Exercice : Sismique
Exercice : Sismique Corrigé Connaissances Raisonnement Production 1°) Séisme = ébranlement brutal du sol provoqué par le mouvement relatif de 2 compartiments rocheux Foyer =lieu précis où se produit la rupture initiale et la libération d'énergie épicentre = projection du foyer à la surface du sol 2°)
Exercice complémentaire GE sismique - IPGP
TD2 : Exercice complémentaire de sismique par Estelle Roux 1) Identifier les ondes sur le point de tir 2) Trouver les équations des hodochrones pour chacune d’elles 3) A partir des observations sur la section grand angle, trouver le modèle correspondant, en considérant des couches planes et horizontales
La sismique réfraction - cours, examens
-> La sismique est une méthode de prospection géophysique dans laquelle une source émet des ondes élastiques qui pénètrent dans le sol, s’y propagent et se réfléchissent sur les interfaces séparant des milieux dans lesquels les vitesses
Jacques Dubois Michel Diament Jean-Pascal Cogné Antoine Mocquet
4 2 5 La tomographie sismique 139 Exercices 142 Corrigés 143 Chapitre 5 La prospection sismique 147 5 1 La prospection sismique en réflexion 147 5 1 1 La géométrie des rais 147 5 1 2 La prospection sismique en réflexion à terre et en mer 156 5 1 3 Les diverses méthodes de prospection sismique en réflexion 171 5 1 4 La prospection
Corrigé - SVT connectées
L’activité sismique est presque quotidienne dans les Alpes Les données GPS indiquent un rapprochement entre les deux plaques Doc 2 Une faille dans les Alpes Les couche de roches se sont déformées de manière cassante Doc 3 Des plis dans les Alpes Les roches se sont déformées de manière souple Doc 4
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CHAPITRE1
Formalisme lagrangien
1.1 Exercices
1.1.1Exercice
1. Rappeler ce qu"est un d´eplacement virtuel et qu"appelle-t-on par le travail virtuel
en g´en´eral? Que devient ce travail si le syst`eme est statique ou se d´eplace avec un mouvement uniforme?2. Consid´erons une massemplac´ee enAet reli´ee par deux tiges rigides aux points
OetB. Les barres de logueurOA=AB=lsont articul´ees enA. Le support de l"articulationOest fixe et le patin articul´e enBpeut glisser sans frottement le long de l"axe horizontal, figure 1.4. Les articulations sontsuppos´ees parfaites et les masses des tiges et du patin sont negligeables. (a) Quel est le nombre de degr´es de li- bert´e de ce syst`eme? (b) En appliquant le principe de d"Alembert, quelle force?Ffaut-il appliquer au patin pour que le sys- t`eme reste en ´equilibre? (c) D´eterminer la valeur de la r´eaction enB. Oy x A BORl lgmBR
FFigure1.1 - Syst`eme de treillis.
1.1.2Exercice
3Formalisme lagrangien
On consid`ere une sph`ere creuse (S) de
rayonadans un rep`ere galil´eenR(O,xyz).Une bille suppos´ee ponctuelle de massem
est astreinte `a se d´eplacer sans frottement `a l"int´erieur de la sph`ere, figure 1.51. Quelles sont les contraintes sur le
mouvement dem? En d´eduire le nombre de degr´e de libert´e de la bille.2. Calculer les composantes des forces
g´en´eralis´ees.3. En d´eduire les ´equations du mouve-
ment.4. Calculer l"´energie cin´etique de la
bille, en d´eduire les ´equations de La- grange et ensuite les ´equations du mouvement.5. Etudier le cas o`uθetφsontconstants.
Y Z X ?ρr θM ru θu ?u OFigure1.2 - Mouvent d"une bille `a l"int´e-
rieur d"une sph`ere.1.1.3Exercice
On consid`ere une perle de massemqui peut coulisser parfaitement sur un cerceau de rayonR. Le cerceau est vertical et tourne autour de l"axe vertical avec la fr´equence angulaire Ω =φfixe, figure 1.3.1. Relever les contraines sur le mou-
vement de la perle et montrer que la position de la perle est compl`ete- ment d´ecrite par la variableθ.2. Calculer l"´energie cin´etque et l"´ener-
gie potentielle. En d´eduire le lagran- gien de la perle.3. Calculer le moment conjugu´epde
θ. En d´eduire que l"expression du
hamiltonien peut se mettre sous la formeH(θ,p) =P2
2mR2+˜U(θ).
Interpr´eter les diff´erents termes de
H(θ,p).
4. D´eterminer les extremums de
˜U(θ).
En d´eduire les positions d"´equilibreet discuter les en fonction de Ω.Quelle sera la trajectoire de la perlesi les conditions initiales sontθ= 0
etθ= 0. Oz y x M RFigure1.3 - Mouvent d"une perle sur un
cerceau. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices5
1.1.4Exercice
Dans un espace `a deux dimensions (x,z), on consid`ere un milieu mat´eriel d"indice de r´efraction n=n(z). La distance parcouruedsest li´ee `a l"indice de r´efraction pards= cdt/n, o`ucest la vitesse de la lumi`ere dans le vide. L"objectif est de chercher le chemin le minimum du chemin optique (Principe de Fermat).1. Ecrire l"expression du chemin optique comme une int´egrale sur le param`etrez. En
utilisant le principe de moindre action, montrer qu"il existe une int´egrale premi`ere.En d´eduire les lois de Snell-Descartes.
2. Ecrire le chemin optique comme une int´egrale sur le param`etrex. En utilisant
le principe de moindre action, montrer qu"il existe une int´egrale premi`ere. En d´eduire les lois de Snell-Descartes.3. Trouver la trajectoire lumineuse pour une variation lin´eaire de l"indice de r´efrac-
tionn(z) =n0+λz, sachant que les conditions initiales sontz(0) = 0 etz?(0) = 0.1.1.5Exercice
Soit un pendule de longueurlavec une masse plac´ee dans un champs de pesanteurg et astreint `a se d´eplacer dans un plan (x,y) muni de la base mobile (?ur,?uθ). La position du pointMest rep´er´ee par--→OM=l?ur.1. Calculer le nomde de degr´es de libert´e. En d´eduire que l"on peut d´ecrire le syst`eme
par la coordonn´eeθ.2. Calculer la vitesse et d´eduire l"expression de l"´energie cin´etique.
3. Calculer le travail effectu´e lors d"un d´eplacement virtuelδ?r=lδθ?uθ. En d´eduire
l"expression de la composante de la force g´en´eralis´ee selonθ.4. En utilisant la relation entre l"acc´el´eration g´en´eralis´ee et la force g´en´eralis´ee selon
θ, d´eduire l"´equation du mouvement enθ.5. Calculer l"expression du Lagrangien et d´eduire l"´equation du mouvement en uti-
lisant l"´equation de Lagrange.1.1.6Exercice
Soit une massemastreinte `a se d´eplacer sur une tige ind´eformable faisant un angle θavec la verticaleOZ, en rotation impos´ee avec un vecteur de rotation?Ω = Ω?uZ. La masse est attach´ee `a un ressort de constante de raideurket de longueur `a videl0et glisse sans frottement. Elle est par ailleurs soumise `a son poids.Ce syst`eme est `a un degr´e delibert´e, on choisit la distancer=|--→OM. Le r´ef´erentiel choisi est celui du laboratoire. Il
est galil´een.1. Calculer la vitesse et d´eduire l"´energie cin´etiqueT.
2. Calculer la force g´en´eralis´ee associ´ee `a la coordonn´eer.
3. En utilisant les ´equations de Lagrange, ´etablir l"´equation du mouvement.
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1.1.7Exercice
On consid`ere deux billes de masses respectivesmetM (m < M), attach´ees entre elles par un fil inextensible de masse n´egligeable passant par un petit trou dans un plan horizontal. La petite bille est anim´ee d"un mouvement de rotation sur le plan horizontal. La grande bille est sus- pendue au fil et chute sous l"effet de son poids. On notel la longueur totale du fil et r la longueur du segment ho- rizontal. On noteθl"angle que fait le segment horizontal avec un direction fixe quelconque du plan.Plateau
z x y O m θr k i j reθe M1. Calculer le lagrangienL=T-Vpour les coordonn´ees g´en´eralis´ees (r,θ).
2. D´eterminer la coordonn´ee cyclique et reconnaˆıtre sonmoment conjugu´e. Pourquoi
est-il conserv´e?3. En d´eduire l"´equation diff´erentielle du mouvement pourr.
4. On s"int´eresse aux premiers instants de la chute. On poser=l(1-?) avec??1.
d´eterminer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee par?. Montrer pour qu"une valeur de
la vitesse angulaire initialeθ0, la chaˆıne ne peut pas tomber. Dans le cas o`u la chaˆıne tombe, que devient la vitesse angulaire initialeθ.1.1.8Exercice
On utilise le formalisme de Lagrange
pour ´etudier le syst`eme suivant : une masse ponctuellem1est reli´ee par un fil suppos´e sans masse de longueurl1`a un point fixeO.Une seconde massem2est reli´ee par un fil
sans masse de longueurl2`am1. Les deux masses ne peuvent pas se mouvoir que dans le plan vertical.O m1 m2θ1θ2l
1 2 l y x1. D´efinir les liaisons, le nombre de degr´es de libert´e et les coordonn´ees g´en´eralis´ees.
2. Calculer l"´energie cin´etique et l"´energie potentielle. En d´eduire l"expression du
Lagrangien.
3. Trouver les ´equations du mouvement.
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1.1.9Exercice : Machine d"Atwood
Le dispositif de la machine d"Atwood est d´ecrit par la figure ci-contre. La massem1est reli´ee `a la poulie 1 de masseMpar l"interm´ediaire d"une cordre inextensible de longueurLet de masse n´egligeable. Quant `a la massem2, elle est reli´ee `a la massem3par le biais d"une corde inexten- sible de longueurLest de masse n´egligeable.Les poulies 1 et 2 ont des rayons respectifsR1
etR2. La poulie 1 est accroch´ee par un fil inex- tensible de masse n´egligeable et de longueurl0.Les fils glissent sur les poulies sans frottement
et les moments d"inertie de ces derni`eres sont n´egligeables.Poulie 1
1mPoulie 2
2m 3m1. D´enombrer les forces appliqu´ees au syst`eme des massesmi,i= 1,2,3 etMet
relever les forces de liaison.2. Etablir les expressions des contraintes et dire de quellenature sont-elles. Justifier
les r´eponses.3. En d´eduire le nombre de degr´es de libert´e et pr´eciser les coordonn´ees g´en´eralis´ees
`a utiliser.4. En utilisant le formalisme de Newton, retouver les ´equations du mouvement et
d´eduire les expressions des acc´el´erations de chacune des masses, d"une part, et des forces de liaison, d"autre part.1.1.10Exercice
Un artisan utilise une ´echelle de hauteur
?--→AB?=Let de masseMpour peindre un mur. Les extr´emit´es de l"´echelle s"appuient sur le mur et le sol, voir figure ci-contre. Le pied de l"´echelle est attach´e au pointOdu mur par l"interm´e- diaire d"une corde inextensible de longueurlet de masse n´egligeable de fa¸con que l"´echelle fasse un angleθet assure sa stabilit´e. SoitGle centre de gravit´e de l"´echelle. Les frottements enAet enBsont nuls. gMy O xGA B l1. D´enombrer les forces appliqu´ees `a l"´echelle en distinguant les forces de liaison.
2. Quel est le type de liaison en B? Justifier la r´eponse. Montrer que lorsque l"´echelle
se d´eploie, avant d"atteindre sa position d"´equilibre stable, le nombre de degr´e de Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Formalisme lagrangien
libert´e est ´egal `a 1.On utilise dans la suite de l"exercice la coordonn´ee g´en´eralis´ee