[PDF] Ann ee 2008-2009 LST1

MPSI Pour Apprendre son Cours 5

MPSI1 Pour Apprendre son Cours 5 Courbe param etr ee en coordonn ees cart esiennes 1 D e nition de la tangente a un arc param etr e (I;f), en un point de param etre a 2 Tangente en un point r egulier (d e nition d’un point r egulier, que peut-on dire de la tangente en ce point ?) 3

1 Pr´esentation du chapitre 2 Courbes de B´ezier

Question : Etudier la courbe param´etr´ee Γ d´efinie ci-dessus, tracer Γ ainsi que le triangle´ P 0P1P2 Remarque : Le point P1, attire la courbe, un d´eplacement de P1, provoquerait une d´eformation de Γ b) Propri´et´es : On peut v´erifier sur cet exemple (n=2) les propri´et´es suivantes que l’on peut d´emontrer

Corrig´e de l’´epreuve de Math´ematiques B PC P

1 avec la courbe param´etr´ee par h, c’est-`a-dire : {(cos2(t),cos(t)sin(t)),t ∈ R} Correction : on a pour tout t ∈ IR 2cos2 (t)−1 2 +(2sin(t)cos(t))2 = (cos(2t))2 +(sin(2t))2 = 1 On en d´eduit que la courbe param´etr´ee par h est incluse dans C 1 R´eciproque : soit M un point de coordonn´ees (x,y) appartenant a C 1, on a

Ann ee 2008-2009 LST1

On consid ere la courbe param etr ee Cdonn ee par : (x(t) = sin3 t y(t) = cos(3t) pout t2R 1 Montrer que l’intervalle d’ etude peut ^etre r eduit a [0;ˇ 2] et pr eciser comment on peut obtenir toute la courbe a partir de la partie C 1 correspondant a l’intervalle [0;ˇ 2] 2

Chapitre S2 : Equations di erentielles avec Scilab 1 Les

Par d ef la courbe dans l’espace des phases correspondant a une solution de l’ equation de l’O H est la courbe param etr ee t ((y(t);y′(t)) Avec le r esultat du § 3 2, son trac e est imm ediat : scf(1); plot2d(Y(1,:),Y(2,:)) On obtient bien des ellipses comme pr evus par (†) Mieux (cf cours de physique) si on prend comme

Devoir de math´ematiques - BTS - WebSelf

(exprim´ee en secondes) La variable al´eatoire X suit une loi de Poisson de param`etre λ = 500τ 1 Dans cette question, on s’int´eresse au cas ou` τ = 0,01 D´eterminer la probabilit´e que le serveur rec¸oive au plus une requˆete au cours d’une dur´ee τ de 0,01 s

Cours de Math ematiques

7 Chapitre 1 Raisonnement, ensembles 1 1 Logique

Etude de courbures, loxodromies et g´eod´esiques

Courbure normale : Soit α : ]−ε,ε[ → S une courbe de classe C∞ param´etr´ee par abscisse curviligne inscrite dans S telle que α(0) = p La courbure normale de α en p est par d´efinition : k n = k (N(p) n) ou` k est la courbure de α en p et n est le vecteur normal unitaire a α en p On a alors : la restriction de N a la courbe α

Epreuve de Mathématiques B - Major-Prépa

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, la courbe param´etr´ee d´efinie sur [0,1] par :

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Annee 2008-2009 LST1

Math201 : troisieme contr^ole

Lundi 25 mai 2009 (13h30 - 15h)

Recommandations importantes a lire attentivement: Reporter sur la copie cachetee l'intitule de

l'epreuve ci-dessus. Ne pas oublier de noter tous les numeros des copies intercalaires. Aucun document et

aucune calculatrice ne sont autorises. Il sera tenu compte du soin apporte a l'ecriture et a la presentation.

Tout resultat non justie sera considere sans aucune valeur.

Question de cours{

1. Donner la denition correspondante a

le polyn^omePadmetcomme racine d'ordre 3.

2. Preciser les conditions pour qu'un polyn^omePadmettecomme racine d'ordre 3.

3. Montrer quex42x3+ 2x1 a une racine d'ordre 3, le factoriser.

Exercice 1.CalculerZ

1 0xx

3+ 3x2+ 7x+ 5dx.

Exercice 2.

On considere la courbe parametreeCdonnee par :(

x(t) = sin3t y(t) = cos(3t)poutt2R.

1. Montrer que l'intervalle d'etude peut ^etre reduit a [0;2

] et preciser comment on peut obtenir toute la courbe a partir de la partieC1correspondant a l'intervalle [0;2

2. Etudier les variations des fonctionsxety, et dresser le tableau de variations pour la courbe en

precisant toutes les valeurs dans le tableau.

3. Sachant que, si lim

t!t0y 0(t)x

0(t)=1, alors la courbe admet enM(t0) une tangente verticale, preciser la

position de trois tangentes interessantes pour construire la courbe sur [0;2

4. En deduire l'allure de la courbeC(on utilisera l'approximation3p3

8 '0;65). Exercice 3.On considereR3[x], ensemble des polyn^omes reels de degre inferieur ou egal a 3.

1. Soient les polyn^omesP0(x) = 1,P1(x) =x,P2(x) =x(x1) etP3(x) =x(x1)(x2). Montrer

que ces polyn^omes forment une baseBdeR3[x].

2. On denit l'applicationf:(

R

3[x]!R3[x]

P7!Q=f(P) telle quef(P)(x) =P(x+ 1)P(x)

(a) Montrer quefest une application lineaire. (b) Determiner la matrice defdans la baseB.

Exercice 4.

1. Montrer que quel que soit le nombre complexenon nul (x)(x)>0, pour toutx2R.

2. Montrer queP(x) =x33x+1 admet trois racines reelles. (Indication : utiliser le resultat precedent

et, en n de raisonnement, etudier le signe deP(0),P(1)).quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25