Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de
Euler implicite inconditionnellement stable analyse de von Neumann (complémentaire à la notion d’équation équivalente introduite précédemment) Bilan : La preuve utilise des propriétés assez fortes des matrices du schéma (positivité, valeurs propres explicites, dominance diagonale stricte) → besoin d’un outil plus général :
Chapitre 3 : Méthode des différences finies (1D)
Un schéma est explicite si ou Dans ce cas, on obtient directement la solution à un temps n+1 (cf section 2 1) à partir de la solution aux temps précédents Dans le cas opposé, le schéma est implicite La solution à temps n+1 se trouve comme la solution d’un système linéaire (on ignore les sources)
Chapitre 2 METHODE DES DIFF ERENCES FINIES
Les sch emas explicite, implicite et de Crank-Nicholson ne sont que des cas par-ticuliers du -sch ema Ce dernier poss ede des termes communs avec le sch ema a 6 points dont nous donnons le d eveloppement ci-dessous Le sch ema d’ordre le plus elev e etant le sch ema a 6 points, d’ordre 2 en temps et 4 en espace, on peut donc
G ALLAIRE Cours no 5 — le 11/I/2016
j)1≤j≤N la solution discr`ete du sch´ema implicite Alors elle v´erifie l’in´egalit´e kunk 2 ≤ ku 0k 2 Donc, le sch´ema implicite est inconditionnellement stable en norme L2 D´emonstration On multiplie par (∆t∆x)un j la formule du sch´ema implicite un j −u n−1 j ∆t +ν −un j−1 +2u n j −u n j+1 (∆x)2 = 0
TP6:Résolutiondel’équationdelachaleur(différencesfinies
Important : Partir du fichier main cc et faire un schéma du code (liens entre les diffé-rentesclasses) 2 AfficheravecGnuplot lasolutionobtenue 3 Que se passe t-il si un des paramètres n’est pas donné dans le fichier de données? Il faut retirerlesdeuxlignes:lenomduparamètreetsavaleur
Différences finies pour la résolution numérique des équations
Concentrons nous maintenant sur la mécanique des fluides numérique Les équations, typi-quement des EDP sont un modèle de la réalité Les solutions exactes des modèles de la méca-
Approximation par différences finies de l’équation de transport
On approche l’EDP par une équation discrète/un schéma (consistance) et on espère que la solution du schéma approche bien la solution de l’EDP (convergence) MAIS ce n’est pas toujours le cas (la stabilité est nécessaire dans le cas linéaire) En général, la solution de ces EDPs ne peut pas être calculée analytiquement, on
RESOLUTIONNUMERIQUE, DISCRETISATIONDESEDPETEDO
I 6Notiondestabilité 3 La représentation standard des réels choisie par les principaux constructeurs d'ordinateur est sousformedenombre ottantsoùb = 2 eta,n sontdeuxnombresbinaires
Schema d’Euler explicite´
Schema d’Euler explicite´ Definition 1´ Etant donn´ es un pas de temps´ tet une suite d’instants (tn = t0 + n t) n2N, le sch´ema d’Euler explicite associe´ a l’` equation diff´ ´erentielle
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