M canique du point

MECANIQUE DU POINT I) Cinématique du point matériel: 1) Référentiel: L’ensemble de tous les systèmes d’axes de coordonnées liés à un même solide de référence S constitue un repère Soit une horloge permettant de mesurer des durées ou intervalles de temps Si on choisit un instant origine, on

Cours de mécanique du Point Matériel

La connaissance du mouvement d’un point matériel revient à la connaissance de sa position en fonction du temps II 1 Repérage de l’espace du temps Il est indiqué par une horloge et dont l’unité de mesure du temps est la seconde (s) II 2 Repérage de l’espace des positions Il est défini par un repère et un système de coordonnées

Mécanique du point matériel Cours et exercices

Ce polycopie de cours et exercices de mécanique du point matériel est un moyen pédagogique destiné aux étudiants de la première année sciences et technologie (ST) du système LMD, il peut servir comme un support au cours dispensé aux étudiants

Mécanique du point - Université des Sciences et de la

Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université des sciences et de la technologie d'Oran Mohammed Boudiaf USTO-MB MECANIQUE DU POINT MATERIEL COURS et EXERCICES Dr ZIANI NOSSAIR Pr BOUTAOUS AHMED Université des sciences et technologie d’Oran Mohamed Boudiaf Algerie 2015/2016

Mécanique Du Point Matériel - Unisciel

Chapitre I : Cinématique du Point Matériel Mécanique du Point Matériel Hichem Chaabane ‐ Année 2011 ISITCom ‐ Hammam Sousse 4 Pour définir des positions dans l’espace, le système de coordonnées utilisé doit comprendre: un point de

Cours de mécanique du point - LPSC

5 ENERGIE MECANIQUE 93 6 THEOREME DE L’ENERGIE MECANIQUE 95 7 SYSTEMES NON DISSIPATIFS 95 7 1 Propriété 95 7 2 Diagramme d’énergie et états liés 95 7 3 Etats libres et liés Conditions d’équilibre 97 8 UTILISATION DE L’ENERGIE POTENTIELLE ET DU TRAVAIL 99 A 1 B 2

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

La position de chaque point doit toutefois être toutefois dé nie par un unique triplet (r;µ;z) r ne varie donc que de 0 à +1; µ varie de 0 à 2¼; z varie de ¡1 à +1 Remarque 1 2 Ce système de coordonnées est une ”version à 3 dimensions” du système de coordonnées polaires : z est la hauteur du point M par rapport au plan

Travaux dirigés corrigés Mécanique du Point Matériel

ℜ En tout point M(x,y,z) de l’espace, on définit une quantité physique f telle que : ( fx,y,z )= r2 avec r= OM et OM xi yj zk r = + + 1 Calculer le gradient du champ scalaire f, gradf, et la différentielle totale de f, df 2 Montrer qu’en tout point M, df= grad fd OM (dOM est le vecteur déplacement élémentaire) 3

Exercices et Controˆles Corrig´es de M´ecanique du Point Mat

L’objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des op´erations vectorielles en utilisant la fonction de Kronecker δij 1 et le tenseur de Levi-Civita ǫijk 2 Les indices i,j,k∈ {1,2,3} ´etant donn´e que l’on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3 1 la fonction de Kronecker est d´eﬁnie par δij = ˆ 1 si i

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MECANIQUE DU POINT

I) Cinématique du point matériel:

1) Référentiel:

L"ensemble de tous les systèmes d"axes de coordonnées liés à un même solide de référence S constitue un repère.

Soit une horloge permettant de mesurer des durées ou intervalles de temps. Si on choisit un instant origine, on

dispose alors d"un repère temporel ou chronologie.

L"ensemble d"un repère lié à un solide de référence S et d"une chronologie constitue un

référentiel lié à S.

2) Systèmes de coordonnées:

coordonnées cartésiennes: [O,ex,ey,ez]est le trièdre de référence coordonnées cylindriques:

On a:OM=rerzezoù [O,er,e,ez]est le trièdre de référence.

r est la distance à l"axe, q l"angle polaire et z la côte

Rem 1:

on obtient les coordonnées polaires en supprimant la coordonnée z.

Rem 2:

attention! er,esont des vecteurs mobiles.

Si on pose

der coordonnées sphériques:

On a:OM=reroù [O,er,e,e]est le trièdre de référence.

r est la rayon vecteur, ?[0,]est la colatitude et ?[0,2]est la longitude

Rem 2:

attention! er,e,esont des vecteurs mobiles. Si on pose calculent par : der d⃗eθ dt=⃗Ω?⃗eθ=φcosθ ⃗eφ?θ⃗eret de trièdre de Frenet: Test le vecteur tangent, N=RdT dsest le vecteur normal. Ils engendrent le plan osculateur. B=T?Nest la binormale. Nicolas CHIREUX page 1/11 ex eyez T N B er e ez M r r jq eree M

MECANIQUE DU POINT

3) Vitesse et accélération - Expressions diverses:

a) Vitesse: Soit un trièdre [O,x,y,z], on définit la vitesse par v=dOM dt

Frenetv=sTavec s=∥v∥

b) Accélération: Soit un trièdre [O,x,y,z], on définit l"accélération par a=d2OM dt2

Sphériques

Frenet

a=¨sTs2

RNavec R=v

3 ∥v?a∥rayon de courbure de la trajectoire

4) Moment cinétique et quantité de mouvement:

On définit la quantité de mouvement par p=mv. C"est une grandeur combinant un paramètre cinématique

(la vitesse) à un paramètre intrinsèque du système (la masse)

Pour les mouvements de rotation, on utilise plutôt le moment cinétique par rapport à un point O donné:

5) Cas particuliers:

a) Mouvement circulaire: On le caractérise par r = R et on appelle=la vitesse angulaire. On se placera dans le plan z = 0. La description dans le repère polaire ou dans celui de Frenet donne les mêmes résultats. Attention toutefois, l"équivalence e≡Tet er≡?Nn"est valable qu"en mouvement rigoureusement circulaire! On appelle vecteur rotation le vecteur porté par l"axe de rotation et dont le module vaut la vitesse angulaire. On a: =ez. On peut alors exprimer la vitesse et l"accélération d"un point M par: v=Re=RTsoit v=?OM a=R e?R2er=RTR2N

Si le mouvement est uniforme, on a a=?R2er=R2N. L"accélération est normale et centripète.

Nicolas CHIREUX page 2/11

a=¨r?r2?rsin2 2er2rr¨?rsincos 2e2rsin rsin ¨2rcos  e

er≡?N e ≡T R

MECANIQUE DU POINT

b) Mouvement à accélération centrale:

Par définition l"accélération du point M est colinéaire au rayon vecteur. On pose: a=?fr,eret on a :

OM?a=0

Propriétés:

Le mouvement est plan: En effet avec 0=OM?mv, on a d0 0. On posera donc: 0=mCet on en déduit que le mouvement est plan.

Loi des aires: On aOM=reret v=rerre, 0=mr2 ez=mCd"où C=r2

L"aire hachurée dS vaut dS=1

2r2ddonc la vitesse aréolaire est constante:

dS dt=C 2.

Ce résultat est connu sous le nom de loi des aires: en des temps égaux le rayon vecteur balaie des aires égales.

Formules de Binet: pour l"étude des trajectoires des mouvements à force centrale, il peut être très intéressant

d"utiliser les formules de Binet. On les obtient en éliminant formellement le temps des expressions de

v2et de aen utilisant C=r2et en exprimant le tout en fonction de u=1 r. On obtient les deux formules de Binet: v2=C2[u2d u d 2 a=?C2u2[ud2u d2]er

6) Changement de référentiel:

Soient deux référentiel R et R" caractérisés par [aO"]R=aO"et par le vecteur rotation On montre en utilisant le fait que les référentiels sont des solides de référence et en utilisant les relations entre vitesses pour deux points d"un même solide que si uest un vecteur de R" alors sa dérivée par rapport au temps par rapport à R peut se calculer sans exprimer les coordonées de udans R par la formule:[du dt]

R=[du

dt] Soit OM=OO"O" M. En dérivant par rapport au temps, on obtient: [dOM dt]

R=[dOO"

dt]

R[dO" M

dt] Soit va=[dOM dt] R la vitesse absolue et vr=[dO" M dt] R" la vitesse relative, l"expression (1) devient: Nicolas CHIREUX page 3/11 rrdq

OR[O,x , y, z]

R"[O",x", y", z"]

MECANIQUE DU POINT

Pour les accélérations:

2OM

dt2] R =[d

2OO"

dt2] R [d

2O" M

dt2] R"

Soit aa=[d2OM

dt2] R l"accélération absolue et ar=[d2O" M dt2] R" l"accélération relative, on a:

II) Dynamique du point matériel:

1) Théorèmes généraux en référentiel galiléen:

Principe fondamental de la dynamique:

Dans un référentiel galiléen R, si un point matériel est soumis à un système de forces de résultantef alors:

dp dt=f Rem: attention, si la masse du système varie dp dt≠ma!

Théorème du moment cinétique:

Dans un référentiel galiléen R, si un point matériel est soumis à un système de forces de résultantef alors:

d0

dt=M0f=OM?foù M est le point d"application de la force f

Théorème de l"action et de la réaction:

Dans un référentiel galiléen R, soient deux point A et B isolés. Si A exerce sur B la force fABet si B

exerce sur A la force

Rem 1:

attention, si on n"a plus affaire à des points matériels mais à des systèmes fABet fBAne sont

plus portés par la droite AB.

Rem 2:

si les actions ne se propagent pas instantanément, ce théorème devient faux!

2) Théorèmes généraux en référentiel non galiléen:

Dans un référentiel non galiléen R", il faut ajouter au bilan des forces, les forces d"inertie d"entrainement

fie=?maeet de Coriolis fic=?mac.

Principe fondamental de la dynamique:

Dans un référentiel non galiléen R", si un point matériel est soumis à un système de forces de résultantef

alors: [dp dt]

R"=ffiefic

Théorème du moment cinétique:

Nicolas CHIREUX page 4/11

MECANIQUE DU POINT

Dans un référentiel non galiléen R", si un point matériel est soumis à un système de forces de résultantef

alors: [d0

Rem 1: lorsqu"on étudie un équilibre relatif - i.e. un équilibre dans R"!-, ficn"intervient pas puisqu"elle est

proportionnelle à vrdonc nulle!

Rem 2:

lorsqu"on se place en référentiel terrestre - étude du pendule de Foucault, chute libre avec déviation vers

l"est...-, la force d"inertie d"entrainement est comprise dans le poids mg car gest la somme de l"accélération d"entrainement et de l"attraction gravitationnelle ATMexercée par la Terre sur le système M. III) Energie cinétique - Energie potentielle - Energie mécanique:

1) Travail - Théorème de l"énergie cinétique:

Soit un point M de R soumis à une forcef. On définit le travail élémentaire de la force flors du déplacement dMpar: W=f?dM.

On a alors :

W=∫

M2f?dM=∫

t1 t2f?vdt. L"énergie cinétique d"un point matériel de masse m et de vitesse vest définie par: Ec=1 2mv2. Théorème de l"énergie cinétique (TEC):

La variation d"énergie cinétique d"un point entre deux instants dans un référentiel donné est égale au travail des

forces qui s"exercent sur le point entre ces deux instants

Ec2?Ec1=W12

Ce théorème est très utile pour résoudre les problèmes à un seul degré de liberté. On peut aussi l"utiliser sous la

forme du théorème de la puissance cinétique à savoir: dEc dt=f?v

Rem : attention, si la masse du système varie le théorème de l"énergie cinétique ne s"applique plus. En effet, sa

démonstration à partir du pfd suppose que la masse m du système est constante.

2) Force conservative - Energie potentielle:

Une force est conservative s"il existe une fonction scalaire U telle que: f=?gradU. On dit alors que la

force fdérive du potentiel - ou énergie potentielle U.

Si on cherche le travail de cette force

flors du déplacementM1M2, on a:

W=∫

M2f?dM=?∫

M2gradU?dM=?∫

M1 M2 dUd"après la propriété fondamentale du gradient. Alors:

Le travail d"une force conservative lors d"un déplacement M1M2 ne dépend pas du chemin suivi mais

seulement du point de départ et du point d"arrivée: il est égal à la diminution d"énergie potentielle.

3) Energie mécanique:

Lorsqu"on est en présence de forces conservatives, le théorème de l"énergie cinétique s"écrit:

On appelle énergie mécanique la quantité: Em=EcU Nicolas CHIREUX page 5/11 M dM

MECANIQUE DU POINT

Si le système n"est soumis qu"à des forces conservatives, son énergie mécanique se conserve au cours du temps.

On appelle

intégrale première du mouvement toute quantité ne faisant intervenir que des dérivées premières par

rapport au temps qui se conserve au cours du temps. Dans le cas présent, l"énergie mécanique est une intégrale première du mouvement.

Si le système est soumis en plus des forces conservatives à des forces non conservatives comme les frottements

alors:

Ec=WconservativesWnonconservatives=?UWnonconservativeset E=Wnonconservatives

3) Equilibre et stabilité:

Un point est à l"équilibre si son énergie potentielle est minimale en ce point. Cela correspond à f=0. En

effet: dEp

dx=0?grad Ep=0?f=0où x est un paramètre caractérisant le mouvement de M.

Pour que l"équilibre soit stable, il faut que le mouvement du point M au voisinage de ce point soit celui d"un

oscillateur harmonique. On montre que cela correspond à la condition: d2Ep dx20. C"est un minimum d"énergie potentielle.

Démonstration :

supposons pour simplifier que O [0,0,0] soit la position d"équilibre (on peut toujours s"y ramener

par un subtil changement d"origine!). Développons Epxà l"ordre 2 au voisinage de cette position d"équilibre. On obtient: dx ox2

2d2Ep

dx2 o Or par définition de la position d"équilibre le terme d"ordre 1 est nul. Posons k=d2Ep dx2 o et écrivons la conservation de l"énergie mécanique:

EcEp=cte?1

2mx2Ep01

2k x2=cte?m¨xk x=0.

On retrouve bien l"équation du mouvement de l"oscillateur harmonique à une dimension si et seulement si k>0 soit

d2Ep dx20 cqfd!!

On peut bien sur généraliser à trois dimensions. On remarque aussi que la pulsation des petites oscillations autour

de la position d"équilibre est donnée par 0=k m IV) Oscillateur harmonique - Oscillateur amorti - Oscillateur forcé :

1) L"oscillateur harmonique:

On appelle oscillateur harmonique à une dimension tout système mécanique dépendant d"un seul paramètre décrit

par l"équation différentielle:

¨X0

2X=0où 0est la pulsation des oscillations. La période T vaut T=2

0

On a vu que tout mouvement d"un système soumis à des forces conservatives au voisinage d"une position

d"équilibre stable est du type oscillateur harmonique. C"est donc un mouvement très général

Exemple:

soit un point M de masse m suspendu à un ressort de raideur k et de longueur à vide L0. Nicolas CHIREUX page 6/11

MECANIQUE DU POINT

Le sustème est soumis à son poids mgezet

à la force de rappel du ressort

?kL?L0ez. Le pfd s"écrit:

A l"équilibre:

0=mg?kLeq?L0

D"où: m¨xkx=0

On peut remarquer que le poids n"apparait plus.

C"est normal car le paramètre x est défini depuis la position d"équilibre et pas depuis la longueur à vide. C"est le cas dans

99.99% des exercices avec ressorts. Donc dans l"équation

finale, le poids ne doit plus apparaître!

2) L"oscillateur amorti:

On ajoute au bilan de l"oscillateur harmonique

en plus de la force de rappel en -kx avec k=d2Ep dx2 o une force de frottement fluide en ?fv. L"équation générale du mouvement devient:

¨x1

x02x=0avec =f m et 0= k m

t est le temps de relaxation: c"est l"ordre de grandeur du temps que met le système, pour f faible, à regagner sa

quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

[PDF] M canique du point - CHIREUX

MECANIQUE DU POINT

I) Cinématique du point matériel:

1) Référentiel:

2) Systèmes de coordonnées:

Rem 1:

Rem 2:

Si on pose

Rem 2:

MECANIQUE DU POINT

3) Vitesse et accélération - Expressions diverses:

Frenetv=sTavec s=∥v∥

Sphériques

Frenet

RNavec R=v

4) Moment cinétique et quantité de mouvement:

5) Cas particuliers:

MECANIQUE DU POINT

Propriétés:

L"aire hachurée dS vaut dS=1

2r2ddonc la vitesse aréolaire est constante:

6) Changement de référentiel:

R=[du

R=[dOO"

R[dO" M

OR[O,x , y, z]

R"[O",x", y", z"]

MECANIQUE DU POINT

Pour les accélérations:

2OM

2OO"

2O" M

Soit aa=[d2OM

II) Dynamique du point matériel:

1) Théorèmes généraux en référentiel galiléen:

Principe fondamental de la dynamique:

Théorème du moment cinétique:

Théorème de l"action et de la réaction:

Rem 1:

Rem 2:

2) Théorèmes généraux en référentiel non galiléen:

Principe fondamental de la dynamique:

R"=ffiefic

Théorème du moment cinétique:

MECANIQUE DU POINT

Rem 2:

1) Travail - Théorème de l"énergie cinétique:

On a alors :

W=∫

M2f?dM=∫

Ec2?Ec1=W12

2) Force conservative - Energie potentielle:

Si on cherche le travail de cette force

W=∫

M2f?dM=?∫

M2gradU?dM=?∫

3) Energie mécanique:

MECANIQUE DU POINT

On appelle

3) Equilibre et stabilité:

Démonstration :

2d2Ep

EcEp=cte?1

2mx2Ep01

2k x2=cte?m¨xk x=0.

1) L"oscillateur harmonique:

¨X0

2X=0où 0est la pulsation des oscillations. La période T vaut T=2

Exemple:

MECANIQUE DU POINT

à la force de rappel du ressort

A l"équilibre:

0=mg?kLeq?L0

D"où: m¨xkx=0

On peut remarquer que le poids n"apparait plus.

99.99% des exercices avec ressorts. Donc dans l"équation

2) L"oscillateur amorti:

On ajoute au bilan de l"oscillateur harmonique

¨x1