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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 1) En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

1) Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : A =ln8 1 ln 16 B = 1 ln16 2 C = 1 1 ln 2 4 D = 2) Exprimez en fonction de ln 2 et ln 3 les réels suivants : a =ln24 b =ln144 8 ln 9 c = 3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : 1 2ln3 ln2 ln 2 A = + + 1 ln9 2ln3 2 B = − Exercice n° 2

FONCTION LOGARITHME

ln( x + 1) + ln(2x + 1) = ln(( x + 1) (2 x + 1)) = ln(2 x2 + 3 x +1) Si a et b sont deux réels strictement positifs et n est un entier alors : ln 1 a = – ln(a) ln a b = ln(a) – ln(b) ln(a n) = n × ln(a) ln ( )a = 1 2 ln(a) En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les

La fonction logarithme népérien

Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[et (lnx)′ = 1 x 3 2 Limite en 0 et en l’inﬁni Théorème 6 : On a les limites suivantes : lim x→+∞ lnx =+∞ et lim x→0+ lnx =−∞ Démonstration : • Pour montrer la limite en +∞, on revient à la déﬁnition : Pour tout M > 0, si lnx > M alors, comme la fonction exp est

Equations mêlant logarithmes et exponentielles ( ) )(

7) ln(ex −3) =0 8) e12− lnx =1 9) lnex+1 =1 Exercice n°2 1) Déterminer les racines du polynôme PX()=+X2 4X−5 2) En déduire les solutions de l’équation e2x+=45ex 3) Résoudre les équations suivantes : a) ee2xx+−2=0 b) ee21xx+++−12e=0 c) eexx−2− +=10 Exercice n°3 - Equations mêlant logarithmes et exponentielles

Rédaction : résolution d’équation

NB : Dans la proposition en une seule ligne, x est une variable muette, et dans la proposition en plusieurs lignes, c’est une variable parlante 3 Durantleblocdecalcul,plusprécisémentlorsqu’onaélevéaucarré,onaperdul’équiva-lence Pourtoutx dansA ona x = √ 2x2 −1 −1/2 ⇒x2 −x−5/4 = 0 maispaslaréciproqueParexemple,icionn

FONCTION EXPONENTIELLE - Boss en Maths

ln(x) x Ici, la fonction x7 ln( ) « croît plus lente-ment» que la fonction x7 xau dénominateur Alors, dans ce cas, le logarithme ne remporte pas la comparaison des croissances et ainsi : lim x+1 ln(x) x = 0 En fait, cette comparaison est valable quelque soit la « force » de la puissance de x Ainsi, pour tout n2N lim x+1 ex xn = +1