BTS Electrotechnique Cours de MathØmatiques

Mathématiques appliquées à l’électrotechnique Luc De Mey Année 2016-2017 Ces notes de cours sont tant qu’à présent en cours d’élaboration

S3 - MATHÉMATIQUES

travaux pratiques et dans les expériences de cours : dispositifs d’acquisition et logiciels de traitement des signaux, logiciels de simulation, tableurs pour les calculs et les modélisations Exemples : • Utilisation d’un logiciel de simulation : • étude du fonctionnement d’un convertisseur, d’une machine ou d’une association ;

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Electrotechnique Fondamentale 1 (Cours et applications) Dr Mohammed Amine ZAFRANE Année universitaire 2019/2020 Document pédagogique élaboré dans le cadre des dispositifs du décret exécutif n° 90-365 du 10/11/1990 relatif à l'élaboration des supports pédagogiques et didactiques

Résumé des changements en mathématiques en BTS électrotechnique

dans les établissements publics habilités, la session 2021 est la dernière au cours de laquelle les mathématiques sont évaluées par une épreuve ponctuelle écrite de 3 heures relevant du groupement A À compter de la session 2022, les mathématiques sont évaluées par CCF et donnent lieu à deux

EXERCICES ET PROBLÈMES D’ÉLECTROTECHNIQUE

2 1 Synthèse de cours n°3: Circuits magnétiques et transformateurs 59 2 1 1 Circuits magnétiques en électrotechnique 59 2 1 2 Circuits magnétiques en régime alternatif sinusoïdal 62 2 1 3 Transformateurs 64 2 1 4 Transformateurs triphasés 67 2 2 Série d’exercices n°3: Circuits magnétiques et transformateurs 69

Sommaire des cours 2e année BTS Electrotechnique

Sommaire des cours 2e année BTS Electrotechnique Matières Module thématique 1 Anglais Culture générale et expression Anglais Mathématiques Sciences appliquées Génie électrique Construction Durant cette année de formation, nous vous proposons 29 devoirs à envoyer à

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—F THIRIOUX, BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques Lycée René Perrin, Ugine —C CHERRUAU & F CHERRUAU, Maths, BTS Groupement A Contrôle Continue Ellipses Table des matières 1 Sommes de Riemann2 2 Intégration par primitives3 3 Intégration par parties6

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La connaissance du cours est une condition absolument n´ecessaire, mais non suﬃsante, de r´eussite a l’´epreuve de l’examen Les math´ematiques ne peuvent se maˆıtriser que par un entraˆınement r´egulier, et donc par la recherche de nombreux exercices

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BTS Electrotechnique

Cours de Mathématiques

François THIRIOUX

francois.thirioux@ac-grenoble.fr

Lycée René Perrin, Ugine

Mai 2003

Table des matières

Présentation du programme v

1 Préliminaires 1

1.1 Dé...nitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Intégration8

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Dé...nition de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Méthodes d"intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Séries numériques 14

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Dé...nition d"une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

TABLE DES MATIÈRESii3.1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.2 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Séries de Fourier 17

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.2 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Coe¢ cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1 Formes exponentielle et réelle; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.2 Propriétés des coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.1 Egalité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.2 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4.1 Signal en créneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.2 Signal en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2.1 Dé...nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.2 Résolution de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2.3 Recherche d"une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 31

5.2.4 Utilisation d"une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.1 Dé...nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.2 Résolution de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.3 Recherche d"une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIÈRESiii5.3.4 Utilisation d"une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Développements limités 38

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Transformation de Laplace 44

7.1 Introduction et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.1 Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.4 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.5 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 Transformée de Laplace d"une fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.1 Dé...nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.2 Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2.3 Transformées fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2.4 Théorèmes complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3 Applications à l"analyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3.3 Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bibliographie 56

Présentation du programme

Ce cours traitegrosso mododes items suivants composant le programme :

1. Nombres complexes 2.

2. Suites numériques 2.

3. Fonctions d"une variable réelle.

5. Séries numériques et séries de Fourier.

6. Transformation de Laplace

7. Transformation enz.

9. Fonctions de deux ou trois variables.

10. Calcul matriciel.

11. Calcul des probabilités 1.

12. Calcul vectoriel.

Chapitre 1

Préliminaires

1.1 Dé...nitions préalables

1.1.1 Factorielle

1.1.1.1 Dé...nitionSoitnun entier naturel. Lafactorielleden, notéen!;est le nombre

entier : n! = 1:2:3::nsin>1;

0! = 1, par convention.

1.1.1.2 ExempleOn a :5! = 1:2:3:4:5 = 120:

1.1.1.3 RemarqueIl est souvent utile de noter que(n+ 1)! = (n+ 1):n!.

1.1.1.4 RemarqueLa croissance den!est extrêmement rapide. Par exemple,50! = 3;0414

10 64:

1.1.2 Sommations

1.1.2.1 NotationSi lesaisont des objets (nombres, matrices, fonctions...) que l"on peut

sommer, on dé...nit : nX k=1a k=a1+a2++an, oùnpourra être+1:

1.1.2.2 PropositionLa somme est unopérateur, i.e.C-linéaire :

X k(ak+bk) =X ka k+X kb k, X k(ak) =X ka k, pour tout2C. 1

1. Préliminaires21.1.2.3 ExempleOn a, pourz2C:

3 X p=0i:(zp+ 1)p!=i3X p=0z pp!+i3X p=01p! =i+iz+iz22 +iz36 +i+i+i2 +i6

1.1.2.4 ExerciceMontrer que :nX

k=1k=n(n+ 1)2

1.1.2.5 ExerciceMontrer que :

n X k=1k 2=13 (n+ 1)312 (n+ 1)2+16 n+16 =16 n(n+ 1)(2n+ 1):

1.1.3 Combinaisons

1.1.3.1 Dé...nitionOn appellecoe¢ cient binômialun nombre entier donné, pourk6n;

par : C kn=n!k!(nk)!:

1.1.3.2 RemarquePlusieurs observations sont nécessaires. D"abord, c"est bien un entier, ce

qui sera démontré dans la suite. Ensuite, ce nombre est parfois noté aussin k. En...n, plus

concrètement, il représente le nombre de façons de prendre (sans ordre)kéléments parmin.

Son rôle est très important en probabilités, mais aussi de manière générale dans les autres

domaines.

1.1.3.3 ThéorèmeSoientk6n:On a les relations très importantes suivantes :

C kn=Cnkn; C kn+Ck+1n=Ck+1n+1: Preuve.La première relation est évidente. La deuxième nécessite juste un calcul simple

(partir du membre de gauche).1.1.3.4 RemarqueLa deuxième relation estfondamentale. Elle prouve, de proche en proche,

que les coe¢ cients binômiaux sont bien des entiers. Mais aussi et surtout, elle fournit un moyen

bien simple de calculer et de représenter ces coe¢ cients : le triangle de Pascal (il semble en fait

que ce soit plus ancien...).

1. Préliminaires3nk012345678

01 111
2121
31331

414641

515101051

61615201561

7172135352171

818285670562881

Bien observer les propriétés de ce tableau (en particulier celles données par le théorème)

n"est pas une perte de temps!

1.2 Polynômes

1.2.1 Rappels

1.2.1.1 Dé...nitionOn dit qu"une fonctionP:C!Cest unpolynôme de degré ns"il

existe des coe¢ cients complexesa0;;an,anétant non nul, tels que :

P(z) =nX

k=0a k:zk=a0+a1:z++an:zn:

1.2.1.2 ExempleLes trinômes du second degré à coe¢ cients réels sont des polynômes de

degré 2. Les polynômes de degré 0 sont les nombres complexes.

1.2.1.3 PropositionSin2Net sizetasont deux complexes, alors :

z nan= (za)n1X k=0z n1kak= (za)(zn1+zn2:a++z:an2+an1): Preuve.Développer le membre factorisé; les termes s"annulent presque tous.1.2.2 Factorisation

1.2.2.1 ThéorèmeSoitP(z)un polynôme de degrén. AlorsP(b) = 0ssiP(z) = (zb)Q(z)

, oùQest un polynôme de degré(n1).

1. Préliminaires4Preuve.SiP(z) = (zb)Q(z);alors il est évident queP(b) = 0:

Réciproquement, notonsP(z) =a0+a1:z++an:zn:PuisqueP(b) = 0;on a0 = a

0+a1:b++an:bn:Ainsi, en utilisant la proposition précédente :

P(z)0 = (a0+a1:z++an:zn)(a0+a1:b++an:bn)

=a1:(zb) ++an:(znbn) =a1:(zb) ++an:(zb)(zn1+zn2:b++z:bn2+bn1) = (zb)Q(z), oùQest un polynôme de degré(n1):

C"est ce qu"il fallait montrer.1.2.2.2 RemarqueCe théorème estfondamental, mais aussi très utile dans des cas simples.

Il ne faut pas oublier qu"il est bien sûr aussi valable pour des nombres réels (puisqueRC)!

1.2.2.3 ExempleSupposons qu"une parabolefcoupe l"axe des abscisses aux points1et5,

et que son minimum soit de1:On trouve facilement la forme factorisée de l"équation de cette parabole. On applique 2 fois le théorème : f(x) = (x1):g(x),gde degré 1 s"annulant en 5 = (x1)(x5):h(x),hde degré 0, i.e.h(x)est une constante:

Ensuite, l"extremum d"une parabole se situe au milieu de ses 2 racines (éventuelles), c"est-à-dire

ici en3. Ainsi,1 =f(3) = (31)(35):=4:Soit=14 ;i.e.f(x) =14 (x1)(x5).

1:pdf:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfwidthbp0:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfwidth:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfheightbp0:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfheight1.2.2.4 ExempleSupposons que l"on sache que la fonctionf(x) =x33x2+2x6s"annule

pourx= 3(par exemple en le devinant graphiquement et en le véri...ant algébriquement). On

sait par le théorème quef(x)se factorise en(x3)g(x), oùgest un trinôme du second degré.

On poseg(x) =ax2+bx+c:Puis, en développant(x3)g(x)et en identi...ant avecf(x);on obtientf(x) = (x3)(x2+ 2):

1. Préliminaires5x

33x2+2x6:/windows/TEMP/graphics/swp0001

2:pdf:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfwidthbp0:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfwidth:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfheightbp0:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfheight1.2.2.5 RemarqueAu lieu d"identi...er les termes pour trouver les coe¢ cients polynômiaux,

1.2.3 Formule du binôme

1.2.3.1 ThéorèmeSiaetbsont deux nombres complexes, et sinest un entier, alors :

(a+b)n=nX k=0C kn:akbnk: Preuve.Supposer que la formule est vraie au rangn, puis la démontrer au rang(n+ 1),

en utilisant la relation(a+b)n+1= (a+b)(a+b)n.1.2.3.2 ExempleDéveloppons(a+b)4:On lit la ligne n4 du triangle de Pascal (correspondant

àn= 4). On y trouve les coe¢ cients binômiaux qui nous intéressent ici, i.e. lesCk4. Ainsi :

(a+b)4= 1:a4+ 4:a3b+ 6:a2b2+ 4:ab3+ 1:b4:

1.2.3.3 RemarqueLes coe¢ cient binômiaux jouent un rôle important en dénombrement. Ici,

observons la formule du théorème. Notons que : (a+b)n= (a+b)(a+b)(a+b)|{z} n fois: Trouver (dans le développement) le coe¢ cient deakbnk, c"est compter le nombre de facons de prendre, dans le membre de droite ci-dessus,ktermes\a"parmin. DoncCknreprésente bien le nombre de manières de prendrekéléments parmin.

1.2.3.4 ExercicePourquoi le raisonnement précédent est-il aussi valable si l"on compte les

\b"au lieu des\a"?

1. Préliminaires61.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonomé-

trie

1.3.1 Nombres complexes

complexes privé de0. La lettreidésigne le complexe de carré1(en électricité ce nombre est

notéj, a...n d"éviter la confusion avec l"intensité).

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