C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S

corps K, il su t de consid erer par exemple la forme quadratique f(x;y) = x2 sur K2 (la seule droite isotrope est la droite d’ equation x= 0) La forme fa exactement deux droites isotropes si et seulement si elle est hyperbolique, i e non d eg en er ee et admettant un vecteur isotrope Une telle forme existe sur tout corps K, comme le

Comptage de racines et signatures de formes quadratiques

signature et un algorithme impl´ement´e en Maple 1 Deuxm´ethodes On peut trouver deux r´ef´erences dans la biblioth`eque de l’agr´egation qui expliquent comment calculer le nombre de racines r´eelles d’un polynˆome au moyen de la signature d’une forme quadratique Nous pr´esentons bri`evement ce qui est dit dans ces r´ef´erences

Chapitre 2 Formes quadratiques

Voici une version plus géométrique du théorème de Sylvester dont on trouvera une idée de preuve à la suite de l’exercice 2 2 3, voir remarque 2 2 5 Il s’agit ici de reconnaître la signature (modulo permutation) d’une forme quadratique à partir du cône isotrope qu’elle déﬁnit ),

VI Formes quadratiques, coniques

est une forme quadratique (Relativit e restreinte) : L’espace-temps de Minkowski R4 est muni d’une forme bilin eaire sym etrique, dont la forme quadratique associ ee est la forme de Lorentz : q(x;y;z;t) = x2 + y2 + z2 c2t2; ou c est la vitesse de la lumi ere dans le vide Mathmatiques 3, 2015 VI Formes quadratiques, coniques 8 / 75

Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens

3 Signature d’une forme quadratique Si qest déﬁnie positive alors on dit que sa forme polaire ’est un produit scalaire Exemple Cn

131: formes quadratiques; orthogonalité, isotropie Applications

1 2 matrice d'une forme quadratique,rang Dé nition 2 On appelle matrice d'une forme quadratique Qla matrice de la forme bilinéaire associée , ie (’(e i;e j) où B= (e i) est une ase b Le angr de Qest alors le angr de la matrice Exemple 2 La matrice de la forme quadratique denteprécé est I n Proposition 3 Changement de ases:b Si P= M

Formes bilinØaires et formes quadratiques, orthogonalitØ

Signature d™une forme quadratique 36 Exemple 2 La trace est une forme linØaire sur l™espace des matrices carrØes d™ordre n On en