x y + = ax by

7 2 Résoudre graphiquement un système d’équations linéaires CHOIX MULTIPLE 1 Quel graphique représente la solution du système linéaire suivant ? y = –2x y + 6 = 2x A B C C B A D D 2 Quel graphique représente la solution du système linéaire suivant ? –3x – y = –5 4x – y =

Résoudre graphiquement un système d’inéquations

1°/ Résoudre graphiquement les systèmes d’inéquations suivants : 3x – y + 4 < 0 x + 2y –2 > 0 x + 3y + 1 < 0 2x – y + 2 > 0 x – y – 1 < 0 2x + y + 2 > 0 2x + 3y – 6 < 0 2°/ Un artisan va chercher deux sortes de peinture chez un grossiste La première sorte est conditionnée en pots de 10 kg, la deuxième en pots de 25 kg

Systèmes : partie2 - AlloSchool

Résoudre graphiquement le système 2 2 2 35 2 3 4 xy xy Les équations du type correspondent en fait à des équations de droite La solution du système correspond aux coordonnées, dans un repère, du point d'intersection des deux droites on a tracé les deux droites associées au système Solution On lit les coordonnées du point d

Thème 5: Systèmes d’équations

70 THÈME 5 1C – JtJ 2020 Résoudre le système d’équations y=−2x+4 x−3y−9=0 Modèle 1 : résolution graphique d’un système d’équations Exercice 5 1: Résoudre graphiquement les systèmes suivants :

MS MARSELLA

7 2 Résoudre graphiquement un système d'équations linéaires Si on a un système linéaire de deux équations à deux inconnues, on peut voir chaque équation comme une droite Résoudre le système signifie : Trouver les valeurs de x ety qui satisfont les deux équations, c'est-à-dire les coordonnées des points qui sont sur les 2 droites

Systèmes de deux équations à deux inconnues

Résoudre un système graphiquement MÉTHODE A/ Transformer chaque équation pour l’écrire sous la forme y = ax + b B/ Représenter graphiquement les droites D1 et D2 ainsi définies C/ Lire les coordonnées de leur point d’intersection (cf chapitre "équation de droite") Exemple: Résoudre le système: Solution:

x y + = ax by

2 Système d’inéquations linéaires à deux inconnues Résoudre graphiquement un système d’inéquations linéaires à deux inconnues, c’est représenter dans un repère l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ) vérifient simultanément toutes les inéquations du système

NOM : SYSTEMES 1ère S

1) Traduire par un système d’inéquations les trois contraintes C 1, C 2 et C 3 2) Résoudre graphiquement le système Unités graphiques : 1 cm pour 2 livres sur chaque axe 3) On décide d’acheter 21 livres Quelles sont les différentes possibilités d’achat? 4) On décide d’acheter 25 livres Quelles sont les différentes

EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS

Les solutions du système sont donc les coordonnées des éventuels points d'intersection des deux droites Méthode : Pour résoudre graphiquement un système linéaire, on mettra les deux équations sous la forme y = ax + b puis on tracera les droites correspondantes Plusieurs cas sont possibles :

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2-3-42

345
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -70 1 1 xy CHAPITRE 1 Systèmes d"équations et d"inéquations linéaires I.

Systèmes d"équations linéaires .

1. Définition.

Un système de deux équations à deux inconnues x et y a pour forme """cybxacbyax a, a", b, b", c, c" sont des réels connus. Une solution du système est un couple de réels qui vérifie chacune des deux équations.

On peut généraliser la définition à des systèmes 3x3 ou n x n avec n un entier supérieur ou

égal à 2.

2. Résolution d"un système

Résoudre un système, c"est trouver tous les couples solutions des équations constituant le système. a. Résolution graphique

Méthode :

1) Ecrire les équations sous la forme y =..... x + .....

2) Tracer dans un repère les droites définies par les équations précédentes ;

3) Lire les coordonnées du point d"intersection des droites. Le couple de

coordonnées du point constitue le couple solution du système.

Exemple : Résoudre le système

6352
yxyx

2x + y = 5 donne y = -2 x + 5 et x - 3y = 6 donne y = 1

3x - 2

Pour tracer d1 on complète le tableau : Pour tracer d2 on complète : x 0 1 y 5 3

La solution

du système d"après le graphique est (3 ; -1). x 0 3

Y -2 -1

b. Résolution par substitution

Méthode :

on exprime une des inconnues en fonction des autres puis on remplace l"inconnue par cette expression dans les autres équations. On se ramène ainsi à la

résolution de système 2 x 2 ou encore à la résolution d"un équation à une inconnue.

Exemple : Résoudre le système

333222072411033

lzyxlzyxlzyx

1) on utilise la ligne l1 pour exprimer y en fonction x et z.

y=3x+3z-10

2) on remplace y par 3x+3z-10 dans l2 et l3

3)1033(32207)1033(24

zzxxzzxx 3) on obtient le système (S")

2710702

zxzx

On résoud ce système en posant z = 2x

D"où -7x-10(2x) = -27

-27 x = -27 x = 1.

Et donc z = 2.

4) on remplace x par 1 et z par 2 dans l1 :

163101033

yyzyx

5) on vérifie que le triplet ( 1 ;-1 ;2) et bien solution des trois équations.

Résolution par combinaison linéaire

Cette méthode consiste à faire disparaître des inconnues en additionnant membres à membres des équations après avoir multiplié certaines d"entre elles par un réel convenablement choisie.

Etude d"un exemple :

Résoudre le système (S)

)3(0)2(124)1(124 zyxzyxzyx 1 re étape : nous remarquons qu"en additionnant (1) et (2), nous obtenons une équation où ne figure plus que deux inconnues x et z :

8x + 2z = 2 (4)

ème étape : nous cherchons à obtenir une nouvelle équation où ne figure plus que x et z.

Pour cela, nous pouvons multiplier (3) par 2 et ajouter cette nouvelle équation à l"équation

(2). Nous obtenons alors

6x + 3z =1 (5) .

On résoud le système :

136228

zxzx

Il admet pour solution

3 1 3

1-==zetx

ème étape : nous reportons les valeurs de x et y dans une des 3 équations du départ, par

exemple dans (3) y=0. 4 ème étape : il suffit de vérifier que le triplet ( 1 3 ; 0 ; -1

3) est bien solution du système (S).

Exercice : résoudre le système

112354739452

zyxzyxzyx d.

Pivot de gauss.

La méthode de Gauss consiste à transformer un système en un système équivalent (c"est-

à-dire en un système admettant les mêmes solutions ) par utilisation des seuls opérations

élémentaires suivantes sur les lignes :

échange de deux lignes ;

multiplication d"une ligne par un nombre non nul addition d"une ligne avec une autre ligne pouvant avoir été multipliée.

Le but est d"obtenir un système triangulaire.

Résolvons le système suivant (s)

?????x+10y-3z=5

2x-y+2z=2

-x+y+z=-3 1

ère étape :

Eliminons x dans l"équation (2) e (3) en utilisant l"équation (1). multiplions l"équation (1) par -2 ; ajoutons membre à membre la nouvelle équation ainsi obtenue et l"équation (2) ; nous obtenons l"équation : -21 y + 8z = -8 (2"). ajoutons membre à membre les équations (1) et (3) ; nous obtenons l"équation :

11y - 2z = 2 (3")

Ecrivons alors le système (S

1) suivant, dans lequel :

l"équation (1) du système initial (S) est conservée ; l"équation (2) est remplacée par (2") ; l"équation (3) est remplacée par (3") ; (S 1)

221188215310

zyzyzyx 2

ème étape :

Eliminons y dans l"équation (3") en utilisant l"équation (2"). Multiplions l"équation (2") par 11 21
et ajoutons membre à membre la nouvelle équation ainsi obtenue et l"équation (3") ; nous obtenons l"équation : A

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-82

3456
-1 -2 -3 -4 -5 -60 1 1 xy A

4621 z = -4621 (3"").

Nous pouvons donc écrire le système (S") suivant, dans lequel les équations (1) et (2") du système (S

1) sont conservées et l"équation (3") est remplacée par (3"") :

(S") 21
46

214688215310

z zyzyx 3

ème étape : résolution

(S) a même ensemble de solutions que le système triangulaire (S") que l"on sait résoudre facilement. Le triplet solution du système est ( 2 ; 0 ; -1)

II. Systèmes d"inéquations linéaires

1. Inéquation linéaire à deux inconnues ;

Soient a,b et c trois réels tels que (a ;b) ≠(0 ;0). Dans un repère, d est la droite d"équation ax + by + c =0. Dans ce repère, l"ensemble des points M (x ; y ) tels que ax + by +c > 0 est un demi-plan de frontière d, qui ne contient pas d. L"autre demi-plan, la frontière d étant exclue, est l"ensemble des points M (x ; y) tels que ax + by +c <0.

Exemple : résolution graphique de

2x + 3y -6 < 0 ;

Dans un repère d"origine O, on

trace la droite d d"équation 2x + 3y -6 = 0 .

L"ensemble des points M (x ; y) tels

que 2x + 3y -6 < 0 est un demi- plan de frontière d. Les coordonnées de O ( 0 ; 0) vérifient l"inéquation donc les solutions de l"inéquation sont représentées par le demi-plan contenant O.

2. Système d"inéquations linéaires à deux inconnues.

Résoudre graphiquement un système d"inéquations linéaires à deux inconnues, c"est

représenter dans un repère l"ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y) vérifient

simultanément toutes les inéquations du système.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-12

34567
-1 -2 -3 -40 1 1 xy

Exemple : Résolution graphique du système

quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

[PDF] x y + = ax by

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2-3-42

Systèmes d"équations linéaires .

1. Définition.

égal à 2.

2. Résolution d"un système

Méthode :

1) Ecrire les équations sous la forme y =..... x + .....

2) Tracer dans un repère les droites définies par les équations précédentes ;

3) Lire les coordonnées du point d"intersection des droites. Le couple de

Exemple : Résoudre le système

2x + y = 5 donne y = -2 x + 5 et x - 3y = 6 donne y = 1

3x - 2

La solution

Y -2 -1

Méthode :

Exemple : Résoudre le système

333222072411033

1) on utilise la ligne l1 pour exprimer y en fonction x et z.

2) on remplace y par 3x+3z-10 dans l2 et l3

3)1033(32207)1033(24

2710702

On résoud ce système en posant z = 2x

D"où -7x-10(2x) = -27

Et donc z = 2.

163101033

5) on vérifie que le triplet ( 1 ;-1 ;2) et bien solution des trois équations.

Résolution par combinaison linéaire

Etude d"un exemple :

Résoudre le système (S)

8x + 2z = 2 (4)

6x + 3z =1 (5) .

On résoud le système :

136228

Il admet pour solution

1-==zetx

3) est bien solution du système (S).

Exercice : résoudre le système

112354739452

Pivot de gauss.

élémentaires suivantes sur les lignes :

échange de deux lignes ;

Le but est d"obtenir un système triangulaire.

Résolvons le système suivant (s)

2x-y+2z=2

ère étape :

11y - 2z = 2 (3")

Ecrivons alors le système (S

1) suivant, dans lequel :

221188215310

ème étape :

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-82

4621 z = -4621 (3"").

1) sont conservées et l"équation (3") est remplacée par (3"") :

214688215310

ème étape : résolution

II. Systèmes d"inéquations linéaires

1. Inéquation linéaire à deux inconnues ;

Exemple : résolution graphique de

2x + 3y -6 < 0 ;

Dans un repère d"origine O, on

L"ensemble des points M (x ; y) tels

2. Système d"inéquations linéaires à deux inconnues.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-12

Exemple : Résolution graphique du système