Calcul intégral Exercices corrigés - Free
Calcul intégral Exercices corrigés 1 1 Calcul de primitives 1 1 2 Basique 1 1 1 3 Basique 2 2 Calcul d’intégrales, fonction rationnelle 1
Int egrales de fonctions de plusieurs variables
bord est d e ni a l’aide de fonctions continues sont quarrables 8 2 2 Interpr etation des int egrales simples en termes d’aire Nous sommes maintenant en mesure d’ enoncer des r esultats qui interpr etent l’int egrale d’une fonction d’une variable comme l’aire d’une r egion du plan Pour simpli er, commen˘cons par
Intégrales Multiples et Algèbre Linéaire
Examens Les sujets des 4 examens seront établis par le professeur responsable de l’UE Math-170 Les copies seront intégralement corrigées par ledit professeur Règle d’or pendant les cours : Interdiction absolue d’utiliser et de consulter smartphones, téléphones et ordinateurs portables
Exercices de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de
Correction del’exercice1 N 1 On trouve R 4 0 f(t)dt =+7 Il faut tout d’abord tracer le graphe de cette fonction Ensuite la valeur d’une intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c’est-à-dire ici les valeurs en x=0, x=1,
L2 Parcours Spécial
Notre exemple favori dans ce cours sera celui d’une altitude dépendant de deux para- mètres(latitudeetlongitudeou,defaçonplusabstraite,xety) Ils’agitdoncd’unefonction sur un domaine de R 2 et à valeurs dans R L’intérêt est que le graphe de cette fonction
Chapitre 6 - cours, examens
d’avoir d’autres valeurs que celles-ci (c’est le cas quand la fonction fest tabulée) – Il est possible de calculer f(t) pour un tquelconque, mais la primitive de f n’est pas connue, ou bien l’expression analytique de fest trop compliquée pour être explicitée (f(t) est par exemple le résultat d’un code de calcul trop complexe)
Jean-Bernard Baudin Frédéric Lahitète - cours-examensorg
Cours et exercices corrigés Jean-Bernard Baudin Sous-directeur du département de Chimie de l’École Normale Supérieure de la rue d’Ulm à Paris Frédéric Lahitète Professeur en PC au lycée Louis Barthou à Pau Valéry Prévost Professeur en BCPST au lycée Hoch à Versailles
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
• On ne change pas le rang d’une famille de vecteurs : - en ajoutant à l’un d’eux une combinaison linéaire des autres - en multipliant l’un d’eux par un scalaire non nul - en changeant l’ordre des vecteurs 6 3 Détermination du rang d’une famille de vecteurs Théorème :
Introduction td1 17
d’un manque de pratique dans la manipulation des outils : dérivées par-tielles, changement de variables, résolutions d’équations différentielles Il faut chercher, faire, re-chercher re-faire les exercices de TD, les anciens partiels et examens, et aussi les calculs et les preuves du cours pour pou-voir être à l’aise
700 tests psychotechniques et de raisonnement logique
d’un être humain Ils ne sont pas conçus pour cela Ils servent dans ce cas d’indicateurs pour évaluer certaines aptitudes et connaissances Lors des examens et concours, ils ont surtout pour fonction d’aider à classer les candidats en fonction du nombre de bonnes réponses dans le temps imparti 2 Des intelligences « multiples »
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Terminale S 1 F. Laroche
Calcul intégral corrigés http://laroche.lycee.free.frTerminale S
Calcul intégral Exercices corrigés
1. 1. Calcul de primitives 1
1. 2. Basique 1 1
1. 3. Basique 2 2
1. 4. Centre de gravité (d'après bac pro) 2
1. 5. QCM 1 3
1. 6. QCM 2 3
1. 7. QCM 3 4
1. 8. Calcul d'intégrales, fonction rationnelle 5
1. 9. Fonction rationnelle, France 2004 5
1. 10. ROC, Pondicherry 2005 6
1. 11. Aires, France 06/2008, 5 points 8
1. 12. Fonction intégrale, Liban 06/2008, 5 points 9
1. 13. Fonction intégrale, Pondicherry 2008, 4 pts 11
1. 14. Fonction, aire, équation, Polynésie 2006 12
1. 15. Approximation d'aire, Polynésie 2007 15
1. 16. Aires, Am. du Nord 2006 17
1. 17. Approcher ln(1+x), Antilles 2004 19
1. 18. Suite intégrales, France 2006 20
1. 19. Intégrales et suites, Am. Nord 06/2008, 4 pts 21
1. 20. Intégrale et suite 5 23
1. 21. Méthode d'Euler, Am. du Nord 2006 23
1. 22. Equa diff, intégrale, volume, Am. du Sud 2004 26
1. 23. Equa diff + fonction+intégrale, Antilles 2001 28
1. 24. La chaînette 31
1. 25. Primitive de ln 37
1. 26. Equation différentielle 38
1. 27. Equation différentielle et primitive 39
1. 28. Equation différentielle : transfusion 39
1. 29. Equation différentielle : populations 41
1. 30. Equation différentielle : poursuite 42
1. 31. Eq. différentielle : désintégrations successives 44
1. 32. Equation différentielle ROC 46
1. 33. ROC+eq. diff., Am. du Sud remplt 2007 47
1. 34. ²Population de rongeurs, France 2005 48
1. 35. Equa diff : Populations+probas, Pondich. 2006 50
1. 36. Equa diff, France et La Réunion 09/2008 3 pts 52
1. 37. Loi logistique, Pondicherry 06/2008, 7 pts 53
1. 38. Equa diff+exp, France rempl. 2005 55
1. 1. Calcul de primitives
a. 31( )( ² 2 )
xf x x xCorrection : 3 3
3 3 3'( )1 1 2 2 1 1 1 1( ) . '( ) ( ) ( 2) '( ) ( ),2 2 2 2 2( ² 2 ) ( ² 2 ) ( )
u xx xf xu x u x u x u xx x x x u x u( x) = x² + 2x, n - 1 = - 3, n = - 2, 21 1( ) ( ² 2 )4 4( ² 2 )²F x x xx x
b. ( )² 1 xf xx=- sur ]1 ; +∞[.Correction : 1 2 1 '( )( )² 1 2 ² 1 2 ( )
x x u xf xx x u x= = × = ×- - avec u(x) = x² - 1, 1 1( ) ln ( ) ln( ² 1)2 2F x u x x k= = - +.
c. ln( ) 1xf x xx= - + sur ℝ+*.Correction : ln 1 1( ) 1 1 l2n 1'( ) ( )2xf x x x xu x u xxx x= - + = - + × = -×+ ×avec u(x) = lnx,
( )2² 1 ² 1( ) ²( ) ln2 2 2 2x xF x x u x x x k= - + = - + +.1. 2. Basique 1
Soit la fonction f, définie par f(x) = (sin
2x - 3 sin x +8)cos x.
Déterminer sur
ℝ la primitive F de f telle que 3( ) 02FCorrection
f(x) = (sin2x - 3 sin x +8).cos x = cos x × sin2x - 3 cos x × sin x + 8 cos x ; u(x) = sin3 x, u'(x) = 3cos x sin²x, v(x) = sin² x, v'(x) = 2cos x sin x, w(x) = sin x, w'(x) = cos x.
Terminale S 2 F. Laroche
Calcul intégral corrigés http://laroche.lycee.free.fr3 21 3( ) sin sin 8 sin3 2F x x x x k= - × + × +.
3 23 1 3 3 3 3 1 3 2 9 48 59( ) 0 sin sin 8 sin 0 8 0 .2 3 2 2 2 2 3 2 6 6Fk k kπ π π π+ += ⇔ - × + × + = ⇔ - - - + = ⇔ = =
3 21 3 59( ) sin sin 8sin3 2 6F x x x x= - + +.
1. 3. Basique 2
1. Montrer que x
3 + 5x2 + 7x + 4 = (x + 3)(x2 + 2x + 1) + 1.
2. En déduire une primitive de la fonction f définie par
3 22 5 7 4 ( ) 2 1
x x xf x x x + + +=+ +sur ]-∞ ; -1[.Correction
3 2 225 7 4 ( 3)( ² 2 1) 1 1 1( )3 3² 2 1 ² 2 1 2 1( 1)
x x x x x xf xx xx x x xx xx+ + + + + + += = = + + = + ++ + + ++ ++.² 1( ) 32 1
xF x x x= + -+.1. 4. Centre de gravité (d'après bac pro)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j .Partie A : Calcul d'une primitive
On note
g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par ( )1 xg xx=+.1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; 2],
( )1 bg x ax= ++.2. En déduire une primitive de g sur l'intervalle [0 ; 2].
Partie B : Détermination du centre de gravité d'une plaque homogène On note f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : ( )11f xx=+.
On considère une plaque homogène formée par l'ensemble des points M(x ; y) du plan dont les
coordonnées vérifient les relations :0 2x≤ ≤ et ()0y f x≤ ≤. (Voir schéma ci-dessous).
1. Soit S l'aire de la plaque exprimée en unité d'aire. Calculer S.
2. Soit G le centre de gravité de la plaque. On admettra que les coordonnées (X ; Y) de G sont données par
les formules suivantes : 201X xf x dxS=∫ et ( )
2201
2Y f x dxS= ∫.
a. Calculer la valeur exacte de X, puis une valeur approchée arrondie au centième.Terminale S 3 F. Laroche
Calcul intégral corrigés http://laroche.lycee.free.fr b. Calculer la valeur exacte de Y , puis une valeur approchée arrondie au centième.Correction
On note g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par ( )1 xg xx=+. A. 1. ( )111g xx= -+. 2. ( )ln 1g x x= - +∫. B. 1. 202 ln3 0 ln1 2 ln3S g x dx= = - - + = -∫.
B. 2. a.
22 220 0