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Brevet des Collèges DNB 2015 Pondichéry - MathExams

Brevet des Collèges DNB 2015 Pondichéry Avril 2015 Correction Exercice 1 QCM 5 points Questions A B C 1 La forme développéede (x−1) 2est : x −2x+1 2 Une solution de l’équation : 2x2 +3x−2=0est −2 3 On considère la fonction f : x −→ 3x+2 Un antécédent de −7par la fonctionfest : −3 4

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Sujet de mathématiques du brevet des collèges PONDICHÉRY Avril 2015 Durée : 2h00 Calculatrice autorisée La qualité de la rédaction, l’orthographe et la rédaction comptent pour 4 points EXERCICE 1 6 POINTS Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples) Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste

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Brevet des CollègesDNB 2015 PondichéryAvril 2015Correction

Exercice 1. QCM5 points

QuestionsABC

1La forme développée de(x-1)2est :x2-2x+1

2Une solution de l"équation :2x2+ 3x-2 = 0est-2

3On considère la fonctionf:x?-→3x+ 2. Un antécédent de-7par la

fonctionfest :-3

4Lorsqu"on regarde un angle de 18° à la loupe de grossissement2, on voit

un angle de :18° 5 On considère la fonctiong:x?-→x2+ 7. Quelle est la formule à entrer dans la cellule B2 pour calculerg(-2)? AB

1xg(x)

2-2 = A2ˆ2 + 7

1. La forme développée de(x-1)2:

En utilisant l"identité remarquable(a-b)2=a2-2a b+b2on obtient : (x-1)2=x2-2×x×1 + 12 (x-1)2=x2-2x+ 1

La bonne réponse est donc1.B.

2. Une solution de l"équation :2x2+ 3x-2 = 0:

Il suffit de tester les valeurs proposées :

•Pourx= 0, alors2x2+ 3x-2 = 2×02+ 3×0-2 =-2?= 0; •Pourx= 2, alors2x2+ 3x-2 = 2×22+ 3×2-2 = 8 + 6-2 = 12?= 0; •Pourx=-2, alors2x2+ 3x-2 = 2×(-2)2+ 3×(-2)-2 = 8-6-2 = 0;

Parmi les trois solutions proposées, la seule qui est solution de cette équation est(-2), la bonne réponse est donc2.C.

3. On considère la fonctionf:x?-→3x+ 2. Un antécédent de-7par la fonctionfest ::

On cherche donc les éventuels antécédents de-7parfc"est à dire les solution de l"équationf(x) =-7. Donc :

f(x) =-7?3x+ 2 =-7 f(x) =-7?3x=-9 f(x) =-7?x=-9 3=-3 L"unique antécédent de-7parfest donc-3, la bonne réponse est donc3.B. Remarque: On pouvait aussi calculer les images parfdes valeurs proposées, on obtenait : f(-19) =-55 ;f(-3) =-7 ;f(-7) =-19

4. Lorsqu"on regarde un angle de 18° à la loupe de grossissement 2, on voit un angle de:

Un agrandissement ou une réduction ne modifie pas les angles.Par exemple, un triangle équilatéral de côté 1 cm a tous ses

angles de 60

◦, comme le même triangle agrandi 2 fois, donc de côté 2 cm. La bonne réponse est donc4.C.

5. Formule du tableur

Pour calculer l"image de la valeur de la celluleA2par la fonctiong:x?-→x2+ 7, il faut ajouter 7 au carré de la valeur de

cette cellule et donc entrer la formule A2ˆ2 + 7 . La bonne réponse est donc5.A.

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Avril 2015

Exercice 2. PGCD4 points

Un chocolatier vient de fabriquer 2622 oeufs de Pâques et 2530 poissons en chocolat.

1. Le chocolatier peut-il faire 19 paquets? Justifier.

Le nombre de paquets doit être un diviseur commun du nombre d"oeufs de Pâques et de poissons au chocolat. Or 19 ne divise

pas 2530 car le reste de la division euclidienne de 2530 par 19n"est pas nul :

2530 = 19×133 + 3

Il ne peut donc pas faire 19 paquets

2. Quel est le plus grand nombre de paquets qu"il peut réaliser? Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque

paquet?

Le nombre de paquets cherchéN, est un diviseur commun de2 530et de2 622. Or on cherche le nombre maximum de paquets

et de ce faitNest le PGCD de2 530et de2 622. Utilisons l"algorithme d"Euclide pour calculer ce PGCD :

2622 = 1×2530+ 92

2530 = 27×92 + 46

92 = 2×46 + 0

Le dernier reste non nul est46, qui est donc le PGCD de 2622 et de 2530.

Le nombre maximal de paquets est de 46.

En outre, puisque :

2622 = 46×57et2530 = 46×55

La composition de chacun des 46 paquets sera de 57 oeufs de Pâques et 55 poissons au chocolat. www.math93.com /www.mathexams.fr2/8

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Avril 2015

Exercice 3. Recherche du bénéfice maximal6 points

Information1: les loyersdesdeux

emplacements proposés :

•la paillotte sur la plage : 2500e

par mois.

•la boutique au centre-ville:60e

par jour.

Information 2: la météo à Hendaye

Du 1erjuin au 31 août inclus :

•Le soleil brille 75% du temps

•Le reste du temps, le temps est nua-

geux ou pluvieux.

Information3: prévisionsdes ventes par

jour selon la météo :

SoleilNuageux

pluvieux

La paillotte500e50e

La boutique350e300e

On rappelle que le mois de juin comporte 30 jours et les mois dejuillet et août comportent 31 jours.

Établissons un bilan des dépenses et des recettes envisagées pour chaque option.

•Dépenses

- Sur la plage. La paillotte sur la plage se loue 2 500 euros par mois, donc pour les 3 mois : D

1= 2500×3 = 7500e

- Au centre ville. La période considérée est de 3 mois de respectivement 30, 31 et 31 jours soit au total :

30 + 31 + 31 = 92jours

La boutique au centre ville se loue 60 euros par jour, donc la dépense totale sera de : D

2= 92×60 = 5520e

•Recettes

- Sur la plage.

Le soleil brille75%du temps sur cette période. Or les prévisions de vente pour lapaillotte sont de 500 euros par

temps ensoleillé et 50 euros sinon. la recette totale sera donc pour les 92 jours de : R

1= (92×0,75)×500e+ (92×0,25)×50e

R

1= 69×500e+ 23×50e

R

1= 34500e+ 1150e

Soit R

1= 35650e

- Au centre ville.

Le soleil brille75%du temps sur cette période. Or les prévisions de vente pour laboutique sont de 350 euros par

temps ensoleillé et 300 euros sinon. La recette totale sera donc pour les 92 jours de : R

2= (92×0,75)×350e+ (92×0,25)×300e

R

2= 69×350e+ 23×300e

R

2= 24150e+ 6900e

Soit R

2= 31050e

•Bilan

- Sur la plage Avec la paillotte sur la plage, le bénéfice prévu sera de : B

1=R1-D1= 35650-7500 = 28150e

- Au centre ville Avec la boutique du centre ville, le bénéfice prévu sera de : B

2=R2-D2= 31050-5520 = 25530e

•Conclusion

Le choix de la paillotte sur la plage s"impose donc car le bénéfice est supérieur à celui de la boutique.

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Avril 2015

Exercice 4. Volumes dans une pyramide6 points

La dernière bouteille de parfum de chez Chenal a la forme d"une pyramide SABC à base triangulaire de hauteur [AS] telle que:

ABC est un triangle rectangle et isocèle en A; AB = 7,5 cm et AS =15 cm.

1. Calculer le volume de la pyramide SABC. (On arrondira au cm

3près.)

Le volume d"une pyramide est donné par la formule : V

SABC=1

3×Aire Base×Hauteur

Soit ici puisque la pyramide SABC est de hauteur [AS] et de base le triangle ABC, rectangle et isocèle en A : V

SABC=1

3×AABC×SA

Soit V

SABC=1

3×AB×AC2×SA

V

SABC=1

3×7,5×7,52×15

Soit arrondi au cm

3près :

V

SABC= 140,625cm3≈141cm3

S S MN A BC

2. Pour fabriquer son bouchon SS

?MN, les concepteurs ont coupé cette pyramide par un plan P parallèle à sa base et passant par le point S ?tel que SS?= 6 cm.

2. a. Quelle est la nature de la section plane S

?MN obtenue?

Le plan P étant parallèle à la base, la section de coupe, c"està dire le triangle S"MN, est une réduction du triangle ABC. Une

réduction conserve les propriétés géométriques de la figureinitiale ABC donc : Le triangle S"MN est un triangle rectangle isocèle en S"

2. b. Calculer la longueur S

?N. La pyramide SS"MN est une réduction de SABC de rapport k=SS?

SA=615=25

De ce fait, la longueur S"N est une réduction de rapportkde la longueur AC soit : S ?N=2

5×AC

S ?N=2

5×7,5 = 3cm

3. Calculer le volume maximal de parfum que peut contenir cette bouteille en cm3.

La pyramide SS"MN est une réduction de SABC de rapportk=2

5, donc le volume de la pyramide réduite s"obtient en

multipliant celui de la pyramide initiale park3. De ce fait : V

SS?MN=?2

5?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2