6 Sens de variation d ‘une suite
-Exercice 11- La suite (u n) étant arithmétique, pour calculer S = u 0 + u 1 + u 2 + + u 2010, il suffit d’appliquer la formule permettant de calculer la somme des termes consécutifs d’ue suite arithmétique : S = premier terme dernier terme (nombre de termes) 2 = 2011 0 2010 2 uu (u n) suite arithmétique de raison 1-3 et de
Sens de variation d une suite
On veut déterminer le sens de variation de chacune de ces suites 1 Calculer uo, et puis en déduire le sens de variation de la suite (un) 2 3 Exprimer vn+l — en fonction de n puis en déduire le sens de variation de la suite (vn) Exprimer Wn+l — en fonction de n puis en déduire le sens de variation de la suite (wn Exercice 2
Étudier le sens de variation dune suite
Étudier le sens de variation d’une suite TS Exercice Question 1 Question 2 Question 3 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Théorie Sens de variation d’une suite Correction 1 Conclusion On obtient le tableau de signes suivant : 0 +∞ n2 +3 +1 + n+1 + n+2 + n2+3n+1 (n+1)(n+2) + Ainsi, pour tout entier n∈N, un+1−un >0 c’est-à
I- Sens de variation d’une suite numérique
Exercice 4 : La suite u est la suite définie sur par u n = 3n+5 5n a) Démontrer que u est une suite géométrique b) Justifier le sens de variation de la suite u II- Approche de la notion de limite
Sens de variation d’une suite – correction
Sens de variation d’une suite 271—1 2n(n + 1) Pour tout n e N* on a > 0 et 2n Donc — > 0 La suite (un) est donc croissante Correction Exercice 1 1
VARIATIONS DE SUITES NUMERIQUES E Exercices sur les
Etudier le sens de variation de chacune des suites suivantes : 1 u n 1 n pour nt1 1 vn n n pour 1 3 n w n §· ¨¸ ©¹ Exercice 2A 2 Etudier le sens de variation des suites ci-dessous : a) 21 n 32 n u n b) 2 4 v n n n n c) 0 2 1 2 n n u u u n ° ® °¯ n d) 1 n 43 n u e) 2 4 v n n n f) 0 2 1 10 n n u u u n ° ® °¯ Exercice 2A 3
Exemples : suites (sens de variation)
II) Sens de variation : formule de r ecurrence 9 Soit la suite u d e nie par u 0 = 3 et u n+1 = u n +n 5 D eterminer le sens de variation de u u n+1 u n = n 5, donc u est strictement d ecroissante sur l’ensemble f0;1;2;3;4g puis croissante ensuite 10 Soit u 0 = 0 et u n+1 = 1 2 u n pour tout n > 0 D emontrer par r ecurrence que u n < 1
Exercices supplémentaires : Suites
1) On note 5 la raison de cette suite Exprimer et en fonction de et 5 2) Montrer qu’on a le système suivant : = 3 = 81 − 5 = 18360 3) En déduire la valeur de 5 et de 4) Calculer Exercice 10 On considère une suite arithmétique de raison positive On sait que la somme des trois premiers termes vaut
Suites : exercices
Exercice 2 : Soit (U n) la suite définie par U n = 1 n+1 a) Exprimer U n+1 U n en fonction de n b) En déduire le sens de variation de la suite (U n) Exercice 3 : Soit (U n) la suite arithmétique de premier terme U 0 =4 et de raison r = 1 2 a) Exprimer U n en fonction de n b) Calculer U 10 Exercice 4 : Soit (U n) la suite arithmétique
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[PDF] Sens de variation et signe
Exemples : suites (sens de variation)page 1 de 2
Exemples : suites (sens de variation)
I) Sens de variation : formule directe
1.Soitun= 2nn. Determiner le sens de variation deu
u n+1un= 2n+1(n+ 1)2n+n= 2n1>0 (car 2n>20pourn>0).Doncuest croissante.
2.un=2nn
pourn>1. Determiner le sens de variation deu. u n+1un== 2nn1n(n+ 1)>0, doncuest croissante. ou bien : un+1u n==2nn+ 1>1 (car 2n>n+ 1 car). Donc, puisqueu >0, uest croissante.3.Soitvn=n+ 3n+ 1. Determiner le sens de variation deu
v n+1vn==2(n+ 2)(n+ 1)<0, doncvest strictement decroissante. ou bien : soitf:x7!x+ 3x+ 1denie sur [0;+1[.f0(x) ==2(x+ 1)2<0, donc fest strictement decroissante, doncvaussi carvn=f(n).4.Soitunla somme des carres des nombres entiers de 0 an. Determiner le sens de
variation deu u n= 02+ 12+ 22++n2.un+1un= (n+ 1)2>0, doncuest strictement croissante.5.Soitun= 1 +12
+12 2++12 nn.. Determiner le sens de variation deu u n+1un==12 n+11<0 (car 2n+1>1). Doncuest strictement decroissante.6.Soitsn= 112
+13 14 ++(1)n1n (n>1). Soitun=s2n. Determiner le sens de variation deu. Il faut bien comprendre la denition deu:u1=s2= 112 ;u2=s4= 112 +13 14 u2u1=13
14u n+1un==12n+ 112n+ 2>0 car 2n+2>2n+1. Doncuest strictement croissante.7.Soitun= (1)n. Determiner le sens de variation deu
u1< u0, doncun'est pas croissante.u2> u1, doncun'est pas decroissante.
un'est ni croissante ni decroissante.8.Soitun=nnn!pourn>1("n!»se lit"factoriellen»et designe le produit des
nombres entiers de 1 an:1! = 1;2! = 2;3! = 6;4! = 24;5! = 120).Calculerun+1u
net en deduire le sens de variation deu u n+1u n=(n+ 1)n+1(n+ 1)!n!n n==n+ 1n n (assurez-vous que vous savez faire ce calcul).Orn+ 1> n >0, doncn+ 1n
>1, doncun+1u n>1, doncun+1> un(on multiplie parun, positif), doncuest croissante.II) Sens de variation : formule de recurrence
9.Soit la suiteudenie paru0= 3etun+1=un+n5. Determiner le sens de variation
deu. u n+1un=n5, doncuest strictement decroissante sur l'ensemblef0;1;2;3;4g puis croissante ensuite.10.Soitu0= 0etun+1=12unpour toutn>0.
Demontrer par recurrence queun<1pour toutn>0.
En deduire le sens de variation deu.
Notations: soitPnla proposition"un<1»
Initialisation:P0s'ecrit"u0<1». C'est vrai caru0= 0 et 0<1. Heredite: Soit unntel queun<1 (hypothese de recurrence). A-t-onun+1<1? u n+11 =12un1 =un12un.Exemples : suites (sens de variation)page 2 de 2Or ici (hypothese de recurrence)un<1, donc 2un>0 etun1<0. Donc
u n+11<0 et donc on a bienun+1<1, ce qui est la proprietePn+1Donc l'heredite est demontree :Pn)Pn+1
Conclusion: D'apres le principe de recurrence,un<1 pour toutnentier naturel.Sens de variation deu:
u n+1un==(un1)22un>0 puisque 2un>0 (carun<1).Doncuest croissante.
Il est toujours prudent de verier :u0= 0;u1=12
;u1=23 ;u2=34 et on a bien0<12 <23 <34 Du point de vue purement logique, cette prudence n'est pas indispensable a la redaction de la demonstration. Mais la prudence est une qualite intellectuelle in- dispensable pour bien faire des mathematiques. D'autre part, cette prudence peut s'allier a la curiosite : ces calculs permettent de conjecturer une formule directe pour la suite :un=...?. Et si cette curiosite s'allie a la rigueur, alors on essaye ensuite de demontrer la propriete conjecturee. Et si on fait preuve ensuite de re exion, de recul et d'initiative, on peut ensuite trouver une methode dierente de celle de l'enonce pour demontrer queuest croissante, gr^ace a la formule directe. Tout cela serait une demarche mathematique exemplaire..11.Soitu0= 4etun+1=12
u n+2u n pourn>0.Soitf(x) =12
x+2x . On admettra que, pour toutxde[p2;+1[,p26f(x)6x (pour le demontrer, on peut etudier les variations defet deg:g(x) =f(x)x).En raisonnant par recurrence, demontrer que, pour toutnentier naturel,p26un+16un. En deduire le sens de variation deu.
Notations: soitPn:"p26un+16un».
Initialisation:P0:"p26u16u0».
C'est vrai carp21;414,u1==94
= 2;25 etu0= 4. Heredite: soit unntel quep26un+16un(hypothese de recurrence).Pour un teln, a-t-onp26un+26un+1?
On sait d'apres l'enonce que, pour toutxde [p2;+1[,p26f(x)6x. Orun+2=f(un+1) d'apres l'enonce. Il surait alors de poserx=un+1et de prouver queun+12[p2;+1[ pour pouvoir appliquer la propriete def. Mais cela est vrai dans cette partie (heredite) d'apres l'hypothese de recurrence(p26un+1). Donc on peut appliquer la propriete defet on a bien :p26f(un+1)6un+1, c'est-a-direp26un+26un+1, ce qui est bien la
proprietePn+1.Donc on vient de demontrer l'heredite (Pn)Pn+1).Conclusion: d'apres le principe de recurrence, on ap26un+16unpour tout
nentier. Cela implique en particulier queuest decroissante (et cela montre aussi que uest minoree parp2 et majoree paru0= 4). Remarque : cette suite est celebre depuis l'antiquite, sa limite estp2(a prouver plus tard).