

reproche. Ensuite, nous donnons,théorème XIV, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu"une équation algébrique irréductible et dont le degré ne contient aucun des facteurs premiers deux et trois soit résoluble algébriquement. Enfin nous examinons les cas particuliers qui ne sont pas compris dans ce dernier théorème, et pour chacun d"eux nous donnons les conditions nécessaires et suff- isantes pour qu"une équation irréductible soit soluble par radicaux. C"est ainsi que nous complétons la solution de ce problème général :trouver toutes les équations résolubles algébriquement.(

1)Journal de Mathématiques, 2esérie, t. VI, p. 417.

I PRINCIPESDéfinitions.-Soientx0,x1,x2,...,xm-1,mquantités, etVune fonction de ces quantités, cette fonction étant formée avec elles à l"aide des six opérations fonda- mentales des mathématiques ou de quelques-unes d"entre elles, répétées un nombre fini de fois; dont trois directes, addition, multiplication, formation de puissances, et trois inverses, soustraction, division, extraction de racines. Si, dans la formation de la fonctionV, il n"y a que des signes des quatre pre- mières opérations ou de quelques-unes d"entre elles,Vest dite fonction entière de x

0,x1,x2,...,xm-1; et si dansVces quantités sont liées par les signes des cinq pre-

mières opérations ou de quelques-unes d"entre elles,Vest une fonctionrationnelle de cesmquantités. Mais nous donnerons une plus grande extension à ces mots entieretrationnel, et nous dirons qu"une fonction est entière ou rationnelle de ces quantitésx0,x1,x2,...,xm-1, quand bien même son expression contiendrait dans la première ou dans la seconde formation des racines de l"unité d"un degré quelconque k, égal ou différent dem.

Une équation algébrique

(1)F(x) =xm+A1xm-1+A2xm-2+···+Am= 0 estréductibleouirréductible, selon que le premier membre se décompose ou ne se décompose pas en facteurs de degrés moindres enx, tels que les coefficients des divers termes de ces facteurs sont des fonctions rationnelles deA1,A2,...,Am indépendantesdes racines de l"unité d"un degré quelconque. Nous verrons qu"une équation irréductible peut cesser de l"être, quand on adjoint aux coefficientsA1,A2, ...,A mde cette équation des racines de certaines équations que nous appellerons résolvantes. Résoudre algébriquement l"équation (1), c"est déterminer une fonctional- gébriquede ses coefficients, qui, substituée à l"inconnuex, satisfasse identiquement

à cette équation.5

6 MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS

Fonctions semblables(

1) Considérons une fonction rationnelleVdesmracines de l"équation (1) de forme déterminée et connue, et admettons qu"elle prennesvaleurs quand on y permute de toutes les manières possibles cesmracines que son expression renferme.

Nous avons démontré ailleurs(

2), qu"on peut partager les1·2·3···m=μ

permutations, produites par lesmracines ensgroupes composés chacun deqper- mutations,μ=sq, associés de telle manière que, malgré tous les échanges de ces lettres, les permutations d"un même groupe ne peuvent jamais se séparer. Admet- tons que ce partage soit effectué, et soit (A)

1, β1, ..., ω1

2, β2, ..., ω2

s, βs, ..., ωs le tableau des permutations qui en résulte, le nombre des lettresα,β,...,ωétant

égal àq.

SoientV1la valeur que prend la fonction donnéeVpour toutes les permu- tationsα1,β1,...,ω1du premier groupe etV2,V3,...,Vsles valeurs qu"elle prend respectivement pour les permutations des 2 e, 3e, ...,segroupes. Cela rappelé, considérons une autre fonction rationnelleyde ces mêmes racines; cette fonctionyestsemblableàVsi elle est invariable pour toutes les permutations d"un quelconque des groupes du tableau (A), et si elle change de valeur en passant d"un groupe à un autre : en sorte queVetyont un même nombresde valeurs distinctes. Pour toute autre hypothèseVetysont des fonctionsdissemblables. La question à résoudre est celle-ci : connaissantVet les coefficients de l"équa- tion (1), trouver l"inconnuey. Nous devons distinguer deux cas dans la solution de ce problème, celui où les fonctionsVetysont semblables, et celui où elles sont dissemblables.Premier Cas.-Les fonctionsVetysont semblables. Puisque la forme de la fonction rationnelleVest connue, nous connaissons les valeurs analytiquesV1,V2, ...,V s. Considérons actuellement une fonction rationnelle quelconque et symétrique de cessvaleurs,

θ(V1,V2,...,Vs).

Tout changement opéré sur lesmracinesx0,x1,...,xm-1laissera une quelconque de cessvaleurs,Vipar exemple invariable, ou il la transformera en une autre de cesmvaleurs. Dans l"une ou l"autre de ces deux hypothèses, ce même changement produira les mêmes effets, sur les autres valeurs deV, d"après les propriétés connues du tableauA. Mais la fonctionθest symétrique par rapport à cessvaleurs, donc elle est symétrique par rapport aux racines de l"équation (1), et par conséquent elle est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de cette équation. On doit donc(

1) Voir lesMémoires de Berlinpour l"année 1771, p. 192, et aussil"Algèbre supérieurede Serret,

2 eéd., p. 149.

2)Journal de Mathématiques de Liouville, février 1865.

RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT 7

considérer comme connues : 1 ola somme des valeursV1,V2,...,Vs; 2ola somme de leurs produits deux à deux; 3 ola somme de leurs produits trois à trois; et ainsi de suite, et par conséquent l"équation : (2)?(V) =Vs+P1Vs-1+P2Vs-2+···+Ps= 0, dont les racines sont cessvaleursV1,V2,...,Vs. Considérons actuellement la fonc- tion rationnelleyVk,kdésignant un nombre entier quelconque; et désignons par y

1,y2,...,ysles valeurs que prend respectivementypour une quelconque des per-

mutations dessgroupes du tableau (A). Il résulte de ce qui précède que toute fonction symétrique dessvaleursy1Vk1,y2Vk2,...,ysVksest invariable par rapport auxmracines de l"équation (1), et par conséquent exprimable en fonction rationnelle de ses coefficients. On doit donc considérer comme connue la fonction définie par l"équation y

1Vk1+y2Vk2+···+ysVks=tk

quelle que soit la valeur entière attribuée àk; et par conséquent les fonctionst0,t1, ...,t s-1définies par les équations y

1+y2+···+ys=t0,

1V1+y2V2+···+ysVs=t1,

y qui se déduisent de la première en donnant successivement àkles valeurs0,1,2, ...,s-1; ces équations serviront à déterminery1,y2,...,ys. Pour déterminer l"une des inconnues,yipar exemple, nous suivrons la méthode des multiplicateurs; nous multiplierons donc respectivement les deux membres de chacune de cesséquations parh0,h1,...,hs-2,1; nous ferons la somme des produits membre à membre, et nous aurons, en faisant pour abréger h y

1ψ(V1) +···+yiψ(Vi) +···+ysψ(Vs) =h0t0+h1t1+···+hs-2ts-2+ts-1.*

Pour déduire de cette dernière équation la valeur deyi, il faut déterminer less-1 coefficients indéterminésh0,h1,...,hs-2, par less-1équations : (3)ψ(V1) = 0, ψ(V2) = 0, ..., ψ(V0) = 0; et ces indéterminées étant connues par ces équations, on aura Pour déterminer cess-1indéterminées et par suiteyi, il suffit de résoudre les équations (3); mais on peut opérer plus simplement, car ces équations (3) prouvent * Original hasts-ias the final term

8 MÉMOIRE SUR LES ÉQUATIONS

que less-1racines de l"équationψ(V) = 0sontV1,V2,...,Vs, c"est-à-dire toutes celles de l"équation (2), la racineViexceptée; donc

ψ(V)*=?(V)V-Vi=Vs-1+Vi

+P1†V s-2+V2i +P1Vi +P2V s-3...+Vs-1 i, +P1Vs-2 i, +P2Vs-3, +Ps-1; et puisque ce quotient doit être identique au polynômeψ(V), on doit avoir h s-2=Vi+P1, hs-3=V2i+P1Vi+P2, ..., h

0=Vs-1

i+P1Vs-2 i+···+Ps-1. Ces valeurs font connaître celle deyi; mais le numérateur de son expression (4) peut être simplifié par le calcul suivant dû à Lagrange. Posons en effetquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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