TD 1 Comparaison locale de fonctions

Ainsi, en utilisant la règle des signes d'un produit, on obtient le tableau de signes suivant : x x + 1 x 2 g(x) = (x+1)(x 2) 1 1 2 +1 0 + + 0 + + 0 0 + Exemple 11 La fonction h est la fonction dé nie sur Rnf1gpar h(x) = 2x 1 x 1 Étudier le signe de la fonction h Solution : On résout h(x) = 0 : Soit x 6= 1 , 2x 1 x 1 = 0 2x 1 = 0 2x = 1

TIQUES THÉMA MA on EMLy E 2011 vid Da Lycée Champ ollion

signe de x −1: x −1 > 0 ⇐⇒x > 1, donc h est t strictemen te décroissan sur]0;1] puis te croissan [1;+∞[ Elle admet donc un um minim global en x = 1 qui aut v:

1 Généralités sur les fonctions affines

Le signe de f(x) en fonction de xest donné par le tableau : x f(x) −∞ − p m +∞ signe de −m 0 signe de m Propriété 4 Remarque 3 La valeur − p m n’est pas à connaître par cœur, il suﬃt de résoudre l’équation mx+p= 0 pour la retrouver Exemple 4 Déterminer le tableau de signes des deux fonctions suivantes : f(x

Exercice I

La position relative en C et ∆ est donnée par le signe de f(x)−2x = − ln x x2, donc par le signe de −ln x • Si 0 < x < 1, −ln x > 0 donc C est au dessus de ∆ • Si x > 1, −ln x < 0 donc C est en dessous de ∆ 1 x × x2 −2xln x x4 = 2 − x −2xln x x4 = 2x3 −1 +2ln x x3 = g(x) x3 Comme x > 0, f′(x) est du signe de g

Exercice 1 : Solution page2

Solution exercice4 : Il suﬃt de résoudre f0(x) = 0 et de trouver le signe de f0(x) au voisi- nage des solutions On a f 0 ( x ) = 3 x 2 qui s’annule pour x = 0 uniquement

1 Fonctions polynôme de degré 2

Signe de ax2 + bx + c −∞ x1 x2 +∞ signe de a 0 signe de −a 0 signe de a • Si ∆ = 0, le trinôme a même signe que a pour tout réel x et s’annule en − b 2a • Si ∆ < 0, le trinôme a même signe que a pour tout réel x Propriété 7 Exemple 6 Déterminer le signe des trinômes suivants (utiliser, si besoin, les résultats

T S MATHEMATIQUES- LIMITES DE FONCTIONS - 1/4

Pour connaitre la position de la courbe représentative par rapport à l'asymptote horizontale, j'étudie le signe de f x −2 f x −2= 2 x 1 x−1 −2= 2x 1 −2 x−1 x−1 = 2x 1−2 x 2 x−1 = 3 x−1 cette expression est du signe de x−1 Donc: si x 1 , x−1 0 et la courbe représentant f est en-dessous de l'asymptote y=2

EXERCICES DE REVISION SUR LIMITES ET DERIVATION

1 x x f x x − + = + 1) a) Déterminer l’ensemble de définition E de f et les limites aux bornes de E b) En déduire l’équation de l’asymptote verticale à la courbe C représentative de f 2) Montrer que pour tout x de E, il existe trois réels a, b et c tels que f peut s’écrire sous la forme: ( ) 1 c f x ax b x = + + +

4)Soient a;b;c;d 2IR a b c d +1 16abcd

5)Il suﬃt de dresser le tableau de variations de A pour trouver le maximum de A Pour cela, on détermine d’abord le signe de A 0 ( x ) D’après le 4), celui-ci est du signe de 15 x +