Exo7 - Exercices de mathématiques
Résoudre dans C l’équation z4 (5 14i)z2 2(5i+12)=0 Correction H [005125] Exercice 8 ** Résoudre dans C l’équation (z2 +1)n (z 1)2n =0 Correction H [005126] Exercice 9 **I Déterminer les complexes z tels que z, 1 z et z 1 aient même module Correction H [005127] Exercice 10 **I On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1
terminale Expert Complexe
R&oudre dans C l'équation (2 — 5i)z = — 25 Scanné avec CamScanner 45 5 Résoudre dans C l'équation z2 -4z-1=o —d Lit du A Ç x õ x
Nombres complexes Equation du second degré
Résoudre dans C les équations suivantes : 1 2z2−8z+80=0 2 3z2−6z+18=0 EXERCICE 7 −π 2 < θ < π 2 Résoudre dans C l’équation : z2cos2θ−2z cosθsinθ+1=0 EXERCICE 8 0 < θ < π 2 Résoudre dans C l’équation : z2cos2θsin2 θ−2z sin3θcosθ+cos4 θsin4θ=0 EXERCICE 9 0 < θ < π 1 Développer (z+2)(z2−2z cosθ+1) 2
Exercice 1 Résoudre dans ℝ les équations suivantes : c) )2 4
6 Construire la courbe représentative de CM dans le repère orthogonal de la figure 4 1 page suivante Partie C : L’artisan vend chaque objet 110€ 1 Montrer que le bénéfice réalisé après la fabrication et la vente de x objets est donné par : ( ) = − ² + 50 −121 où x est pris dans [1; 30]
27 RÉSOUDRE LÉQUATION - Free
Les abscisses de ces points sont les solutions de l'équation f(x) = λ 2 Comment résoudre graphiquement une équation dans l'ensemble des nombres réels ? Résoudre graphiquement dans ℝ l'équation 2 x2 + 3 = 5 On trace la courbe C représentant f(x) = 2 x2 + 3 en utilisant la fiche 24 et le tableau de valeurs ci-dessous : x 0 0,25 0,5 1
Racines n-ièmes d’un nombre complexe Résolution d’une
Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation i z z 4 Écrire la solution sous forme algébrique Exercice 5 Soit (E) l’équation complexe : 2z z 1 0 z 1 1 Démontrer que z = x + iy avec x et y réels est solution de (E) si et seulement si : °¯ ° ® 2x 1 y 0 x 2 x 3y 2 1 0 ( ) 2 En déduire la résolution de
Les nombres complexes - unicefr
2) Résoudre alors dans C, l’équation : P(z) = 0 Exercice22 Pour tout complexe z, on considère : f(z) = z4 −10z3 +38z2 −90z +261 1) b est réel Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaires de f(ib) 2) En déduire que l’équation f(z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution
3 Séquence 15 : Équations
• Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu • Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie • Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions Exemple : 3 x + 2 = 8 est une équation d'inconnue x Pour x = 2, 3 x + 2 = 3 × 2 + 2 = 8 L
Equations et inéquations et systèmes
Pour x ≠ -3, l'équation équivaut à : , soit Soit encore : ou Comme x ≠ -3, l'équation a pour unique solution : c a d : S ={3} d) L’équation n’est pas définie pour x = 2 et x = 3 Pour x ≠ 2 et x ≠ 3 , l'équation équivaut à : On réduit au même dénominateur dans le but de se ramener à une équation-quotient :
[PDF] Résoudre dans l'ensemble des complexes
[PDF] Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation
[PDF] résoudre dans lR les inéquations suivantes et noter l'ensemble solution sous la forme d'un intervalle
[PDF] résoudre dans lR, les inéquations
[PDF] Resoudre dans R
[PDF] Résoudre dans R
[PDF] résoudre dans r cette equation
[PDF] Résoudre dans R des inéquations
[PDF] Resoudre dans R l'équation
[PDF] résoudre dans R l'équation :
[PDF] résoudre dans r l'équation
[PDF] Résoudre dans R les équations
[PDF] Résoudre dans R les équations Cos x = Cos a et sin x = sin a
[PDF] Résoudre dans R les équations et inéquations
Nombres complexes
Equation du second degré
Fiche exercices
EXERCICE 1
Résoudre dans C les équations suivantes :
1. z2-14z+170=0
2. z2+34z+627=0EXERCICE 2
1. Résoudre dans C l'équation : z2-4z+5=0
2. Développer (z-2)(z2-4z+5)
3. Résoudre dans C :
z3-6z2+13z-10=0EXERCICE 3θest un nombre réel.
Résoudre dans C l'équation : 2z2-2(1+cosθ)z+1+cosθ=0EXERCICE 4
2 < θ < π
2Résoudre dans C l'équation :
z2cos2θ-2zcos2θ+1=0EXERCICE 51. Résoudre dans C l'équation : z2-16z+89
2. Montrer que l'équation : z3-(16-i)z2+(89-16i)z+89i=0 admet une solution imaginaire pur que l'on
déterminera.3. Développer : (z+i)(z2-16z+89)
4. Résoudre dans C l'équation : z3-(16-i)z2+(89-16i)z+89i=0
EXERCICE 6
Résoudre dans C les équations suivantes :
1.2z2-8z+80=02. 3z2-6z+18=0
EXERCICE 7
2 < θ < π
2Résoudre dans C l'équation :
z2cos2θ-2zcosθsinθ+1=0EXERCICE 8
0 < θ < π
2Résoudre dans C l'équation :
EXERCICE 9
0 < θ < π1. Développer
(z+2)(z2-2zcosθ+1)2. Résoudre dans C l'équation : z3-2z2(1-cosθ)+z(1-4cosθ)+2=0Nombres complexes
Equation du second degré
EXERCICE 10
1. Démontrer que l'équation : z3-(1-i)z2+z-1+i=0 admet deux solutions imaginaires purs que l'on
déterminera.2. Développer (z2+1)(z-(1-i))
3. Résoudre dans C l'équation proposée.
EXERCICE 11
1. On considère le polynôme : P(z)=2z3-5z2+4z-21
. Calculer P(3) . Factoriser P(z) par (z-3) . Résoudre dans C l'équation P(z)=0.2. On considère le polynôme : P(z)=z4-z3+8z-8
. Calculer P(1) et P(-2) . Factoriser P(z) par (z-1)(z+2) . Résoudre dans C l'équation P(z)=0.EXERCICE 12
a, b et c sont trois nombres réels non nuls distincts deux à deux.Montrer que le polynôme P(z)=z(z-b)(z-c)
a(a-b)(a-c)+z(z-a)(z-c) b(b-a) (b-c)+z(z-a)(z-b) c(c-a)(c-b) peut s'écrire : P(z)=k(z-a)(z-b)(z-c)+1 où k est un nombre réel que l'on déterminera.EXERCICE 13
Résoudre dans C l'équation :
z4+(64+52i)z2+540+1408i=0Nombres complexes
Equation du second degré
CORRECTION
EXERCICE 1
1. Δ=(-14)2-4×1×170=196-680=-484<0
z1=14-22i2=7-11ietz2=14+22i
2=7+11i
S= {7-11i;7+11i}2.Δ=342-4×1×627=1156-2508=-1352<0L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées.
1. Δ=(-14)2-4×1×170=196-680=-484<0
L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées. z1=14-22i2=7-11ietz2=14+22i
2=7+11i
S= {7-11i;7+11i}2.Δ=342-4×1×627=1156-2508=-1352<0L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées.
z3-6z2+13z-10=0⇔(z-2)(z2-4z+5)=0 {z-2=0 ou z2-4z+5=0Donc les solutions de l'équation sont
2;2-i;2+iS=
Nombres complexes
Equation du second degré
EXERCICE 3
Δ=4(1+cosθ)2-4×2×(1+cosθ)
Δ=4(-sin2θ)⩽0
ouSi θ=0+2kπalors l'équation devient :
L'équation admet deux solutions réelles confondues : z1=z2=1 S= {1}Si θ=π+2kπalors l'équation devient :2z2=0⇔z2=0L'équation admet deux solutions réelles confondues :
z1=z2=0S= {0}Δ<0⇔ {θ≠0+2kπ etΔ=4sin2θi2=(2sinθi)2
L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées. z1=2(1+cosθ)-2sinθi2=1+cosθ+sinθi
S= {1+cosθ-sinθi;1+cosθ+sinθi}EXERCICE 42<θ<π
2donc cos2θ≠0donc l'équation est bien une équation du second degré.
Δ=(-2cos2θ)2-4×cos2θ×1
Δ=4cos4θ-4cos2θ
Δ=4cos2θ(cos2θ-1)
Nombres complexes
Equation du second degré
Δ=0⇔θ=0car-π
2<θ<π
2L'équation devient :
z2-2z+1=0⇔ (z-1)2=0L'équation a deux solutions confondues réelles z1=z2=1S= {1}Δ<0⇔θ≠0Δ=-4cos2θsin2θ⩽0=(2cosθsinθi)2L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées.
z1=2cos2θ-2cosθsinθi2cos2θ=1-sinθ
cosθi=1-tanθi z2=2cos2θ+2cosθsinθi2cos2θ=1+sinθ
cosθi=1+tanθiS={1-tanθi;1+tanθi}EXERCICE 5
1.Δ=(-16)2-4×1×89=256-356=-100<0L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées.
Δ=(10i)2
z1=16-10i2=8-5iet
z2=16+10i2=8+5iS=
{8-5i;8+5i}2. z3-(16-i)z2+(89-16i)z+89i=0 bi (avecb∈ℝ)est une solution de l'équation {16b2+16b=0(1) -b3-b2+89b+89=0(2) (1)⇔ b2+b=0⇔b(b+1)=0S1={0;-1}0∉S21-1-89+89=0 donc
-1∉S2S= {-1}Donc -iest une solution imaginaire pur de l'équation.Nombres complexes
Equation du second degré
3. (z+i)(z2-16z+89)
4. z3-(16-i)z2+(89-16i)z+89i=0
⇔(z+i)(z2-16z+89)=0 {z+i=0 ou z2-16z+89=0Les solutions de cette équation sont :
-i;8-5i;8+5iS= {-i;8-5i;8+5i}EXERCICE 61. Δ=(-8)2-4×2×80=64-640=-576<0
L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées. -576=(24i)2 z1=8-24i4=2-6iet z2=8+24i
4=2+6i
S={2-6i;2+6i}2. Δ=(-6)2-4×3×18=36-216=-180 L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées. -180=(62<θ<π
2donc cos2θ≠0Δ=4cos2θsin2θ-4cos2θ
Δ=4cos2θ(sin2θ-1)
Δ=-4cos4θ<0L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées.2cos2θ=tanθ-iet
z2=2cosθsinθ+2icos2θ2cos2θ=tanθ+iS=
{tanθ-i;tanθ+i}EXERCICE 80<θ<π
2donc sin2θcos2θ≠0Nombres complexes
Equation du second degré Δ=-4sin2θcos6θ<0Δ=(2sinθcos3θi)2 L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées. z1=2sin3θcosθ-2sinθcos3θi2sin2θcos2θ=sinθ
cosθ-cosθ2sin2θcos2θ=sinθ
cosθ+cosθ sinθi S= {tanθ-cosθ sinθi;tanθ+cosθ sinθi}EXERCICE 91. (z+2)(z2-2zcosθ+1)
=z3-2z2cosθ+z+2z2-4zcosθ+2 z3+2z2(1-cosθ)+z(1-4cosθ)+22. E {z+2=0(1) ou z2-2zcosθ+1=0(2)S1={-2}(2)
z2-2zcosθ+1=0Δ=4cos2θ-4=-4sin2θ
0<θ<πdoncsin2θ≠0doncΔ<0L'équation a deux solutions distinctes complexes conjuguées.
z1=2cosθ-2isinθ2=cosθ-isinθet
z2=2cosθ+2isinθ2=cosθ+isinθ
S={-2;cosθ-isinθ;cosθ+isinθ}EXERCICE 10 1. bi(b est réel) est solution de l'équation si et seulement si -b3i+(1-i)b2+bi-1+i=0Eb2-1+i(-b3-b2+b+1)=0
E {b2-1=0(1) -b3-b2+b+1=0(2) -1∈S2 -13-12+1+1=0donc1∈S2 Donc -iet isont deux solutions imaginaires purs.2. (z2+1)(z-(1-i))
=z3-z2(1-i)+z-1+iNombres complexes
Equation du second degré
3. z3-(1-i)z2+z-1+i=0
E(z2+1)(z-(1-i))=0
E{z2+1=0
ou z-(1-i)=0S={-i;i;1-i}EXERCICE 11
1. P(z)=2z3-5z2+4z-21
P(z)=2×27-5×9+4×3×21=54-45+12-21=0 . P(z) est factorisable par (z-3). On effectue la division euclidienne de P(z) par (z-3).On obtient : P(z)=(z-2)(2z2+z+7)
P(z)=0 ⇔ (z=3 ou 2z2+z+7=0)
3 est une solution de l'équation.
z1=-1+i 4=-1 4=-1 4. L'ensemble des solutions de l'équation P(z)=0 est s= {3:-1 4+i 4; -1 4}. 2.P(z)=z4-z3+8z-8 . P(1)=14-13+8×1-8=0
. Le polynôme P(z) est factorisable par (z-1)(z+2).On effectue la division euclidienne de P(z) par
(z-1)(z∓2)=z2+z-2 On obtient P(z)=(z2+z-2)(z2-2z+4)=(z-1)(z+2)(z2-2z+4)P(z)=0 ⇔ (z=1 ou z=-2 ou z2-2z+4=0)
1 et -2 sont des solutions de l'équation
Nombres complexes
Equation du second degré
Cette équation admet 2 solutions complexes conjuguées. z1=2+2i L'ensemble des solutions de l'équation P(z)=0 est s={1; -2; 1+iEXERCICE 12
P(z)=z(z-b)(z-c)
a(a-b)(a-c)+z(z-a)(z-c) b(b-a)(b-c)+z(z-a)(z-b) c(c-a)(c-b)P(z) est un polynôme de degré au plus 3.
On considère le polynôme Q(z)=P(z)-1.
Q(z) est un polynôme de degré au plus 3.
On remarque :
Q(a)=a(a-b)(a-c)
a(a-b)(a-c)+a(a-a)(a-c) b(b-a) (b-c)+a(a-a)(a-c) c(c-a)(c-b)-1=1+0+0-1=0On vérifie de même que
Q(b)=Q(c)=0.
Q(z) est factorisable par
(z-a)(z-b)(z-c) polynôme de degré 3.Conséquences
Q(z) est un polynôme de degré 3.
Q(z)=k(z-a)(z-b)(z-c) k est le coefficient de z3 dans P(z). (Un polynôme de degré 0 est une constante).P(0)=0 donc Q(0)=-1
or Q(0)=k×(-a)×(-b)×(-c)=-kabc=-1 donc k=-1 abc.Conclusion
Q(z)=-1
abc(z-a)(z-b)(z-c)P(z)=-1
abc(z-a)(z-b)(z-c)-1EXERCICE 13
(E) : z4+(64+52i)z2+540+1408i=0 (E) ⇔ {Z=z2Z2+(64+52i)Z+540+1048i=0
La deuxième équation est une équation du second degré à coefficients complexes.On détermine les racines carrées de Δ c'est à dire on résout l'équation δ2=Δ.