Chapitre 1 : Les nombres rationnels Les différentes sortes de
Définition : Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme a b d’un quotient d’entiers Propriété caractéristique : dans l’écriture décimale d’un nombre rationnel, il y a une suite de chiffres qui se répète jusqu'à l'infini 12,5 est rationnel car il peut s’écrire 125 10 ou encore 25
Les nombres entiers et rationnels (cours)
On remarque que 37 est aussi un nombre rationnel car 37 peut s’écrire sous la forme d’une fraction 37 = 37 1 Pourquoi un nombre décimal est-il aussi un rationnel ? − 27,2 est aussi un rationnel car − 27,2 = − 272 10 Il reste alors π que l’on classe dans la catégorie des nombres irrationnels 37 4 2 0 27 13 47 21 − 10 3
Nombres décimaux, développement décimal d’un rationnel
ce qui est absurde : il n’existe pas de nombre rationnel strictement positif qui soit inférieur à 10 n+N 1 pour tout n N puisque pour n arbitrairement grand 10 n+N 1 est arbitrairement pe-tit (pour être tout à fait rigoureux, il faut utiliser le fait que Q est archimédien , voir plus haut)
Les nombres rationnels : Contrôle
Le nombre rationnel 15 8 est un nombre entier décimal non décimal On partage 100 m de fil en 3 parts égales Chaque part a pour longueur 33,3 m 33 m 100 3 m 3 = 7 x 7 3 3 7 21 Dans une boite, il y a 12 boules vertes et 6 bleues La proportion de boules bleues est de 1 3 6 12 6 Clémie veut travailler à temps partiel, 4 jours
NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
Exemple: dire si le nombre 5 1 3 6 3 3 4 2 x est un entier naturel ou relatif, un d‡cimal, un rationnel ou un r‡el non rationnel 5 1 10 1 3 6 6 6 3 3 3 6 4 2 4 4 x 9 6 9 4 4 9 6 9 6 4 x Donc 2 0,666 3 x Donc x est un rationnel, un r•el, mais ce n’est pas un nombre d•cimal, ni un entier x , x , x , x
Chapitre 1 Nombres rationnels (Partie 1)
est aussi un nombre rationnel 2 100 =0,02 est un nombre décimal car son écriture décimale est finie (ou 2 100 est une fraction décimale) 2 100 est un quotient de deux nombres et 100 est différent de 0 Donc 2 100 est aussi un nombre rationnel 1 6 n’est pas un entier, ni un nom re déimal
CHAPITRE 1 : NOMBRES RATIONNELS
Un nombre décimal périodique, dans le cas où il n’y aurait au une des conditions antérieures CHAPITRE 1 : NOMBRES RATIONNELS 4 4 2 RETROUVER LE RATIONNEL
Chapitre 10 : NOMBRES RATIONNELS
Application 1 : Différence entre nombre décimal et nombre rationnel Des nombres particuliers 1 Boubacar partage de manière équitable ses 17 billes entre ses 7 amis Quelle est la part de chacun ? 2 Bernard le camionneur peut transporter 7 tonnes de terre par voyage Combien de voyages devra-t-il effectuer pour transporter 17 tonnes de
Etablissement: Chapitre1: Nombres rationnels : Manuel
3 Signe d’un nombre rationnel et sa représentation sur une droite graduée a-Signe d’un nombre rationnel Propriété 3 Si a et b sont de même signe alors le nombre rationnel a b est positif Si et b sont de signes contraires alors le nombre rationnel a b est négatif Exemples Les nombres 15 7 et 5 21 sont négatifs Les nombres 23 12 et 9 14
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- 15 - 10 5 -27,2 - 21 15 3 2
10 371
100NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
I Nature des nombres :
1) Activité :
En maternelle, on a appris à compter des objets, et on utilisait les nombres 1 , 2 , 3 ....ces nombres sont les
premiers qui sont utilisés " naturellement » , on les nomme les nombres entiers naturels.Depuis à l"école primaire et au collège, on a découvert d"autres nombres. Voici une liste de nombres :
-27,2 ; 10 371100 ; 2713 ; 3
2 ; - 2115 ; p ; - 105 ; 4721 ; - 15 ; - 10
3 ; 37
Dans cette liste :
a) entoure en bleu les nombres entiers b) entoure en rouge les nombres entiers relatifs (certains nombres peuvent être entourés plusieurs fois) c) entoure en vert les nombres décimauxQuels nombres reste-t-il ?
il reste 2713 ; 4721 ; - 103 et p
Les premiers sont des nombres en écriture fractionnaire appelés nombres rationnelsOn remarque que 37 est aussi un nombre rationnel car 37 peut s"écrire sous la forme d"une fraction 37 = 37
1Pourquoi un nombre décimal est-il aussi un rationnel ? - 27,2 est aussi un rationnel car - 27,2 = - 272
10 Il reste alors p que l"on classe dans la catégorie des nombres irrationnels.37 4
2 0 2713 47
21
- 10 3
0,3333333333333....=
1 3 pNombres entiers
naturels notés VNombres entiers
relatifs notésWNombres décimaux
Nombres rationnels
notés XNombres irrationnels
2) définitions :
Les nombres entiers naturels sont les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ... Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et négatifs.Un nombre décimal est le quotient d"un nombre entier relatif par une puissance de 10 et c"est aussi un nombre
dont la partie décimal s"écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls Un nombre rationnel est le quotient d"un nombre entier relatif par un nombre entier relatifs non nul Un nombre irrationnel est un nombre qui n"est pas rationnel.II Fractions :
1) Somme et différence :
a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs quelconques et si k ¹ 0, alors : a k + b k = a+b k et a k - b k = a-b kb) Règle n°2 : Si les fractions ne sont pas au même dénominateur, on les réduit au même dénominateur puis on
applique la règle n°1.Exercice type 1: Ecris A = 3
21- 5
14 sous la forme d"une fraction irréductible
A = 3´2
21´2 - 5´3
14´3 Etape n°1 : On réduit au même dénominateur
A = 6 42- 1442 Etape n°2 : On soustrait les numérateurs A = -9 42
Etape n°3 : On simplifie la fraction A = -3
142) Produit :
a) Règle : Pour multiplier deux quotients, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre
eux. b) Rappel de 4 ème : le produit de deux nombres relatifs négatifs est un nombre relatif positifExercice type 2 : Ecris B = 21
50 ´ (- 7014 ) sous forme d"une fraction irréductible.
B = - 7´3´7´10
5´10´7´2 Etape n°1 : On met le signe du résultat et On décompose les nombres avant de calculer
Attention on ne réduit pas au même dénominateur.B = - 7´3
5´2
Etape n°2 : On simplifie
B = - 2110
Etape n°3 : On calcule
3) Division :
a) Définition : Deux nombres sont inverses l"un de l"autre si leur produit est égal à 1 b) Propriété : Si c et d sont deux nombres relatifs non nuls quelconques, alors l"inverse de c d est d c c) Règle : Pour diviser par c d (avec c ¹ 0 et d ¹ 0) on multiplie par son inverse.Autrement dit : a
bc d = a b ¸c d = a b ´d c avec b, c et d non nul.Exercice type 3 : Ecris C = - 2221
40-27 sous la forme d"une fraction irréductible.
C = - 22
21 ´ -27
40 Etape n°1 : on transforme la division en une multiplication
C = +2´11´9´3
7´3´2´20
Etape n°2 : On s"occupe du signe puis on décompose les nombres C =11´9
7´20
Etape n°3 : On simplifie
C = 99140
Etape n°4 : On calcule
4) Priorités opératoires :
a) Priorités n°1: Les parenthèses indiquent les calculs à effectuer en premier. On commence les calculs par ceux qui sont dans les parenthèses les plus intérieures.Exercice type 4 : Calcule puis écris D =7
15´ (2
7 - ( 5
7 + 3
21 )) sous forme d"une fraction irréductible.
D =715 ´ (2
7 - ( 5
7 + 3
21 ))D = 7 15
´ (2
7 - ( 5
7 + 3 ´ 1
3 ´ 7 ))
D = 7 15´ (2
7 - ( 5
7 + 1
7 D = 7 15´ (2
7 - 6
7 ) D = 7 15´ -4
7D = -4
15b) Priorités n°2 : En l"absence de parenthèses on effectue les opérations dans l"ordre suivants :
- puissance - multiplication - addition et soustraction Exercice type 5 : Ecris E, F et G sous la forme de fractions irréductibles.E = (2
3 )² - 3 7 F = 56 - 7
6 ´ 10
3 E = 4 9 - 3 7 F = 56 - 7018 On ne décompose pas 18 car 18 est un multiple de 6
E = 2863
- 2763 F = 15