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Nom :FONCTIONS3`eme
Nom :FONCTIONS3`eme Exercice 1 On donne la feuille de calcul ci-contre La colonne B donne les valeurs de l’expression 2x2 3x 9 pour quelques valeurs de x de la colonne A 1) Si on tape le nombre 6 dans la cellule A17, quelle valeur va-t-on obtenir dans
20 d ecembre 2017 - 1h - Maths LFB
On consid ere le programme de calcul ci-contre dans lequel x, Etape 1, Etape 2 et R esultat sont quatre variables 1 a)Julie a fait fonctionner ce programme en choisissant le nombre 5 V eri er que ce qui est dit a la n est : ˝ J’obtiens nalement 20 ˛ b)Que dit le programme si Julie le fait fonctionner en choisissant au d epart le nombre 7?
Algobox-partie3 - chingatome
On consid ere le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre Elever le nombre choisi au carr e Soustraire au r esultat le nombre de d epart Ajouter 3 a cette ff erence Partie A : sans Algobox 1 Donner la valeur retourn ee par le programme de calcul : a lorsque le nombre choisi est 2; b lorsque le nombre choisi est 1 Partie B
XVI Calcul diff´erentiel - emmanuelmorandnet
Calcul diff´erentiel Hors-programme - On g´en´eralise la notion de d´eveloppement limit´e d’ordre 1 pour les Contre-exemple 3 On consid`ere la
Modèles de calculs - polytechnique
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Simulation avec R Hassnaoui M UPO Lyon 24 juin 2017 R-Project est un logiciel libre et gratuit et a code source ouvert ( open source), pour le t el echarger, il su t de saisir cette
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Sup Tsi - Cours de math´ematiques
XVI. Calcul diff´erentiel
1 Fonctions de deux variables `a valeurs r´eelles
D´efinition 1.On appellefonction de deux variablesxety`a valeurs r´eelles une fonctionfd"une partieDdeR2et `a valeurs dansR:
f:D →R (x,y)?→f(x,y)Exemple 1.La fonction polynomialef: (x,y)?→x
2+xy+y2est une fonction de deux variables.
Exercice 1.D´eterminer puis repr´esenter graphiquement l"ensemble de d´efinition de la fonction de deux
variablesf: (x,y)?→?1-(x2+y2).(on pourra utiliser les coordonn´ees polaires)
Remarque 1.On peut repr´esenter graphiquement une fonction de deux variables par une surface de l"espace
d"´equationz=f(x,y). xyz=f(x,y) DExercice 2.D´eterminer la repr´esentation graphique de la fonction dedeux variablesf: (x,y)?→?
1-(x2+y2).
2 Continuit´e d"une fonction de deux variables
D´efinition 2.On consid`ere une fonction de deux variablesf:D →Rd´efinie au voisinage deA?R2, on
dit queftend vers0enAsi pour tout? >0il existeδ >0tel que|f(M)|??siM? DetAM?δ. Exercice 3.Montrer que la fonction de deux variablesf: (x,y)?→e x2+y2-1tend vers0enO(0;0).D´efinition 3.Une fonction de deux variablesf:D →Rest dite continue enA? Dsi la fonctionf-f(A)
tend vers0enA. Exemple 2.Les fonctions polynomiales de deux variables sont d´efinieset continues surR 2. Sup Tsi - Cours de math´ematiquesXVI. Calcul diff´erentiel3 D´eriv´ees partielles premi`eres d"une fonction de deux variables
D´efinition 4.On consid`ere une fonction de deux variablesf:D →R (x,y)?→f(x,y)etA? D.Si la fonctionx?→f(x,y
A)est d´erivable enxA, son nombre d´eriv´e enxAest appel´ed´eriv´ee partielle par rapport `a la variablexde la fonctionfenAet not´e∂f∂x(A).Si la fonctiony?→f(x
A,y)est d´erivable enyA, son nombre d´eriv´e enyAest appel´ed´eriv´ee partielle par rapport `a la variableyde la fonctionfenAet not´e∂f∂y(A). Exercice 4.Montrer que la fonction de deux variablesf: (x,y)?→e x2+y2admet des d´eriv´ees partielles par rapport `axetyen tout point deR2et les d´eterminer.
D´efinition 5.
Si une fonction de deux variablesf:D →R
(x,y)?→f(x,y)admet des d´eriv´ees partielles par rapport `axetyenA? D, on appelle gradientde la fonctionfenAle vecteur : gradf(A) =(( ∂f ∂x(A) ∂f ∂y(A))) Contre-exemple 1.On consid`ere la fonctionf:R2→R (x,y)?→? xy x2+y2si(x,y)?= (0,0)0si(x,y) = (0,0).
1. Montrer que la fonctionfadmet des d´eriv´ees partielles par rapport `axetyenO(0,0)et les d´eter-
miner.2. Montrer quefn"est pas continue enO(0,0).
(on pourra calculerlimn→+∞f?1n,1n?etlimn→+∞f?-1n,1n?) D´efinition 6.Si une fonction de deux variablesf:D →R (x,y)?→f(x,y)admet des d´eriv´ees partielles par rapport `axetyen tout point deDet que celles-ci sont continues surDalors la fonctionfest dite de classeC1surD.
Exercice 5.Montrer que la fonction de deux variablesf: (x,y)?→arctan(xy)est de classeC1surR2.
Propri´et´e 1.Une fonction de deux variables de classeC1surD ?R2est continue surD.
D´emonstration.Hors-programme - On g´en´eralise la notion de d´eveloppement limit´e d"ordre 1 pour les
fonctions de deux variables. Sup Tsi - Cours de math´ematiquesXVI. Calcul diff´erentiel Th´eor`eme 1.D´eriv´ee d"une fonction compos´ee On consid`ere une fonctionfde deux variablesxetyde classeC1surDet deux fonctionsa,bde classeC1sur un intervalleItelles que(a(t),b(t))? Dpour tous
t?I, alors la fonctiong:t?→f(a(t),b(t))est de classeC1surIet :
g ?(t) =a?(t)∂f∂x(a(t),b(t)) +b ?(t)∂f∂y(a(t),b(t))D´emonstration.Hors-programme.
Exercice 6.V´erifier le th´eor`eme 1 avec les fonctionsf: (x,y)?→arctan(xy),a:t?→t2etb:t?→et.
Corollaire 1.
D´eriv´ees partielles d"une fonction compos´ee On consid`ere une fonctionfde deux variablesuetvde classeC1surΔet deux fonctionsa,bde deux variablesxetyde classeC1surDtelles que(a(x,y),b(x,y))?Δ
pour tous(x,y)? D, alors la fonctiong: (x,y)?→f(a(x,y),b(x,y))est de classeC 1 surDet ses d´eriv´ees partielles par rapport `axetysont respectivement : ∂g∂x(x,y) =∂a∂x(x,y)∂f∂u(a(x,y),b(x,y)) +∂b∂x(x,y)∂f∂v(a(x,y),b(x,y))
∂g∂y(x,y) =∂a∂y(x,y)∂f∂u(a(x,y),b(x,y)) +∂b∂y(x,y)∂f∂v(a(x,y),b(x,y))
D´emonstration.Exigible.
Exercice 7.On consid`ere une fonctionf? C1(R2), exprimer les d´eriv´ees partielles de la fonction
g: (x,y)?→f(x2y,xy2)en fonction des d´eriv´ees partielles de la fonctionf.
Propri´et´e 2.On consid`ere une fonction de deux variablesf:D →R (x,y)?→f(x,y)de classeC1surD,
sifadmet un extremum local enA? Dalors∂f ∂x(A) =∂f∂y(A) = 0. D´emonstration.Exigible - On consid`ere les fonctionsx?→f(x,yA) ety?→f(xA,y).
Exercice 8.D´eterminer les extrema de la fonctionf: (x,y)?→x2+y2. Sup Tsi - Cours de math´ematiquesXVI. Calcul diff´erentiel4 D´eriv´ees partielles secondes d"une fonction de deux variables
D´efinition 7.On consid`ere une fonctionf:D →R (x,y)?→f(x,y)admettant des d´eriv´ees partielles par rapport `axetyen tout point deD, si les fonctions∂f ∂xet∂f∂yadmettent des d´eriv´ees partielles par rapport `axetyon d´efinit les d´eriv´ees partielles secondes de la fonctionfpar : 2f ∂x2=∂∂x? ∂f∂x? 2f ∂y∂x=∂∂y? ∂f∂x? 2f ∂x∂y=∂∂x? ∂f∂y? 2f ∂y2=∂∂y? ∂f∂y?Contre-exemple 2.On consid`ere la fonctionf:R
2→R
(x,y)?→???x 3y x2+y2si(x,y)?= (0,0)0si(x,y) = (0,0).
1. Montrer que la fonctionfadmet des d´eriv´ees partielles par rapport `axetyen tout point deR
2et les
d´eterminer.2. Montrer que
∂f ∂xadmet une d´eriv´ee partielle par rapport `ayenO(0,0).3. Montrer que
∂f ∂yadmet une d´eriv´ee partielle par rapport `axenO(0,0).4. Montrer que
2f ∂x∂y(O)?=∂ 2f ∂y∂x(O). D´efinition 8.Si une fonction de deux variablesf:D →R (x,y)?→f(x,y)admet des d´eriv´ees partielles secondes 2f ∂x2,∂ 2f ∂y∂x,∂ 2f ∂x∂yet∂ 2f ∂y2en tout point deDet que celles-ci sont continues surDalors la fonctionfest dite de classeC2surD.
Exercice 9.Montrer que la fonction de deux variablesf: (x,y)?→arctan(xy)est de classeC2surR2.
Th´eor`eme 2.
Th´eor`eme de Schwarz
Si une fonction de deux variablesf:D →R
(x,y)?→f(x,y)est de classeC2surDalors 2f ∂y∂x=∂ 2f ∂x∂y.D´emonstration.Hors-programme - On utilise astucieusement le th´eor`eme des accroissements finis.
Contre-exemple 3.On consid`ere la fonctionf:R2→R (x,y)?→???x 3y x2+y2si(x,y)?= (0,0)0si(x,y) = (0,0).
1. Montrer quefadmet une d´eriv´ee partielle seconde∂
2f ∂x∂yen tout point deR 2.2. Montrer que
2f ∂x∂yn"est pas continue enO(0,0).(on pourra calculerlimn→+∞∂2f∂x∂y?
0,1n? etlimn→+∞∂2f∂x∂y?
1n,0? Sup Tsi - Cours de math´ematiquesXVI. Calcul diff´erentiel5 Int´egrales doubles
D´efinition 9.On consid`ere une fonctionfde deux variablesxetyd´efinie et continue sur D=? (x,y)?R2/a?x?b
u(x)?y?v(x)? aveca?b,u,v? C([a,b])etu?v, on d´efinit l"int´egralede la fonctionfsurDpar??Df(x,y)dxdy=?
b a??v(x) u(x) f(x,y)dy? dx. xy z a b y=u(x)y=v(x) DRemarque 2.l"int´egrale double??
Df(x,y)dxdyrepr´esente le volume alg´ebrique d´elimit´e par le planxOy, le domaineDet la surface associ´ee `a la fonctionf.Exercice 10.On consid`ere le domaine du planD=?
(x,y)?R2/-1?x?1
x2?y?1? , repr´esenter graphi- quementDpuis calculer??Dxydxdy.
Propri´et´e 3.
Positivit´e de l"int´egrale double
On consid`ere une fonctionfde deux variablesxetyd´efinie et continue sur un domaineD, sif?0alors??
Df(x,y)dxdy?0.
D´emonstration.Exigible.
Propri´et´e 4.Lin´earit´e de l"int´egrale doubleOn consid`ereλ,μ?Ret deux fonctionsf,gde deux variablesxetyd´efinies et continues sur un domaine
Dalors??
D(λf+μg)(x,y) dxdy=λ??
Df(x,y)dxdy+μ??
Dg(x,y) dxdy.
D´emonstration.Exigible.
Propri´et´e 5.Additivit´e de l"int´egrale double par rapport au domaine d"int´egration
On consid`ere une fonctionfde deux variablesxetyd´efinie et continue sur un domaineDr´eunion disjointe
des domainesD1etD1alors??
Df(x,y)dxdy=??
D1f(x,y)dxdy+??
D2f(x,y)dxdy.
D´emonstration.Hors-programme.
Remarque 3.La propri´et´e 5 est l"´equivalent de larelation de Chaslespour les int´egrales simples.