L’équation du troisième degré

L’équation du troisième degré Question: Comment trouver une solution à une équation de troisième degré 1 Mise en forme Soit une équation du troisième degré : (E) : ax3 +bx2 +cx +d = 0 avec a ,0 •Comme a est non nul, on divise par a : (E) : x3 + b a x2 + c a x + d a = 0 On pose alors : b′ = b a, c′ = c a, d′ = d a,

3 Résolution déquations avec Mathematica

Mathematica n’arrive pas a écrire les solutions de cette équation sous forme de radicaux Ce n’est pas étonnant car nous avons une équation de degré 5 et il n’existe en effet pas de méthode générale pour résoudre les équation de degré 5 3-Equations nb 42

3e Révisions équations

3) Résoudre l’équation (5x – 2)(8x + 5) = 0 Exercice 4 Soit C = (6x – 7)² - (2x – 3)² 1) Développer, réduire et ordonner C 2) Factoriser C 3) Résoudre l’équation (4x – 4)(8x – 10) = 0

Nouvelle m´ethode de r´esolution des ´equations du 3eme degr

soit ﬁnalement α = r −4p 3 γ = −4q α3 La solution s’exprime au moyen des fonctions cos et Arccos Cette m´ethode de fonctionne plus dans les situations suivantes, correspondant aux cas ou` il n’y a qu’une

RÉSOUDRE U NE ÉQUATIO -PRODUIT Eq3

Résoudre une équation consiste à travers toutes les valeurs de l’inconnue (souvent appelée x) qui vérifient l’équation Une équation-produit est généralement une équation du second degré (avec des x 2) qui se ramène à un produit égal à zéro On applique alors la règle suivante :

Chap 12 : Equations - La classe inversée de Mme TESSE

Résoudre une équation à 1 inconnue, c’est trouver toutes les valeurs possibles de cette inconnue Un nombre qui vériﬁe l’égalité est une solution de l’équation Rmq : pour résoudre une équation à une inconnue, on utilise les propriétés des égalités 3ÈME - CHAP 12 2

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - Maths & tiques

L’équation admet donc une unique solution #=√I11 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur

résolution déquatiuons à laide dExcel

les racines d'une équation Par racine, nous entendons les valeurs de x telles qu'une équation donnée s'annule Considérons le cas où nous voudrions obtenir les racines de la fonction L 2 T 6 3 T F 4, c'est‐à‐dire de résoudre l'équation 2 6 3 T F 4 L 0

3ème Cours : équations 1 Equations du premier degré à une

3ème Cours : équations 1 1 Equations du premier degré à une inconnue a) Définitions: Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu On désigne en général ce nombre inconnu par une lettre, et on l’appelle l’inconnue

L"équation du troisième degré

Question: Comment trouver une solution à une équation de troisième degré

1 Mise en forme

Soit une équation du troisième degré : (E) :ax3+bx2+cx+d=0 aveca?0 •Commeaest non nul, on divise para: (E) :x3+bax2+cax+da=0

On pose alors :b?=b

a,c?=ca,d?=da, l'équation devient alors : (E) :x3+b?x2+c?x+d?=0 •On fait un changement de variable pour éliminer le coefficient devantx2. On pose :

X=x+b?

3?x=X-b?3

On remplace alors dans l'équation (E)

X-b? 3? 3 +b??

X-b?3?

2 +c??

X-b?3?

+d?=0 X

3-b?X2+b?2

3X-b?327+b?X2-2b?3X+b?39+c?X-b?c?3+d?=0

3+?b?2

3-2b?23+c??

X-b?327+b?39-b?c?3+d?=0

X 3+? -b?2 3+c??

X+2b?327-b?c?3+d?=0

On pose alors :p=-b?2

3+c?etq=2b?327-b?c?3+d?

On obtient alors : (E') :X3+pX+q=0

On appelleéquation réduitedu 3edegré, l'équation du type :x3+px+q=0

2 L'équation du 3

edegré a au moins une solution On pose la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=x3+px+q •On calcule les limites en+∞et-∞ lim x→+∞f(x)=limx→+∞x3= +∞et limx→-∞f(x)=limx→-∞x3=-∞ •La fonctionfest continue surR(car c'est un polynôme) et 0?f(R)=R, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution à l'équation f(x)=0 paul milan1 TerminaleS

Pour en savoir plus

3 La formule de Cardan

Au XVIesiècle, des algébristes italiens ont découvert une méthodepour calculer une racine d'un polynôme du 3 edegré donné sous la forme réduite :x3+px+q •Pour tous réeluetvon a : (u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3 =3uv(u+v)+(u3+v3) (R) (u+v)3-3uv(u+v)-(u3+v3)=0

•L'observation de cette relation (R), semblable à la forme réduite conduit à poser comme

changement de variablex=u+v En identifiant cette relation (R) avec (u+v)3+p(u+v)+q=0 permet de poser : p=-3uvetq=-(u3+v3) Pour des raisons d'homogénéité, on préfère poser : u

3v3=-p3

27et (u3+v3)=-q

Enfin pour simplifier les calculs on pose :a=u3etb=v3, on a alors : ab=-p3

27eta+b=-q

•On est revenu à un problème où l'on connaît la sommeS=a+bet le produitP=ab. On sait queaetbsont alors solution de l'équation du second degré :X2-SX+P

On calcule de discriminant :Δ =S2-4P=q2+4p3

27=4p3+27q227

•Si 4p3+27q2?0, on obtient alors les solutions : a=S-⎷

2=-q-?

q2+4p327

2etb=S+⎷

2=-q+?

q2+4p327 2 Commeaetbsont les cubes respectifs deuetvet commex=u+v, on obtient alors : x=3? -q2-12?q2+4p327+3?-q2+12?q2+4p327

En rentrant le

2dans la racine, on obtient alors :

x=3? -q2-? ?q 2?

2+?p3?

3+3?-q2+?

?q 2?

2+?p3?

3 •Exemple : résoudrex3+3x+2=0 On a alors :p=3 etq=2 la formule de Cardan donne : x=3? -1-⎷1+1+3?-1+⎷1+1=3?-1-⎷2+3?-1+⎷2? -0,596071... paul milan2 TerminaleS

Pour en savoir plus

4 L'astuce de Bombelli

Nous avons vu dans la partie B que toute équation du troisièmedegré admet au moins une solution. Comment faire pour trouver cette solution quand

4p3+27q2<0

Bombelli est parti d'une équation où il connaissait une solution évidente.

Soitx3-15x-4=0

•x=4 est solution de cette équation en effet : 43-15×4-4=0 •4p3+27q2=4×(-15)3+27×(-4)2=-13 068<0 En appliquant malgré tout la formule de Cardan, on obtient : x=3?

2-⎷4-125+3?2+⎷4-125

2-⎷-121+3?2+⎷-121

2-11⎷-1+3?2+11⎷-1

Bombelli ne se décourage pas et décide provisoirement pour les calculs de poser : -12=-1. Il obtient alors après des calculs sur les cubes : x=2-⎷ -1+2+⎷-1=4 •En application de la formule de Cardan, on peut toujours essayer de résoudre : x

3-14x-12=0

Pour la petite histoire cette équation figurait parmi les questions auxquelles Einstein a répondu à l'occasion de l'épreuve d'algèbre de son baccalauréat en 1896!

Biographie

On ne sait pratiquement rien de la vie de Bombelli, sinon qu'ilest né à Bologne en 1526. Il fut le premier des grands mathématiciens italiens du XVI esiècle à apporter une impor- tante contribution à l'étude des équations algébriques du 3 eet du 4edegré. Peu de temps avant sa mort, il publie un ouvrage,Algebra, parte maggiore dell'aritmetica, divisa in tre libri(Bologne, 1572), qui contient un exposé systématique des récentes découvertes

en algèbre. Dans la préface du livre, il trace l'histoire de l'algèbre, parlant de Diophante,

encore inconnu en Europe. Il traite de la théorie des équations dont il étudie les racines, réelles et complexes, et montre que, dans le cas d'une équation cubique irréductible, les trois racines sont réelles. La définition qu'il donne des nombres négatifs et des nombres complexes et les règles de calcul qu'il utilise sont d'une forme très voisine de celle qu'on leur donne à notre époque. Il faut remarquer aussi que Bombelli, dans cet ouvrage, utilise une notation symbolique, premier essai de syntaxe algébrique moderne; il désigne uneinconnue par le symbole

1 souligné d'un demi-cercle, le carré de cette inconnue par le symbole 2 souligné d'un

demi-cercle, etc. paul milan3 TerminaleSquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

[PDF] L’équation du troisième degré

L"équation du troisième degré

1 Mise en forme

On pose alors :b?=b

X=x+b?

3?x=X-b?3

On remplace alors dans l'équation (E)

X-b?3?

X-b?3?

3-b?X2+b?2

3X-b?327+b?X2-2b?3X+b?39+c?X-b?c?3+d?=0

3+?b?2

3-2b?23+c??

X-b?327+b?39-b?c?3+d?=0

X+2b?327-b?c?3+d?=0

On pose alors :p=-b?2

3+c?etq=2b?327-b?c?3+d?

On obtient alors : (E') :X3+pX+q=0

2 L'équation du 3

Pour en savoir plus

3 La formule de Cardan

3v3=-p3

27et (u3+v3)=-q

27eta+b=-q

On calcule de discriminant :Δ =S2-4P=q2+4p3

27=4p3+27q227

2=-q-?

2etb=S+⎷

2=-q+?

En rentrant le

2dans la racine, on obtient alors :

2+?p3?

3+3?-q2+?

2+?p3?

Pour en savoir plus

4 L'astuce de Bombelli

4p3+27q2<0

Soitx3-15x-4=0

2-⎷4-125+3?2+⎷4-125

2-⎷-121+3?2+⎷-121

2-11⎷-1+3?2+11⎷-1

3-14x-12=0

Biographie

1 souligné d'un demi-cercle, le carré de cette inconnue par le symbole 2 souligné d'un