Ch 5 — Variations de fonctions
Sens de variation Exercice 10 Soit fla fonction définie par le tableau de variations ci-dessous : x f −5 2 0 5 3 3 0 3 −1 1 Donner l’ensemble de définition de f 2 Préciser les variations de fà l’aide d’une phrase 3 Indiquer les extremums de f 4
VARIATIONS DES FONCTIONS
3 2nde Ch5 Etude qualitative des fonctions Année 2009–2010 b) Sens de variation de la fonction inverse : Tableau de variation : La fonction inverse est strictement décroissante sur ] – ; 0 [ et sur ] 0 ; + [
Variations de fonctions, classe de seconde
ariationsV de fonctions - 2nde 2 Approche graphique des variations de fonctions Dé nition : Soit f une fonction dé nie sur un intervalle I et de courbe représentative C f f est dite croissante sur I si lorque x augmente, alors f(x) augmente; f est dite décroissante sur I si lorsque x augmente dans I, alors f(x) diminue; Synthèse :
1) Fonction croissante Fonction décroissante
Sens de variation et extremum de fonctions I) Sens de variation d’une fonction 1) Fonction croissante Fonction décroissante Une fonction ???? est croissante : Lorsque les abscisses ???? augmentent, les ordonnées ???? :???? ; augmentent aussi C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on la parcourt
Seconde - Fonction Inverse - Parfenoff org cours de
L’inverse de 2 est 1 2 L’inverse de 1 −3 est -3 L’ensemble des réels différents de 0 est noté ℝ* ℝ* = ] −∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞ [ Définition : La fonction inverse est la fonction définie sur ℝ*, qui à tout réel ???? associe son inverse : ????: ????∶???? ???? II) Sens de variation de la fonction inverse 1) Propriété :
Chapitre 5 : Fonctions de référence
2 Sens de variation de la fonction cube Propriété : La fonction cube est croissante sur ℝ Tableau de variation x – ∞ + ∞ f(x) – ∞ + ∞ 3 Représentation graphique Définition : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cube est l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x;x3) quand x décrit ℝ
1 Généralités sur les fonctions affines
2 Sens de variation et signe d’une fonction affine 2 1 Variation d’une fonction affine Soit f la fonction affine x→ mx+p(met pdes nombres réels, avec m6= 0 )
Fonctions de référence - Logamathsfr
On fait le lien entre le signe de a x+b, le sens de variation de la fonction et sa courbe représentative Exemples de non-linéarité En particulier, faire remarquer que les fonctions carré et inverse ne sont pas linéaires I Fonctions affines, fonctions linéaires 1 1) Rappels définitions Définition 1
Étude algébrique de variations de fonctions, classe de seconde
Étude algébrique de variations de fonctions - 2nde 2 Exemples d'études algébriques de variations de fonctions Exemple [Étudier les ariationsv en utilisant des inégalités] : Soit f la fonction dé nie par f(x) = 2x+3 Pour étudier ses ariationsv l'intervalle R, soient x 1 et x 2 deux réels tels que x 1 x 2
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[PDF] sens de variation d'une fonction u définie par u(x)=6-x sur l'intervalle ]-l'inf;6]
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I
1) Fonction croissante. Fonction décroissante
ł Une fonction ࢌ est croissante :
C'est-à-dire sa courbe représentative monte la parcourt dans le sensł Une fonction ࢌ est décroissante :
C'est-à-dire sa courbe représentative descendłࢌ est constante:
Exemple 1 Exemple 2
La fonction ࢌ est croissante sur [0 ; 3] : La fonction ࢌ est décroissante sur [-1 ; 1]:
Sa courbe représentative monte Sa courbe représentative descendL lorsqu'on la parcourt dans le sens
de l'axe des abscisses entre ݔൌͲ etݔൌ͵ de l'axe des abscisses entre ݔൌെͳ etݔൌͳ
Mathématiquement cela se traduit par :
Pour tout nombre ࢇ et ࢈appartenant à un intervalle I, représentative Etudier lefonction, trouver le(s) intervalle(s) sur le(s)quel(s) la fonction ࢌ est croissante, décroissante ou constante. se résumer dans un tableau de variation, si la courbe monte, descend ou est stable. Dans la première ligne on indique les valeurs importantes de ࢞ et dans la seconde les variations de ࢌ: on lit les flèches de gauche à droite si la flèche monte, la fonction est croissante, si elle descend, elle est décroissante, si elle est horizontale, elle est constante. Aux extrémités de chaque flèche, on indique les valeurs atteintes par la fonction ࢌ.La fonction ࢌ
[-4 ; 4], pour tout ݔde cet intervalle : Dans notre exemple 2. La fonction constante est toujours représentée par abscissesExemples :
࢞ െͳ 0 2,5 4 3 50 െͲǡͷ
En reprenant les trois exemples du I) 1), nous pouvons déduire des trois représentations graphiques :La fonction ݂ La fonction ݂
[0 ; 3]. Son tableau de variation est : [-1 ; 1]. Son tableau de variation est :ݔ 0 3
9S ; 3], -1 ; 1],
Les ordonnées montent de 3 à 9 les ordonnées descendent de 8 à 0 3 : La fonction ݂ est constante ; 3]. Son tableau de variation est :ݔ -4 4
ݔ -1 1
8La fonction ݂ -4 ; 4],
3 0 2 2En observant la courbe représentative ci-
contre, nous pouvons dire : - La fonction est définie sur [-1 ;4] - La fonction " monte » sur [-1 ;0] elle est donc croissante sur cet intervalle. - La fonction " descend » sur [0 ;2,5] elle est donc décroissante sur cet intervalle ; - La fonction " monte » sur [2,5 ;4] elle est donc croissante sur cet intervalle. suivant :1) Définitions
łLe maximum ࢌ sur un intervalle I est la plus grande valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle. łLe minimum ࢌ sur un intervalle I est la plus petite valeur atteinte par cette fonction sur cet intervalle. łextremum ࢌ sur un intervalle I est un maximum ou un minimum de cette fonction ࢌ intervalle. I.2) Exemples :
Reprenons les deux exemples précédents :
La plus grande valeur prise par ݂ sur
െ1 ; 4] est 5 et la plus petite estLe maximum de ݂ െ1 ; 4] est 5,
son minimum sur cet intervalle est െ0,5.La plus grande valeur prise par ݂ sur
[0 ; 3] est 9 et la plus petite est 0.Le maximum de ݂ ;3] est 9, son minimum sur
cet intervalle est 0.IV) Récapitulatif :
݂ -2 ; 3]:
1) Décrire les variations de la fonction ݂
2) Dresser son tableau de variation.
3) Quels sont les extremums de cette fonction ?
1)łLa fonction ݂ -2 ;-1]
ł݂ -1 ; 2]
łfonction ݂ ; 3]
2) Le tableau de variation est donc :
ݔ െ2 െ1 2 3
0 െ8
3) La plus grande valeur prise par ݂ sur
[-2 ; 3] est 5,5.Donc ࢌ admet en -1 un maximum qui est
5,5La plus petite valeur prise par ݂
[-2 ; 3] est -8.Donc ࢌ admet en 2 un minimum qui est -8
V) Les fonctions de référence
1) La fonction affine ࢞ࢇ࢞࢈
Expression
algébriqueCas où a<0 Cas où a>0
Définition :ࢇet ࢈
sont des réels alors la fonction une fonction affine définie sur Թ.Remarque : ࢇ est
le coefficient directeur et ࢈ l lPropriétés :
La représentation
graphique dune fonction affine est une droite.Si ࢈ൌ la fonction
est appelée fonction linéaireReprésentation graphique :
graphique est une droite décroissante.Représentation graphique :
Si ࢇ, la représentation
graphique est une droite croissante.Tableau de variation : ࢇ
Tableau de signe : ࢇ ǣ
Démonstration : Pour tous réels ݑ et ݒ tel que ݑݒ , ݒȂݑͲ
On a : ݒെݑͲ par hypothèse
łLorsqueࢇ
Le produit de deux nombres positifs étant positif : ܽłLorsque ࢇ
Le produit de deux nombres de signes différents étant négatif : ܽ2) La fonction carré ࢞࢞;
Expression
algébrique Représentation graphique Tableau de variation et tableau de signeDéfinition :La
fonction carré définie sur Թa pour expressionRemarque : Sa
courbe représentative s parabolePropriétés :
La représentation
graphique passe par lorigineLa fonction carré
est positive sur ԹReprésentation graphique :
Tableau de variation :
ݔ െλ 0 +λ
0La fonction carré est
croissante sur [0 ;+λ[Tableau de signe :ǣ
La fonction carré est positive
sur ԹDémonstration (non obligatoire)
Pour tous réels ݑ et ݒ tel que ݑݒon a ࢜Ȃ࢛łPour ࢛ et ࢜ dans [0 ; +λ [:
On a : ݒെݑͲ par hypothèse. La somme de deux nombres positifs est positive : ݒݑͲ
łPour ࢛ et ࢜ dans ]- ; 0 ]:
On a : ݒെݑͲ par hypothèse. La somme de deux nombres négatifs est négative : ݒݑͲ
Conséquences
Si ࢇ et ࢈ sont deux réels positifs tel que ࢇ࢈ alors ࢇ;࢈;
Si ࢇ et ࢈ sont deux réels négatifs tel que ࢇ࢈ alors ࢇ;࢈;