SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Considérons une suite numérique (u n) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5 Si le premier terme est égal à 3, les premiers termes successifs sont : u 0 = 3, u 1 = 8, u 2 = 13, u 3 = 18 Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3 La suite est donc
Des situations problèmes en géométrie
- une suite d'étapes nettement repérées (tirets, numérotation ) mettant en valeur la suite séquentielle d'actions, - la présence de verbes définissant directement les actions à accomplir,-l'usage du présent, de l'impératif et de l'infinitif Langage oral: •« Décrire un objet »
ESD 2014 –02 : Modélisation - pagesperso-orangefr
1 L’exercice propose une situation géométrique amenant à considérer des sommes de termes d’une suite géométrique et la limite de cette somme quand le nombre de termes tend vers l’infini Au vu des productions des deux élèves, il est possible que cet exercice ait été donné à titre d’activité de démarrage, pour aborder la
Situation n 2 - tableauxmathsfr
SUITE A : 5 8 11 14 17::: SUITE B : 4 2 1 0;5 0;25::: SUITE C : 1 1 2 3 5 8::: 1) Pour chaque suite de nombres, donner les deux nombres suivants 2) Peut-on trouver une formule permettant de déterminer le vingtième nombre de chaque suite Exercice 1 Dans les cas ci-dessous, exprimer les 4 premiers termes de la suite (u n) : Niveau ? u 0 = 1
Situation 1 - les pommiers
Situation 1 - les pommiers Un fermier plante des pommiers en carré Afin de protéger ces arbres contre les vents dominants, il plante des conifères sur deux côtés du verger Vous pouvez voir ci-dessous un schéma présentant cette situation, avec la disposition des pommiers et des conifères pour un nombre ???? de rangées de pommiers :
Exercices supplémentaires : Suites
2) Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite 3) Montrer que pour tout ∈ ℕ , on a −1 ≤ ≤ 2 4) A partir de quel entier tous les termes de la suite sont-ils compris entre 1,5 et 2 ? Justifier Exercice 4 On considère la suite définie par = # $ pour ∈ ℕ ∗ 1) Calculer , , , et ˘
Des exemples de suites - Univers TI-Nspire
1 3 Quelques propriétés de cette suite Quelques propriétés de la suite peuvent alors être mises en évidence Elles sont démontrées ci-après Proposition La suite (u n) est minorée par a Démonstration Montrons d’abord que pour tout nombre réel x strictement positif : 1 2 a g x x a x 5
Problèmes, situations-problèmes en mathématiques : un regard
situation-problème au sein de l’enseignement des mathématiques, pour pouvoir en discriminer les enjeux didactiques respectifs, au delà d’une première distinction souvent faite entre problèmes d’introduction et problèmes d’application (cf e a J P Cazzaro et al , 2001) Mon analyse prendra la forme d’une sorte de visite
Enseignement spécifique et de spécialité
Soit (un) une suite définie sur et ℓ un réel 1 Dire que la suite (un) admet pour limite le réel ℓ signifie que tout intervalle ouvert de la forme]ℓ−r;ℓ+r[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p Onécrit: lim n→+∞ un =ℓ 2 Une suite qui admet pour limite un réel ℓ est dite convergente
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Epreuve sur Dossier CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014 1
ESD 2014 -02 : Modélisation
1. Le sujet
A. L"exercice proposé au candidat
En traçant la diagonale d"un carré de côté a, on obtient un triangle rectangle que l"on colore en gris, comme sur la figure ci-contre. On recommence de la même manière dans le quart en haut à droite du carré, et ainsi de suite... Calculer l"aire de la partie grisée.B. Les réponses de deux élèves
Élève1
Le carré a pour aire a
2. Le premier triangle gris a donc une aire de 25,0a. Le deuxième triangle a des côtés
deux fois plus petits et a donc une aire 4 fois plus petite donc25,025,0a´. De même pour le troisième et le
quatrième qui ont pour aires respectives25,025,025,0a´´ et 25,025,025,025,0a´´´. Au final, l"aire
grisée est de ()23226640625,025,025,025,015,0aa=+++Élève2.
Notons a
1 l"aire du premier triangle. On a 2
1 21aa=. Les triangles sont tous des réductions du précédent
avec un coefficient de 21 pour les longueurs et donc de
41 pour les aires. D"où, pour tout entier naturel 1³n,
on a nnaa4 11=+, c"est donc une suite géométrique de premier terme 2
21a et de raison
4 1.Utilisons un algorithme pour trouver la somme de
toutes ces aires quand le nombre de triangles devient très grand pour 1 =a:Pour 10
=ncet algorithme renvoie 0,6666660309 ; pour 50 =net pour 100=n , cet algorithme renvoie666666667,0=S.On peut donc dire que l"aire
grisée est 2 3 2a.C. Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez les productions de ces deux élèves en étudiant notamment la pertinence de la démarche et des
outils utilisés, ainsi que l"engagement dans une activité de recherche.2. Proposez, en vous appuyant sur les productions des élèves, une correction de cet exercice telle que vous
l"exposeriez devant une classe de première scientifique.3. Présentez deux ou trois exercices sur le thème suites, dont l"un au moins fait appel à un algorithme. Vous
préciserez les compétences visées par ces exercices.Epreuve sur Dossier CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014 2
2. Eléments de correction
1. L"exercice propose une situation géométrique amenant à considérer des sommes de termes d"une suite
géométrique et la limite de cette somme quand le nombre de termes tend vers l"infini. Au vu des productions
des deux élèves, il est possible que cet exercice ait été donné à titre d"activité de démarrage, pour aborder la
formule donnant la somme des n premiers termes d"une suite géométrique.Elève 1.
Résolution incorrecte.
Compréhension
Non. Il calcule l"aire de la surface grisée de la figure qu"il a sous les yeux. Il n"a pas compris le sens de la consigne " ... et ainsi de suite ».Réalisation Oui. Sa démarche est pertinente compte tenu de la conception qu"il s"est faite du
problème posé. En particulier, il a perçu le lien existant entre les aires de deux triangles
consécutifs. Rédaction Oui. Sa réponse est cohérente avec le travail accompli. L"erreur de cet élève provient d"une non compréhension de la consigne.Cette non compréhension implique que cet élève n"a pas conscience qu"il lui faut s"engager dans une
recherche plus approfondie, il pense avoir achevé son travail.Le professeur, pour inciter cet élève à généraliser l"expression qu"il a obtenue, doit insister auprès de cet
élève sur deux points :
· Le sens de " et ainsi de suite » en expliquant " qu"il y a d"autres triangles après », mais qu"on ne
peut pas tous les dessiner.2014iagilbertjul
· Le statut de la figure, statut indicatif d"exemplarité, comme s"il s"agissait d"un " instantané » pris
après la construction du quatrième triangle, mais la construction continue ; il appartient à l"élève
d"imaginer une figure idéale.Elève 2.
Résolution inaboutie.
Compréhension
Oui. Cet élève a su traduire la situation en langage mathématique et choisir le cadre de résolution adapté.Réalisation Inaboutie. Cet élève a recours à un algorithme pour calculer l"aire grisée lorsqu"il y a un
nombre déterminé de triangles. Il applique cet algorithme jusqu"à observer unestabilisation des résultats. Il reconnaît que l"écriture décimale affichée est celle du nombre
rationnel 201432 gjulia. Il n"a pas conscience que ce recours à un algorithme lui permet de " deviner » la réponse mais non pas de la démontrer. Rédaction Oui. Il explique sa démarche de façon claire et cohérente. On relève deux réussites importantes dans la production de cet élève. · Il a su modéliser la situation à l"aide d"une suite.
· Il a su modifier sa stratégie et mener une expérimentation pertinente à l"aide d"un outil logiciel, puis
en tirer une inférence inductive. Cet élève confond cependant " expérimentation » et " démonstration ».Le professeur peut exploiter les deux réussites de cet élève mais en même temps préciser les limites de
l"utilisation d"un algorithme et faire distinguer la différence entre conjecture et démonstration.
Epreuve sur Dossier CAPES Mathématiques
G. Julia, 2014 3
Comment expliciter par une écriture le calcul exécuté par l"algorithme ? Il est possible que cet élève ait
produit une écriture développée (à l"image de celle, particularisée, de l"élève 1) mais qu"il n"a pas su la
transformer en expression condensée. De toute manière, il convient d"amener les élèves, et l"élève 2 en
particulier, devant cet obstacle.2. L"élève 2 a correctement analysé le problème et jeté les bases d"une correction. Il a bien identifié le lien
entre deux triangles consécutifs et mis en place la suite des aires de ces triangles, suite dont il a identifié la
nature. Seule la notation du terme général de la suite doit être changée (télescopage avec la notation a du côté
du carré). On peut par exemple noter u n l"aire du triangle numéro n.L"algorithme qu"il propose le dispense de considérer l"expression de la somme des aires. On peut souligner
que les résultats donnés par cet algorithme vont nous aider à conjecturer une réponse puis plus tard à la
valider, mais ne nous aident pas à répondre à la question.L"élève 1 nous donne quant à lui une expression dans un cas particulier de la somme des aires
432142014uuuusiagilbertjul+++=. Il s"agit de débattre si le problème s"arrête à " ce que l"on voit sur le
dessin », comme le pense l"élève 1, ou bien s"il faut voir au delà du dessin et donner un sens à la phrase " on
recommence ... et ainsi de suite » de l"énoncé. On s"intéresse désormais à l"expression de la somme lorsqu"il y a n triangles.On doit arriver à : ()122
125,0..25,025,015,0...-+++=++=n
nnauus en étendant au cas de n triangles leraisonnement de l"élève 1 puis cibler la question à résoudre : cette somme peut contenir un " grand nombre »
de termes et on ne sait pas la calculer. Il faut en trouver une expression condensée, que l"on est en mesure de
calculer. Faire alors le lien avec la somme des termes d"une suite géométrique de raison 4