Le second degré

Fibonacci trouve 41/12 pour solution du 1er problème, 1,3688081075 pour le 2e et 47 pour le 3e carrées et polynômes du second degré une inéquation

Le second degré - lyceedadultesfr

1 1 Le trimôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefficients réels, de la forme : P(x) = ax2 + bx + c avec a , 0 Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P 1(x) = x2 + 2x 8 P 2(x) = 2x2 + 3x 14 P 3(x) = x2 + 4x 5 1 2 Quelques exemples de

(IN)ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ - Café pédagogique

(IN)ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ Les problèmes du second degré sont des problèmes qui peuvent se ramener à une équation de la forme ax bx c2 + + = 0 Depuis plus de deux mille ans avant notre ère, on sait résoudre certains de ces problèmes, mais c’est aux neuvième et dixième siècles que le mathématicien perse

SECOND DEGRE (Partie 2) - maths et tiques

I Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax2+bx+c=0 où a, b et c sont des réels avec a≠0 Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2+bx+c Exemple : L'équation 3x2−6x−2=0 est une équation du second degré

CHAPITRE Problèmes du second degré 4

25 Seules g et h sont des fonctions polynômes du second degré 26 Seules h et k sont des fonctions polynômes du second degré 27 1 a ˙ 0 2 a ˝ 0 3 a ˝ 0 4 a ˙ 0 28 Seules 2 et 4 peuvent être des fonctions polynômes du second degré 29 f et h sont décroissantes puis croissantes, tandis que g et k sont croissantes puis

Equation, inéquation et système - Free

Situations à résoudre Exercice Équation du second degré Exercices Contraintes de fabrication Distance de freinage Une entreprise fabrique deux sortes de pistons P1 et P2 à l’aide de deux machines A et B Pour fabriquer le piston P1, on utilise la machine A pendant 2 h et la machine B pendant 2 h

Problèmes du 1 degré et du 2 degré

2 – On ramène le problème à la résolution d’une équation (inéquation) du 1er degré à une inconnue 3 – On résout l’équation (inéquation) et on détermine l’ensemble des solutions 4 – On interprète l’ensemble des solutions et on retient que les solutions adéquates

Cours de mathématiques ECT 1ère année Chapitre 2 Équations et

3 TRINÔME DU SECOND DEGRÉ: ax2 +bx +c, AVEC a =0 3 1 Résolutiondel’équation ax2 +bx +c =0 Déﬁnition 3: Discriminant Soient a, b et c des réels avec a =0 On appelle discriminant du trinôme du second degré ax2 + bx +c le nombre, noté∆, déﬁnipar: ∆=b2−4ac Théorème1: Soient a,b et c desréels avec a =0 Trois cas sont

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

1.3 Forme canonique du trinôme

2 Racines du trinôme

2.1 Définition

2.2 Le discriminant est positif

2.3 Le discriminant est nul

2.4 Le discriminant est négatif

2.5 Conclusion

3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines

3.1 Factorisation du trinôme

3.2 Somme et produit des racines

3.3 Application

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

4.1 Le discriminant est positif

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

4.3 Conclusion

5 Représentation du trinôme

6 Équation paramètrique

7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré

7.1 Équation rationnelle

7.2 Inéquation rationnelle

7.3 Équation bicarrée

7.4 Équation irrationnelle

7.5 Somme et produit de deux inconnues

8 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré

8.1 Problème de résistence équivalente

8.2 Un problème de robinet

8.3 Une histoire de ficelle

19 Paul Milan 1 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

1Laformecanoniquedutrinôme

1.1Letrimômeduseconddegré

Définition 1 :

On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme : P(x)=ax2+bx+caveca,0Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P

1(x)=x2+2x8

2(x)=2x2+3x14

3(x)=x2+4x5

1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques

La forme canonique d"un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une "astuce" qui consiste à rajouter un terme

puis à l"oter de façon à obtenir le début d"un carré parfait.Exemple1 : SoitP1(x)=x2+2x8

Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de (x+1)2=x2+2x+1. On ajoute1puis on le soustrait, ce qui donne : P

1(x)=x2+2x+118

=(x+1)29forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =(x+1)232 =(x+13)(x+1+3) =(x2)(x+4)Exemple2 : SoitP2(x)=2x2+3x14 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici2. P

2(x)=2

x 2+32 x7!Paul Milan 2 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

on considère que x 2+32 x! est le début de x+34 2 =x2+32 x+916

Cela donne :

=2 x 2+32 x+916 916
7! =2266664 x+34 2 916

7377775

=2266664 x+34 2 12116
3

77775forme canonique deP2(x)

on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2266664 x+34 2 114

2377775

=2 x+34 114
x+34 +114
=2(x2) x+72 !Exemple3 : SoitP3(x)=x2+4x5 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici1. P

1(x)=x24x+5

on considère que x24xest le début de(x2)2=x24x+4. Cela donne : =x24x+44+5 =h(x2)24+5i =h(x2)2+1iforme canonique deP2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1.3

Forme canonique du trinôme

Soit un trinôme du second degré :P(x)=ax2+bx+c

On factorise para, cela donne :

P(x)=a

x 2+ba x+ca !Paul Milan 3 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

on considère quex2+ba xest le début de x+b2a! 2 =x2+ba x+b24a2.

Cela donne :

=a" x 2+ba x+b24a2! b24a2+ca =a266664 x+b2a! 2 b24a2+ca 3 77775
=a266664 x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Théorème 1 :

La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :

P(x)=a266664

x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule

un peu difficile à mémoriser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.

2Racinesdutrinôme

2.1Définition

Définition 2 :

Les racines d"un trinômes sont les solutions de l"équation : ax

2+bx+c=0Définition 3 :

On pose =b24ac. L"équationax2+bx+c=0devient donc : a

266664

x+b2a! 2 4a23

77775=0

Comme le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de, cette quantité est appelé discriminant.Paul Milan 4 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

2.2Lediscriminantestpositif

Comme le discriminantest positif, la forme canonique se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

2a1

CCCCA=0

On obtient alors deux solution :

x+b2ap

2a=0oux+b2a+p

2a=0

On obtient alors :

x 0=b+p

2aoux00=bp

2aExemple : Résoudre dansR:2x2+3x14=0

On calcule:

=b24ac =3242(14) =9+112 =121 =112 Commeest positif, il existe deux solutions distinctesx0etx00: x 0=b+p

2a=3+114

=2 x 00=bp

2a=3114

=72

On conclut par :

S=( 72
;2)

2.3Lediscriminantestnul

Comme le discriminantest nul, la forme canonique correspond à un carré parfait. Elle se factorise en : a x+b2a! 2 =0

On obtient alors qu"une seule solution :

0=b2aPaul Milan 5 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

Exemple : Résoudre dansR:3x218x+27=0

On calcule:

=b24ac =1824327 =324324 =0 Commeest nul, il n"existe qu"une seule solutionx0: x

0=b2a=186

On conclut par :

S=f3g

2.4Lediscriminantestnégatif

Comme le discriminantest négatif la forme canonique ne se factorise pas. Il n"y a donc aucune solution à l"équation du second degré.Exemple : Résoudre dansR:x2+4x5=0

On calcule:

=b24ac =424(1)(5) =1620 =4 Commeest négatif, il n"y a pas de solution. On conclut par : S=?

2.5Conclusion

Théorème 2 :

Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant =b24ac. 1.

Si >0il existe deux racines :

x 0=b+p

2aoux00=bp

2a 2. Si =0il n"existe qu"une racine (appelée racine double) - : x 0=b2a 3. Si <0il n"existe aucune racinePaul Milan 6 sur21 Première S

3 FACTORISATION DU TRINÔME, SOMME ET PRODUIT DES RACINES

desracines

3.1Factorisationdutrinôme

Si le discriminant est positif. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

2a1

CCCCA=0

En remplaçant par les racinesx0etx00, nous avons alors : a(xx0)(xx00) De même si le discriminant est nul. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a x+b2a! 2 =0 En remplaçant par la racinex0=b2a, nous avons alors : a(xx0)2Exemples : 1.

Factoriser le trinôme suivant : P(x)=2x2+3x14

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que les racines de ce trinôme sont :72 et2, donc :

P(x)=2

x+72 x2) Nous retrouvons le résultat que nous avons démontré avec la forme canonique. 2.

Factoriser le trinôme suivant : Q(x)=3x218x+27

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que la racine de ce trinôme est3, donc :

Q(x)=3(x3)2Théorème 3 :

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cadmet deux racinesx0etx00, il peut se factoriser sous la forme :

P(x)=a(xx0)(xx00)

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cadmet une racinex0, il peut se factoriser sous la forme :

P(x)=a(xx0)2

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cn"admet pas de racine, il ne peut se factoriserPaul Milan 7 sur21 Première S

3 FACTORISATION DU TRINÔME, SOMME ET PRODUIT DES RACINES

3.2Sommeetproduitdesracines

Soit le trinômef(x)=ax2+bx+c. Nous nous plaçons dans le cas où le discrimenant est positif. Il y a donc deux racinesx0etx00. Le trinôme peut alors se factoriser en : f(x)=a(xx0)(xx00)

Developpons :

f(x)=a(x2x00xx0x+x0x00) =ahx2x0+x00x+x0x00i =ax2a(x0+x00)x+ax0x00

On poseS=x0+x00etP=x0x00, on a alors

f(x)=ax2aS x+aP En identifiant à :f(x)=ax2+bx+c, on obtient alors : aS=bdoncS=ba aP=cdoncP=ca

Exemple : Soit le trinômef(x)=2x2+3x14

Nous savons que ce trinôme admet deux solutions72 et2, d"après notre résultat : S=ba =32 ce qui se vérifie72 +2=7+42 =32 P=ca =142 =7ce qui se vérifie72

2=7Théorème 4 :

Si un trinômef(x)=ax2+bx+cadmet deux racines, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=ba etP=ca 3.3

Application

Parfois, certaines équations admettent des solutions très simples que l"on appellent "racines évidentes". Lorsque l"on connaît une telle solution, le produit des racines permet alors de trouver la seconde.Exemples

Paul Milan 8 sur

Première S

4 SIGNE DU TRINÔME ET INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

Résoudre l"équation : 2x25x+3=0

La somme des coefficients est nulle, donc

0=1est racine évidente car2(1)25(1)+3=25+3=0

P=ca =32 doncx00=Px 0=32 S=( 1;32 2.

Résoudre l"équation : 5x2+2x3=0

La somme des coefficients extrèmesa+c=53=2egale celui du milieub=2, alors : x

0=1est racine évidente car5(1)2+2(1)3=5+23=0

P=ca =35 doncx00=Px 0=35 S=( 1;35 degré

4.1Lediscriminantestpositif

Si le discriminant est positif, le trinôme se factorise en :

P(x)=a(xx0)(xx00)

En supposant quex0>x00, faisons un tableau de signes :x1x00x0+1xx00 +xx000 (xx0)(xx00)+0 0

+a(xx0)(xx00)signe dea0signe dea0signe deaConclusion : Le signe du trinôme est du signe deaà l"extérieur

des racines et du signe deaà l"intérieur.Exemple : Signe de3x2+7x+6 Il n"y pas de racine immédiate, calculons alors de discriminant : =724(3)(6) =49+72 =121 =112Paul Milan 9 sur21 Première S

4 SIGNE DU TRINÔME ET INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

Comme le discriminant est positif, le trinôme admet deux racines : x

0=7+116=46=23

etx00=7116=186=3 Comme le coefficient devantx2est négatif(3), le trinôme est négatif à l"extérieur des racines et positif à l"intérieur.

Nous avons alors le tableau de signes suivant :x1

3+13x2+7x+60

4.2Lediscriminantestnulounégatif

Si le discriminant est nul, le trinôme se factorise en :

P(x)=a(xx0)2

Comme(xx0)2est un carré, il est soit nul soit positif. Donc le trinôme est soit nul soit du signe dea. On a alors le tableau de signe suivant :x1x0+1a(xx0)2Signe dea0 Signe deaSi le discriminant est négatif, il n"a donc pas de racine. Il possède donc un signe constant. On montre alors qu"il est du signe dea.

4.3Conclusion

Théorème 5 :

Le signe du trinôme dépend du discriminant :

2Si>0, le trinôme est du signe deaà l"extérieur des racines

et du signe deaà l"intérieur.

2Si =0, le trinôme est soit nul, soit du signe dea.

2Si<0, le trinôme est toujours du signe dea.Paul Milan 10 sur21 Première S

5 REPRÉSENTATION DU TRINÔME

5Représentationdutrinôme

Théorème 6 :

La représentation du trinôme est une parabole dont les carac- téristiques dépendent du signe du coefficientaet du signe du discrimimant. Les coordonnées du sommet de la parabole sont données par la forme canonique :S b2a;4a!Remarque : La forme canonique a pour expression : y=a266664 x+b2a! 2 4a23 77775
Pour trouver l"extremum du trinôme, il suffit de rendre minimum la quantité : x+b2a! 2 4a

Ceci est obtenu pour :

x=b2aon trouve alorsy=4a

On peut résumer ces résulats par le tableau suivant :>0 =0<0a>0a<0Paul Milan 11 sur21 Première S

6 ÉQUATION PARAMÈTRIQUE

Sia>0la parabole est tournée vers le haut.

Sia<0la parabole est tournée vers le bas.

Si>0la parabole coupe deux fois l"axe des abscisses. Si =0la parbole est tangente à l"axe des abscisses.

Si<0la parabole ne coupe pas l"axe des abscisses.

6Équationparamètrique

Définition 4 :

On appelle équation paramétrique de paramètrem, une équation d"inconnuexdont se propose de déterminer le nombre de

solutions, leur signe, . . . suivant les valeurs du paramètrem.Exemple : Déterminer le nombre de solutions de l"équation para-

mètrique suivante selon les valeur dem, puis visualiser les résultats obtenus. Montrer que toutes les courbes passent par un point que l"on déterminera. (m1)x22mx+m+3=0 (Em) Pour que cette équation soit du second degré, il faut que le coefficient devantx2soit non nul. Sinon l"équation est du premier degré. 1. Si m=1, alors l"équation est du premier degré.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Le second degré

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme

1.1 Le trinôme du second degré

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

1.3 Forme canonique du trinôme

2 Racines du trinôme

2.1 Définition

2.2 Le discriminant est positif

2.3 Le discriminant est nul

2.4 Le discriminant est négatif

2.5 Conclusion

3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines

3.1 Factorisation du trinôme

3.2 Somme et produit des racines

3.3 Application

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

4.1 Le discriminant est positif

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

4.3 Conclusion

5 Représentation du trinôme

6 Équation paramètrique

7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré

7.1 Équation rationnelle

7.2 Inéquation rationnelle

7.3 Équation bicarrée

7.4 Équation irrationnelle

7.5 Somme et produit de deux inconnues

8 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré

8.1 Problème de résistence équivalente

8.2 Un problème de robinet

8.3 Une histoire de ficelle

19 Paul Milan 1 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

1Laformecanoniquedutrinôme

1.1Letrimômeduseconddegré

Définition 1 :

1(x)=x2+2x8

2(x)=2x2+3x14

3(x)=x2+4x5

1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques

1(x)=x2+2x+118

2(x)=2

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

Cela donne :

7377775

77775forme canonique deP2(x)

2377775

1(x)=x24x+5

Forme canonique du trinôme

On factorise para, cela donne :

P(x)=a

2 RACINES DU TRINÔME

Cela donne :

77775Théorème 1 :

P(x)=a266664

77775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule

2Racinesdutrinôme

2.1Définition

Définition 2 :

2+bx+c=0Définition 3 :

266664

77775=0

2 RACINES DU TRINÔME

2.2Lediscriminantestpositif

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

CCCCA=0

On obtient alors deux solution :

2a=0oux+b2a+p

On obtient alors :

2aoux00=bp

2aExemple : Résoudre dansR:2x2+3x14=0

On calcule:

2a=3+114

2a=3114

On conclut par :

2.3Lediscriminantestnul

On obtient alors qu"une seule solution :

0=b2aPaul Milan 5 sur21 Première S