Extremums d’une fonction - Parfenoff org
Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D, et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L
2nde 05 Variations extremums fonction cours
Cours 05 : Variations et extremums d ’une fonction 2/4 III Construction de la courbe représentative d ’une fonction L’objectif est de représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction f définie sur Ë par f(x)=x2−1 dans un repère
Etude des extrema d’une fonction
concernant les fonctions d’une variable : Soit f une fonction d´efinit sur un intervalle I de R; on d´esire connaˆıtre les points x de I o`u f(x) prend une valeur maximale ou minimale (on vent d´eterminer les extremums de f) Pour cela – On commence par calculer les valeurs de f aux extr´emit´es de I, f(a),f(b)au
EXERCICE :01
A-/ Soit la fonction f définie par f (x) = ax 3 + bx 2 + c ; où a ; b et c sont des réels 1°) Calculer f ’(x) 2°) Déterminer les réels a, b, c sachant que f admet 1 pour extremum en x = 0 et – 3 pour extremum en x = 2 3°) Étudier la fonction f Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution
Extremums locaux, gradient, fonctions implicites
Trouver les points critiques de la fonction f suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle f(x;y)=sinx+y2 2y+1 Indication H Correction H [002642] Exercice 3 1 Soit f une fonction réelle d’une variable réelle de classe C2 dans un voisinage de 02Rtelle que f(0)=0 et f0(0) 6=0 Montrer que la
Exercice 1 - imag
où A est une fonction quelconque de classe C2 d’une variable, et B est une fonction quelconque de classe C2 d’une variable Exercice 3 Soit D,E deux domaines de R2 et φ: D −→ E qui définit un changement de variable φ(x,y) = (X,Y) Soit f∫: D −→ R une fonction Donnez la formule de changement de variable qui permet de
Dérivée d’une fonction - Exo7
Dérivée d’une fonction Exo7 Vidéo ç partie 1 Définition Vidéo ç partie 2 Calculs Vidéo ç partie 3 Extremum local, théorème de Rolle Vidéo ç partie 4 Théorème des accroissements finis Exercices Fonctions dérivables Motivation Nous souhaitons calculer p 1,01 ou du moins en trouver une valeur approchée Comme 1,01 est proche
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FONCTIONS3Variations etextrema
Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre ?Calculer l'image d'un nombre par une fonction ?Lire une image par une fonction sur un graphique ?Reconnaître une fonction affine ?Connaître les effets des opérations sur l'ordre des nombresAuto-évaluation
Des ressources numériques pour préparer
le chapitre sur manuel.sesamath.net@1La représentation graphique d"une fonctionfest
donnée ci-dessous. +1 +101)Sur quel axe lit-on les images de nombres par lafonctionf?
2)Lire :
a)f(-4)c)f(3) b)f(-1)d)f(4)2La fonctiongest définie parg(x) =3x-4.
Par la fonctiong, quelle est l"image de :
1)0?2)2
3?3Déterminer les fonctions affines.
1)f(x) =2x3)h(x) = (4x-1)2
2)g(x) =5x-744)m(x) = (x+5)2-x2
4aest un nombre tel quea?8.
Que peut-on dire de :
1)a+4?4)a×(-4)?
2)a-4?5)a÷4?
3)a×4?6)a÷(-4)?
5Soitaetbdeux nombres tels quea Que peut-on dire de :
1)a+b?3)a
b? 2)a-b?4)ab?
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Activités d'approche
ACTIVITÉ1En Bretagne, il fait beau... plusieurs fois par jour! Aurore a un capteur qui relève les températures en continu. Voici ce qu"elle a obtenu dans son jardin de Saint-Brieuc le lundi 30 décembre 2013. 2+ 4+ 6+ 8+ 10+ 12+ 14 en hen °C 1)Donner la température à 9h et à 17h.
2)À quelle(s) heure(s) atteint-on
a)la température de 8°C? b)La température minimale? c)La température maximale? 3)Sur quelle(s) tranche(s) horaire(s)
a)la température croît-elle? Décroît-elle? b)La température reste-t-elle constante? 4)Décrire les variations de la température enfonction du temps.
ACTIVITÉ2Dans la cour de l'école
À Mathyville, les enfants aiment bien les jeux de réflexion. Ils ont inventé le jeu suivant :
Un élève dit "le pirate » cache un "Trésor » dans la cour rectangulaire de l"école.
Ensuite, il donne au joueur une carte au trésor qui indique comment évolue la distance du joueur au trésor lorsque le joueur fait le tour de la cour en restant sur son bord. Le joueur doit utiliser ce message pour trouver le Trésor. Lejoueur ne peut faire le déplace- ment à l"intérieur de la cour et doit utiliser seulement ses capacités de réflexion.Voici un exemple : sur le schéma ci-dessous,
le rectangleDEFGreprésente la cour de lar- geur 40 pas et de longueur 60 pas et le trésor (T) est placé au milieu de[EF]. D EF G J TLe déplacement imaginaire du joueur (J) se
fait sur le bord de ce rectangle, en partant de (D), dans le sens inverse du sens de rotation des aiguilles d"une montre.Voici les phrases du message qui permet de
repérer le Trésor :Entre 0 et 80 pas :
ta distance au trésor T diminue.Puis jusqu"à 160 pas :
ta distance au trésor T augmente.Ensuite, jusqu"à 180 pas :
ta distance au trésor T diminue.Enfin, cette distance augmente.
116Chapitre F3.Variations et extrema
Activités d'approche
1)Créer le message qui correspond à un Trésor placé enF.
2)Créer le message qui correspond à un Trésor placé au milieu de[FG].
3)Retrouver la position du Trésor indiquée grâce au message suivant :
Ta distance au trésor T
diminue jusqu"à 40 pas,diminue jusqu"à 120 pas, augmente jusqu"à 60 pas,augmente jusqu"à 160 pas, diminue jusqu"à 90 pas,diminue jusqu"à 170 pas, augmente jusqu"à 100 pas,augmente jusqu"à 200 pas.Où est le Trésor?
4)Les enfants trouvent que cela fait beaucoup de phrases!Ilsdécidentde mettreenplace uncodage quiévitedefaire autant dephrases. Voici le codage
adopté pour le premier exemple ci-dessus (le Trésor étant situé au milieu de[EF]).Compteur
de pasVariations de
la distanceJT0 80160 180200 Proposer, avec ce codage, le message correspondant au second message ci-dessus.5)Proposer, avec ce codage, le message permettant de trouver le Trésor placé enG.
6)En utilisant le message codé ci-dessous, retrouver la position du Trésor.
Compteur
de pasVariations de
la distanceJT0 30 601302007)Le professeur de mathématiques, qui passe dans la cour, aperçoit les enfants jouant à ce jeu.
Après avoirvulemessage ci-dessus, il décide,enlienaveclaleçonencourssurlesfonctions, de proposer aux élèves quelques évolutions du message codé et donne en exemple celui de la question 3. Tout d"abord afin de limiter les écritures, il appelle : xla valeur indiquée par le compteur de pas; f(x)la distanceJTcorrespondant à une valeur dex en faisant remarquer que cette distance est fonction dex. Ensuite, il propose de compléter le message en portant certaines distances importantes comme ci-dessous (message de la question 3). Il prétend que ce sera une aide pour trouver le Trésor : est-cevrai? xVariations
def(x)04060 90100 120 160 170200 50503030
10⎷1310⎷13
202010⎷510⎷5
101010⎷1010⎷10
40405050
8)Recopier, modifier et compléter, en utilisant la méthode du professeur de mathématiques,
les deux messages codés des questions 4 et 6.Chapitre F3.Variations et extrema117
Cours - Méthodes
1.D'un point de vue graphique
A.Fonction croissante, décroissante, constante
DÉFINITION :Intuitive
On dit quefestcroissantesur un intervalleIlorsque : sixaugmente surIalorsf(x)augmente. On dit quefestdécroissantesur un intervalleIlorsque : sixaugmente surIalorsf(x)diminue.Fonction croissante surI:
I +-1+1+2+3+4 +-1+ 1+ 2+ 3 0f(x)
xFonction décroissante surI:
I +-1+1+2+3+4 +-1+ 1+ 2+ 3 0f(x)
x REMARQUES:Soitfune fonction etCfsa courbe représentative dans un repère.On voit sur un graphique que :
fest croissante surIlorsqueCf"monte»surI; fest décroissante surIlorsqueCf"descend »surI. Lorsque sur un intervalle, la courbe esthorizontale, on dit que la fonction estconstante. On considère qu"elle est à la fois croissante et décroissante. Une fonctionqui ne change pas de sens de variations sur un intervalle est ditemonotonesur cet intervalle. +-1+1+2+3 +-1+ 1 0f(x)
xB.Maximum et minimum d'une fonction
DÉFINITION :Intuitive
Sur un intervalleI,
lemaximumd"une fonctionfest la plus grande des valeurs prises parf(x); leminimumd"une fonctionfest la plus petite des valeurs prises parf(x).Maximum enx0
+-1+1+2+3+4 +-1+ 1+ 2+ 3 0M
x0Minimum enx0
+-1+1+2 +-1+ 1+ 2+ 3 0mx0
118Chapitre F3.Variations et extrema
Cours - Méthodes
DÉFINITION :Tableau de variations
Untableau de variationsregroupe toutes les informations concernant les variations d"une fonction sur son domaine de définition. MÉTHODE 1Dresser un tableau de variationsEx.6p. 121Un tableau de variations comporte deux lignes.
Entre les bornes, on place d"éventuellesvaleurs particulières. Le sens de variation de la fonction est indiqué sur la 2eligne parune ou plusieurs flèches sur les intervalles où elle est monotone :?pour croissante et?pour décroissante. Les valeurs pour lesquelles la fonctionn"est pas définiesont indiquées par une double barre verticale sur la deuxième ligne. On indiqueau bout des flèchesles images des valeurs de la 1religne.Exercice d'application
Dresser le tableau de variations de la fonction
définie sur[-2;2]par la courbe ci-dessous. +-1+1 +2+ 4 0Correction
x f(x)-2-112 33-1-1
2.D'un point de vue algébrique
A.Variations d'une fonction
DÉFINITION :Croissance, décroissance sur un intervalle Soitfune fonction définie sur un intervalleIetx1etx2deux nombres deI. Six1?x2impliquef(x1)?f(x2)alorsfest ditecroissantesurI. Six1?x2impliquef(x1)?f(x2)alorsfest ditedécroissantesurI. fest croissante surI: deux nombres deIsont rangés dans le même ordreque leurs images. I +-1+1+2+3+4 +1+ 2+ 30f(x1)
x1f(x2)
x2 fest décroissante surI: deux nombres deIsont rangés dans l" ordre inversede leurs images. I +-1+1+2+3+4 +1+ 2+ 3 0f(x1)
x1f(x2) x2Chapitre F3.Variations et extrema119
Cours - Méthodes
PROPRIÉTÉ :Tableau de variations des fonctions affines et de la fonctioninverse Le sens de variation de la fonction affine dépend du signe dea. La fonction inverse est décroissante surR-?et surR+?. x ax+b avec a>0 -∞+∞x ax+b avec a<0-∞+∞x1 x -∞0+∞PREUVE
On considère une fonctionftel quef(x) =ax+bet deux nombres tels quex1M
af(x) x +-1+1+2+3+4 +1+ 2+ 3 0m
bf(x)
x PROPRIÉTÉ :Tableau de variations de la fonction carrée La fonction carrée est décroissante surR-et croissante surR+.Elle admet, surR, un minimum en 0.
x x 2 -∞0+∞ 00PREUVELa preuve est l"objet de l"exercice31.
120Chapitre F3.Variations et extrema
S'entraîner
Activités mentales
1Sans utiliser de calculatrice, comparer :
1)(-4,5)2et(-2,5)23)1
52et132
2)(⎷5)2et(1,7)24)(-5)2et(3,5)2
2Sans utiliser de calculatrice, comparer :
1)125et1353)1⎷3et1⎷2
2)-141et-1924)-18et13
3Déterminer le sens de variations de chacune des
fonctions affines définies ci-dessous :1)f1(x) =-3x+103)f3(x) =-3+2x
2)f2(x) =x2-44)f4(x) =-2x7+35
4Une fonctionfpossède les propriétés ci-dessous :
elle est définie sur[-3;5];
elle est croissante sur[-3;-1];
elle est décroissante sur[-1;4];
elle est croissante sur[4;5];
sur l"intervalle[-3;4], son maximum vaut 6;
sur l"intervalle[-1;5], son minimum vaut-3;
l"image de-3 est 1;
5 est un antécédent de 7.
Dresser le tableau de variations de cette fonction5Une fonctiongpossède les propriétés ci-dessous :
elle est définie sur[-7;4];
elle est décroissante sur[-7;-3];
elle est croissante sur[-3;0];
elle est décroissante sur[0;2];
elle est croissante sur[2;4];
sur l"intervalle[-7;0], son minimum vaut-5;
sur l"intervalle[-3;2], son maximum vaut 8;
sur l"intervalle[0;4], son minimum vaut-1;
l"image de-7 est 1;
4 est un antécédent de 6.
Trouver les erreurs qui se sont glissées dans le tableau de variations de cette fonction : x f(x)-7-3026 22-5-5 88
-3-3 44