[PDF] Exo7 - Cours de mathématiques

Courbes paramétrées - MATHEMATIQUES

On étudie l’arc et on construit son support quand t décrit [0,+∞[puis on obtient la courbe complète par réflexion d’axe (Ox) • Pour tout réel t, −−→ dM dt (t)=6t 1 t et donc M(t)est régulier pour t 6= 0 Pour t 6= 0, la tangente en M(t)est dirigée par le vecteur (1,t)

Exo7 - Cours de mathématiques

1 1 Définition d’une courbe paramétrée Définition 1 Une courbe paramétrée plane est une application f: D ˆR R2 t 7 f (t) d’un sous-ensemble D de R dans R2 Ainsi, une courbe paramétrée est une application qui, à un réel t (le paramètre), associe un point du plan On parle aussi d’arc paramétré On peut aussi la noter

Études de courbes paramétrées - Apprendre en ligne

La courbe (C) n'est pas nécessairement le graphe d'une fonction ; c'est pourquoi on parle de courbe paramétrée et non pas de fonction paramétrée On peut parfois, en éliminant le paramètre t entre les deux équations, obtenir y comme fonction de x, et ramener l'étude de la courbe à celle d'une courbe définie par une relation y = h(x)

Daniel ALIBERT Géométrie plane : courbes paramétrées

courbe par une ou plusieurs symétries Proposition 1) Si x est une fonction paire, et y une fonction impaire, la courbe est symétrique par rapport à l'axe Oy 2) Si x et y sont impaires, la courbe est symétrique par rapport à l'origine 3) Si x est impaire et y paire, la courbe est symétrique par rapport à l'axe Ox

Paramètres pharmacocinétiques

2 Surface sous la courbe : C Calcul: 1 Méthode graphique : méthode des trapèzes Le mode de calcul le plus simple est la méthode graphique qui consiste à découper la courbe expérimentale en autant de trapèzes qu’il existe de points expérimentaux 2 Méthode mathématique: Modèles pharmacocinétiques 06/08/2016

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courbe si γ est différent de zéro La valeur γ peut cependant être estimée préalablement à partir de 3 points d’une telle courbe par la méthode proposée par J David 3, avant de procéder à l’ajustement proprement dit avec des points d’abscisse t i-γ

Hydraulique `a surface libre (Open channel flows)

Chapitre 4 Hydraulique `a surface libre (Open channel flows) O Thual, 26 juin 2010 Sommaire 1 Charge hydraulique Hydraulic head 3 1 1 Equation de

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une courbe est aberrante, contrŽler les limites dÕexploitation, pour la DSC, ”ga-lement le type de ligne de base La courbe du taux de conversion, est-elle meilleure? Si non, r”p”ter la mesure (Si une seule courbe des quatre est un ªin-trusÒ, lÕeffacer) ¥ Observer ‹ lÕaide du zoom le taux de conversion de 0 ‹ 10 NÕy a-t

Etude expérimentale de la phosphatase alcaline

courbe, il y a une importante marge d’erreur lors de la détermination de Vmax De plus, le Km est lié à la valeur de Vmax, donc la marge d’erreur se rapporte également, à la valeur du Km Ainsi, il est nécessaire de linéariser cette représentation, afin de diminuer ces incertitudes, et obtenir des valeurs beaucoup plus précises

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Courbes paramétrées

une courbe particulièrement intéressante. Lacycloïdeest la courbe que parcourt un point choisi de la roue d"un vélo,

lorsque le vélo avance. Les coordonnées(x,y)de ce pointMvarient en fonction du temps :x(t) =r(tsint)

y(t) =r(1cost) oùrest le rayon de la roue.xy

La cycloïde a des propriétés remarquables. Par exemple, la cycloïde renversée est une courbebrachistochrone: c"est-à-

dire que c"est la courbe qui permet à une bille d"arriver le plus vite possible d"un pointAà un pointB. Contrairement à

ce que l"on pourrait croire ce n"est pas une ligne droite, mais bel et bien la cycloïde. Sur le dessin suivant les deux

billes sont lâchées enAà l"instantt0, l"une sur le segment[AB]; elle aura donc une accélération constante. La seconde

parcourt la cycloïde renversée, ayant une tangente verticale enAet passant parB. La bille accélère beaucoup au début

et elle atteintBbien avant l"autre bille (à l"instantt4sur le dessin). Notez que la bille passe même par des positions

en-dessous deB(par exemple ent3).A Bt 1t 1t 2t 2t 3t 3t 4t 4

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE2

1. Notions de base

1.1. Définition d"une courbe paramétréeDéfinition 1.

Unecourbe paramétrée planeest une application f:DR!R2 t7!f(t)

d"un sous-ensembleDdeRdansR2.Ainsi, unecourbe paramétréeest une application qui, à un réelt(leparamètre), associeun pointdu plan. On parle

aussi d"arc paramétré. On peut aussi la noterf:DR!R2 t7!M(t)ou écrire en abrégét7!M(t)out7!€x(t) y(t)Š.

Enfin en identifiantCavecR2, on note aussit7!z(t) =x(t) +iy(t)avec l"identification usuelle entre le point

M(t) =€x(t)

y(t)Š et son affixez(t) =x(t)+iy(t).xy

x(t)y(t)M(t) =x(t),y(t)Par la suite, une courbe sera fréquemment décrite de manière très synthétique sous une forme du type

x(t) =3lnt y(t) =2t2+1,t2]0,+1[ouz(t) =eit,t2[0,2].

Il faut comprendre quexetydésignent des fonctions deDdansRou quezdésigne une fonction deDdansC. Nous

connaissons déjà des exemples de paramétrisations.

Exemple 1.

t7!(cost,sint),t2[0,2[: une paramétrisation du cercle trigonométrique. t7!

(2t3,3t+1),t2R: une paramétrisation de la droite passant par le pointA(3,1)et de vecteur directeur

~u(2,3).

7!(1)xA+xB,(1)yA+yB,2[0,1]: une paramétrisation du segment[AB].

Sifest une fonction d"un domaineDdeRà valeurs dansR, une paramétrisation du graphe def, c"est-à-dire de

la courbe d"équationy=f(x), estx(t) =t y(t) =f(t).xy

M(t)costsintM(0)M(2

)M()M(32 )xy ~uA

M(0)M(1)M(2)M(1)

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE3xy

AB

M(0)M(1)M()xy

x(t) =ty(t) =f(t)M(t)Il est important de comprendre qu"une courbe paramétrée ne se réduit pas au dessin, malgré le vocabulaire utilisé,

mais c"est bel et bienune application. Le graphe de la courbe porte le nom suivant :Définition 2.

Lesupport d"une courbe paramétréef:DR!R2

t7!f(t)est l"ensemble des pointsM(t)oùtdécritD.

Néanmoins par la suite, quand cela ne pose pas de problème, nous identifierons ces deux notions en employant le

motcourbepour désigner indifféremment à la fois l"application et son graphe. Des courbes paramétrées différentes

peuvent avoir un même support. C"est par exemple le cas des courbes : [0,2[!R2 t7!(cost,sint)et[0,4[!R2 t7!(cost,sint)

dont le support est un cercle, parcouru une seule fois pour la première paramétrisation et deux fois pour l"autre (figure

de gauche).M(t)costsintM(t)(1,0)1t21+t22t1+t2Plus surprenant, la courbe t7!1t21+t2,2t1+t2 ,t2R,

est une paramétrisation du cercle privé du point(1,0), avec des coordonnées qui sont des fractions rationnelles

(figure de droite).

Ainsi, la seule donnée du support ne suffit pas à définir un arc paramétré, qui est donc plus qu"un simple dessin. C"est

unecourbe munie d"un mode de parcours. Sur cette courbe, on avance mais on peut revenir en arrière, on peut la

parcourir une ou plusieurs fois, au gré du paramètre, celui-ci n"étant d"ailleurs jamais visible sur le dessin. On " voit »

x(t),y(t), mais past.

Interprétation cinématique.

La cinématique est l"étude des mouvements. Le paramètrets"interprète comme letemps.

On affine alors le vocabulaire : la courbe paramétrée s"appelle plutôtpoint en mouvementet le support de cette courbe

porte le nom detrajectoire. Dans ce cas, on peut dire queM(t)est lapositiondu pointMàl"instant t.

1.2. Réduction du domaine d"étude

Rappelons tout d"abord l"effet de quelques transformations géométriques usuelles surle pointM(x,y)(xetydésignant

les coordonnées deMdans un repère orthonormé(O,~i,~j)donné).

Translation de vecteur~u(a,b):t~u(M) = (x+a,y+b).

Réflexion d"axe(Ox):s(Ox)(M) = (x,y).

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE4

Réflexion d"axe(Oy):s(Oy)(M) = (x,y).

Symétrie centrale de centreO:sO(M) = (x,y).

Symétrie centrale de centreI(a,b):sI(M) = (2ax,2by). Réflexion d"axe la droite(D)d"équationy=x:sD(M) = (y,x). Réflexion d"axe la droite(D0)d"équationy=x:sD0(M) = (y,x).

Rotation d"angle2

autour deO: rotO,=2(M) = (y,x).

Rotation d"angle2

autour deO: rotO,=2(M) = (y,x). Voici la représentation graphique de quelques-unes de ces transformations.xy

M= (x,y)t

~u(M) = (x+a,y+b)O~uxy

M= (x,y)s

(Ox)(M) = (x,y)O xy

M= (x,y)s

O(M) = (x,y)O

xy

M= (x,y)rot

O,=2(M) = (y,x)

2

OOn utilise ces transformations pour réduire le domaine d"étude d"une courbe paramétrée. Nous le ferons à travers

quatre exercices.

Exemple 2.

Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible de la courbex(t) =t32 sint y(t) =132 cost

Solution.

Pourt2R,

M(t+2) =t+232

sin(t+2),132 cos(t+2) = (t32 sint,132 cost)+(2,0) =t~uM(t)

où~u= (2,0). Donc, on étudie l"arc et on en trace le support sur un intervalle de longueur2au choix, comme

[,]par exemple, puis on obtient la courbe complète par translations de vecteursk(2,0) = (2k,0),k2Z.

Pourt2[,],

M(t) =(t32

sint),132 cost=s(Oy)M(t).

On étudie la courbe et on en trace le support sur[0,](première figure), ensuite on effectue la réflexion d"axe(Oy)

(deuxième figure), puis on obtient la courbe complète par translations de vecteursk~u,k2Z(troisième figure).xy

xy xy

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE5

Exemple 3.

Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible d"unecourbe de Lissajousx(t) =sin(2t) y(t) =sin(3t)

Solution.

Pourt2R,M(t+2) =M(t)et on obtient la courbe complète quandtdécrit[,]. •Pourt2[,],M(t) =sin(2t),sin(3t)=sOM(t). On étudie et on construit la courbe pourt2[0,], puis on obtient la courbe complète par symétrie centrale de centreO. Pourt2[0,],M(t) =sin(22t),sin(33t)=sin(2t),sin(3t)=sin(2t),sin(3t)=

s(Oy)M(t). On étudie et on construit la courbe pourt2[0,2](première figure), on effectue la réflexion d"axe

(Oy)(deuxième figure), puis on obtient la courbe complète par symétrie centrale de centreO(troisième figure).xy

xy xy

Exemple 4.

Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible de l"arc8 :x(t) =t1+t4 y(t) =t31+t4 Indication : on pourra, entre autres, considérer la transformationt7!1=t.

Solution.

Pour tout réelt,M(t)est bien défini.

Pourt2R,M(t) =sOM(t). On étudie et on construit l"arc quandtdécrit[0,+1[, puis on obtient la courbe

complète par symétrie centrale de centreO.

Pourt2]0,+1[,

=1=t1+1=t4,1=t31+1=t4 =t31+t4,t1+t4 y(t),x(t)=s(y=x)M(t). Autrement dit,M(t2) =s(y=x)M(t1)avect2=1=t1, et sit12]0,1]alorst22[1,+1[. Puisque la fonction

t7!1tréalise une bijection de[1,+1[sur]0,1], alors on étudie et on construit la courbe quandtdécrit]0,1]

(première figure), puis on effectue la réflexion d"axe la première bissectrice (deuxième figure) puis on obtient la

courbe complète par symétrie centrale de centreOet enfin en plaçant le pointM(0) = (0,0)(troisième figure).xy

xy xy

Exemple 5.

Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible de l"arcz=13

2eit+e2it. En calculantz(t+23), trouver

une transformation géométrique simple laissant la courbe globalement invariante.

Solution.

Pourt2R,z(t+2) =13

2ei(t+2)+e2i(t+2)=13

2eit+e2it=z(t). La courbe complète est obtenue quand

tdécrit[,].

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE6

•Pourt2[,],z(t) =13

2eit+e2it=1

3 (2eit+e2it)=z(t). Donc, on étudie et on construit la courbe

quandtdécrit[0,], la courbe complète étant alors obtenue par réflexion d"axe(Ox)(qui correspond à la

conjugaison).

Pourt2R,

z(t+23 ) =13

2ei(t+2=3)+e2i(t+2=3)

13

2e2i=3eit+e4i=3e2it=e2i=3z(t).

Le pointM(t+2=3)est donc l"image du pointM(t)par la rotation de centreOet d"angle23. La courbe complète

est ainsi invariante par la rotation de centreOet d"angle23 .xy O

1.3. Points simples, points multiples

Définition 3.

Soitf:t7!M(t)une courbe paramétrée et soitAun point du plan. Lamultiplicitédu pointApar rapport à la

courbefest le nombre de réelstpour lesquelsM(t) =A.En termes plus savants : la multiplicité du pointApar rapport à l"arcfest Cardf1(A).AAA

SiAest atteint une et une seule fois, sa multiplicité est1et on dit que le pointAest unpoint simplede la courbe

(première figure).

SiAest atteint pour deux valeurs distinctes du paramètre et deux seulement, on dit queAest unpoint doublede

la courbe (deuxième figure).

On parle de même depoints triples(troisième figure),quadruples, ...,multiples(dès que le point est atteint au

moins deux fois).

Une courbe dont tous les points sont simples est unecourbe paramétrée simple. Il revient au même de dire que

l"applicationt7!M(t)est injective. Comment trouve-t-on les points multiples?Pour trouver les points multiples d"une courbe, on cherche les couples(t,u)2D2tels quet>uet

M(t) =M(u).On se limite au couple(t,u)avect>uafin de ne pas compter la solution redondante(u,t)en plus de(t,u).

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE7

Exemple 6.

Trouver les points multiples de l"arcx(t) =2t+t2

y(t) =2t1t

2,t2R.xy

M(t) =M(u)Solution.

Soit(t,u)2(R)2tel quet>u.

M(t) =M(u)()2t+t2=2u+u2

2t1t

2=2u1u

2()(t2u2)+2(tu) =0

2(tu)1t

21u
2=0 ()(tu)(t+u+2) =0quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25